Kroneckerova-Weberova věta - Kronecker–Weber theorem

v algebraická teorie čísel, lze ukázat, že každý cyklotomické pole je abelian rozšíření z pole racionálního čísla Q, která má Galoisovu skupinu formy ${ displaystyle ( mathbb {Z} / n mathbb {Z}) ^ { times}}$. The Kroneckerova-Weberova věta poskytuje částečnou konverzaci: každý konečný abelian rozšíření z Q je obsažen v nějakém cyklotomickém poli. Jinými slovy, každý algebraické celé číslo jehož Galoisova skupina je abelian lze vyjádřit jako součet kořeny jednoty s racionálními koeficienty. Například,

${ displaystyle { sqrt {5}} = e ^ {2 pi i / 5} -e ^ {4 pi i / 5} -e ^ {6 pi i / 5} + e ^ {8 pi i / 5},}$ ${ displaystyle { sqrt {-3}} = e ^ {2 pi i / 3} -e ^ {4 pi i / 3},}$ a ${ displaystyle { sqrt {3}} = e ^ {2 pi i / 12} -e ^ {10 pi i / 12}.}$

Věta je pojmenována po Leopold Kronecker a Heinrich Martin Weber.

Pole-teoretická formulace

Věta o Kronecker-Weberovi může být uvedena z hlediska pole a rozšíření pole.Přesně Kroneckerova-Weberova věta říká: každé konečné abelianské rozšíření racionálních čísel Q je podpole cyklotomického pole. To znamená, že kdykoli algebraické číslo pole má skupinu Galois Q to je abelianská skupina, toto pole je podpole pole získané sousedním a kořen jednoty k racionálním číslům.

Pro dané abelianské rozšíření K. z Q tady je minimální cyklotomické pole, které jej obsahuje. Věta umožňuje definovat dirigent z K. jako nejmenší celé číslo n takhle K. leží uvnitř pole generovaného n-té kořeny jednoty. Například kvadratická pole mít jako dirigent absolutní hodnota Jejich diskriminující, skutečnost zobecněná v teorie pole.

Dějiny

Věta byla poprvé uvedena Kronecker  (1853 ) ačkoli jeho argument nebyl úplný pro rozšíření stupně a síly 2. Weber  (1886 ) zveřejnil důkaz, ale měl určité mezery a chyby, na které poukázal a opravil je Neumann (1981). První úplný důkaz poskytl Hilbert  (1896 ).

Zobecnění

Lubin a Tate (1965, 1966 ) dokázal místní Kronecker – Weberovu větu, která uvádí, že jakékoli abelianské rozšíření a místní pole lze zkonstruovat pomocí cyklotomických rozšíření a Lubin – Tate rozšíření. Hazewinkel (1975 ), Rosen (1981 ) a Lubin (1981 ) dal další důkazy.

Hilbertův dvanáctý problém žádá o zobecnění Kronecker-Weberovy věty pro zakládání jiných polí než racionálních čísel a žádá analogie kořenů jednoty pro tato pole.

Reference

• Ghate, Eknath (2000), „Věta Kronecker-Weber“ (PDF), Adhikari, S. D .; Katre, S. A .; Thakur, Dinesh (eds.), Cyklomatomická pole a související témata (Pune, 1999), Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, str. 135–146, PAN  1802379
• Greenberg, M. J. (1974). „Elementární důkaz Kronecker-Weberovy věty“. Americký matematický měsíčník. 81 (6): 601–607. doi:10.2307/2319208. JSTOR  2319208.
• Hazewinkel, Michiel (1975), „Místní teorie třídních polí je snadná“ (PDF), Pokroky v matematice, 18 (2): 148–181, doi:10.1016/0001-8708(75)90156-5, ISSN  0001-8708, PAN  0389858
• Hilbert, David (1896), „Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper.“, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (v němčině): 29–39
• Kronecker, Leopold (1853), „Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen“, Berlin K. Akad. Wiss. (v němčině): 365–374, ISBN  9780821849828, Shromážděná díla svazek 4
• Kronecker, Leopold (1877), „Über Abelsche Gleichungen“, Berlin K. Akad. Wiss. (v němčině): 845–851, ISBN  9780821849828, Shromážděná díla svazek 4
• Lemmermeyer, Franz (2005), „Kronecker-Weber via Stickelberger“, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 17 (2): 555–558, arXiv:1108.5671, doi:10,5802 / jtnb.507, ISSN  1246-7405, PAN  2211307
• Lubin, Jonathan (1981), „Místní Kronecker-Weberova věta“, Transakce Americké matematické společnosti, 267 (1): 133–138, doi:10.2307/1998574, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998574, PAN  0621978
• Lubin, Jonathan; Tate, Johne (1965), „Formální komplexní násobení v místních oborech“, Annals of Mathematics, Druhá série, 81 (2): 380–387, doi:10.2307/1970622, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970622, PAN  0172878
• Lubin, Jonathan; Tate, Johne (1966), "Formální moduly pro jednoparametrické formální Lieovy skupiny", Bulletin de la Société Mathématique de France, 94: 49–59, doi:10,24033 / bsmf.1633, ISSN  0037-9484, PAN  0238854
• Neumann, Olaf (1981), „Dva důkazy Kronecker-Weberovy věty“ podle Kroneckera a Webera"", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 323 (323): 105–126, doi:10.1515 / crll.1981.323.105, ISSN  0075-4102, PAN  0611446
• Rosen, Michael (1981), „Elementární důkaz o místní Kronecker-Weberově větě“, Transakce Americké matematické společnosti, 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN  0002-9947, JSTOR  1999753, PAN  0610968
• Šafarevič, I. R. (1951), Nový důkaz Kronecker-Weberovy věty, Trudy Mat. Inst. Steklov. (v Rusku), 38, Moskva: Izdat. Akad. Nauk SSSR, s. 382–387, PAN  0049233
• Schappacher, Norbert (1998), „K historii dvanáctého problému Hilberta: komedie omylů“, Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX^E siècle (Nice, 1996), Sémin. Congr., 3, Paříž: Société Mathématique de France, str. 243–273, ISBN  978-2-85629-065-1, PAN  1640262
• Weber, H. (1886), „Theorie der Abel'schen Zahlkörper“, Acta Mathematica (v němčině), 8: 193–263, doi:10.1007 / BF02417089, ISSN  0001-5962

externí odkazy