Faltingssova věta - Faltingss theorem - Wikipedia
 Gerd Faltings | |
| Pole | Aritmetická geometrie |
|---|---|
| Vyjádřený | Louis Mordell |
| V domněnce | 1922 |
| První důkaz od | Gerd Faltings |
| První důkaz v | 1983 |
| Zobecnění | Bombieri – Lang dohad Mordell – Lang dohad |
| Důsledky | Siegelova věta o integrálních bodech |
v aritmetická geometrie, Mordellova domněnka je domněnka, kterou vytvořil Mordell (1922 ) že křivka rod větší než 1 nad polem Q z racionální čísla má jich konečně mnoho racionální body. V roce 1983 to bylo prokázáno Gerd Faltings (1983, 1984 ), a je nyní známý jako Faltingova věta. Domněnka byla později zobecněna nahrazením Q kterýmkoli pole s číslem.
Pozadí
Nechat C být ne singulární algebraická křivka rod G přes Q. Pak je sada racionálních bodů zapnuta C lze určit takto:
- Případ G = 0: žádné body nebo nekonečně mnoho; C je zpracováno jako kuželovitý řez.
- Případ G = 1: žádné body, nebo C je eliptická křivka a jeho racionální body tvoří a konečně generovaná abelianská skupina (Mordellova věta, později zobecněný na Mordell – Weilova věta ). Navíc, Mazurova věta o kroucení omezuje strukturu torzní podskupiny.
- Případ G > 1: podle Mordellova domněnky, nyní Faltingova věta, C má pouze konečný počet racionálních bodů.
Důkazy
Shafarevich (1963 ) položil domněnku konečnosti, která tvrdila, že existuje pouze konečně mnoho izomorfistických tříd abelianských odrůd pevné dimenze a pevné polarizace stupně nad pevným číslem pole s dobrá redukce mimo danou konečnou množinu místa. Parshin (1968 ) ukázal, že Mordellova domněnka by platila, kdyby byla pomocí Parshinova triku pravdivá Shafarevichova konečnost.
Faltings (1983 ) prokázal Shafarevichův dohad o konečnosti pomocí známé redukce na případ Tate dohad a řadu nástrojů z algebraická geometrie, včetně teorie Néron modely. Hlavní myšlenkou Faltingova důkazu je srovnání Výška faltingu a naivní výšky přes Modulární odrůdy Siegel.[1]
Pozdější důkazy
Důkaz založený na diofantická aproximace byl dán Vojta (1991 ). Elementárnější variantu Vojtova důkazu podal Bombieri (1990 ).
Důsledky
Faltingův článek z roku 1983 měl za následek řadu tvrzení, o kterých se dříve předpokládalo:
- The Mordellova domněnka že křivka rodu větší než 1 nad číselným polem má pouze konečně mnoho racionálních bodů;
- The Isogeny věta že abelianské odrůdy s izomorfní Tate moduly (tak jako Qℓ-modules with Galois action) are izogenní.
Ukázková aplikace Faltingovy věty je na slabou formu Fermatova poslední věta: pro všechny pevné n ≥ 4 existuje nanejvýš konečně mnoho primitivních celočíselných řešení (párově coprime řešení) až An + bn = Cn, protože pro takové n the Fermatova křivka Xn + yn = 1 má rod větší než 1.
Zobecnění
Kvůli Mordell – Weilova věta „Faltingovu větu lze přeformulovat jako tvrzení o průsečíku křivky C s konečně generovanou podskupinou el abelianské odrůdy A. Zobecnění nahrazením C libovolnou podrodinou A a Γ libovolnou konečnou podskupinou A vede k Mordell – Lang dohad, což bylo prokázáno Faltingem (1991, 1994 ).
Další vyšší dimenzionální zobecnění Faltingovy věty je Bombieri – Lang dohad to když X je pseudo-kanonická odrůda (tj. řada obecných typů) nad číselným polem k, pak X(k) není Zariski hustý v X. Byly předloženy ještě obecnější domněnky Paul Vojta.
Mordellova domněnka pro funkční pole byla prokázána Manine (1963 ) a Grauert (1965 ). V roce 1990 Colemane (1990 ) našel a opravil mezeru v Maninově důkazu.
Poznámky pod čarou
- ^ „Faltings spojuje dva pojmy výšky pomocí prostoru Siegel moduli .... To je hlavní myšlenka důkazu.“ Bloch, Spencer (1984). „Důkaz Mordellova domněnky“. Matematický zpravodaj. 6 (2): 44. doi:10.1007 / BF03024155. S2CID 306251.
Reference
- Bombieri, Enrico (1990). „Mordellova domněnka se vrátila“. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4): 615–640. PAN 1093712.
- Coleman, Robert F. (1990). „Maninův důkaz Mordellova domněnky o funkčních polích“. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIE Série. 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584. PAN 1096426. Archivovány od originál dne 02.10.2011.
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H., eds. (1986). Aritmetická geometrie. Příspěvky z konference konané na University of Connecticut, Storrs, Connecticut, 30. července - 10. srpna 1984. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. PAN 0861969. → Obsahuje anglický překlad Faltings (1983)
- Faltings, Gerde (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Věty o konečnosti pro abelianské odrůdy přes počet polí]. Inventiones Mathematicae (v němčině). 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007 / BF01388432. PAN 0718935.
- Faltings, Gerd (1984). „Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern“. Inventiones Mathematicae (v němčině). 75 (2): 381. doi:10.1007 / BF01388572. PAN 0732554.
- Faltings, Gerd (1991). "Diophantinová aproximace na abelianských odrůdách". Ann. matematiky. 133 (3): 549–576. doi:10.2307/2944319. JSTOR 2944319. PAN 1109353.
- Faltings, Gerd (1994). "Obecný případ domněnky S. Langa". V Cristante, Valentino; Messing, William (eds.). Barsottiho sympozium v algebraické geometrii. Příspěvky ze sympozia konaného v Abano Terme ve dnech 24. – 27. Června 1991. Perspektivy v matematice. San Diego, CA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4. PAN 1307396.
- Grauert, Hans (1965). „Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 25 (25): 131–149. doi:10.1007 / BF02684399. ISSN 1618-1913. PAN 0222087.
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine geometrie. Postgraduální texty z matematiky. 201. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN 0-387-98981-1. PAN 1745599. → Poskytuje Vojtův důkaz Faltingovy věty.
- Lang, Serge (1997). Přehled geometrie diofantinu. Springer-Verlag. str.101 –122. ISBN 3-540-61223-8.
- Manin, Ju. I. (1963). "Racionální body na algebraických křivkách nad funkčními poli". Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (v Rusku). 27: 1395–1440. ISSN 0373-2436. PAN 0157971. (Překlad: Manin, Yu. (1966). "Racionální body na algebraických křivkách nad funkčními poli". Překlady americké matematické společnosti: Série 2. 59: 189–234. doi:10.1090 / trans2 / 050/11. ISBN 9780821817506. ISSN 0065-9290. )
- Mordell, Louis J. (1922). „O racionálním řešení neurčité rovnice třetího a čtvrtého stupně“. Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179–192.
- Paršin, A. N. (1970). „Quelquesské domněnky o finitě en géométrie diophantienne“ (PDF). Actes du Congrès International des Mathématiciens. Tome 1. Nice: Gauthier-Villars (publikováno 1971). 467–471. PAN 0427323. Archivovány od originál (PDF) dne 24. 9. 2016. Citováno 2016-06-11.
- Parshin, A. N. (2001) [1994], „Mordellova domněnka“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Parshin, A. N. (1968). Msgstr "Algebraické křivky nad funkčními poli I". Izv. Akad. Nauk. SSSR ser. Matematika. 32 (5): 1191–1219. Bibcode:1968IzMat ... 2.1145P. doi:10.1070 / IM1968v002n05ABEH000723.
- Shafarevich, I. R. (1963). Msgstr "Algebraická číselná pole". Sborník příspěvků z mezinárodního kongresu matematiků: 163–176.
- Vojta, Paul (1991). „Siegelova věta v kompaktním případě“. Ann. matematiky. 133 (3): 509–548. doi:10.2307/2944318. JSTOR 2944318. PAN 1109352.