Věta o modularitě - Modularity theorem
Pole | Teorie čísel |
---|---|
Vyjádřený | Yutaka Taniyama Goro Shimura |
V domněnce | 1957 |
První důkaz od | Christophe Breuil Brian Conrad Fred Diamond Richard Taylor |
První důkaz v | 2001 |
Důsledky | Fermatova poslední věta |
The věta o modularitě (dříve nazývaný Domněnka Taniyama – Shimura, Taniyama-Weil dohad nebo domněnka modularity pro eliptické křivky) tvrdí, že eliptické křivky přes pole racionální čísla souvisí s modulární formy. Andrew Wiles dokázal teorém o modularitě pro polostabilní eliptické křivky, což stačilo naznačit Fermatova poslední věta. Později řada článků od Wilesových bývalých studentů Brian Conrad, Fred Diamond a Richard Taylor, které vyvrcholily společným dokumentem s Christophe Breuil, rozšířil Wilesovy techniky k prokázání věty o plné modularitě v roce 2001.
Prohlášení
The teorém uvádí, že jakýkoli eliptická křivka přes Q lze získat prostřednictvím a racionální mapa s celé číslo koeficienty z klasická modulární křivka pro celé číslo N; toto je křivka s celočíselnými koeficienty s explicitní definicí. Toto mapování se nazývá modulární parametrizace úrovně N. Li N je nejmenší celé číslo, pro které lze takovou parametrizaci nalézt (kterému je nyní podle věty o modularitě známo číslo, které se nazývá dirigent ), pak lze parametrizaci definovat pomocí mapování generovaného konkrétním druhem modulární formy váhy dvě a úrovně N, normalizováno nová forma s celým číslem q-expanze, následovaná v případě potřeby an isogeny.
Související prohlášení
Věta o modularitě implikuje úzce související analytický výrok:
na eliptickou křivku E přes Q můžeme připojit odpovídající Řada L.. The L-series je a Dirichletova řada, běžně psané
The generující funkce koeficientů je tedy
Pokud provedeme substituci
vidíme, že jsme napsali Fourierova expanze funkce komplexní proměnné τ, takže koeficienty q-série jsou také považovány za Fourierovy koeficienty . Takto získaná funkce je pozoruhodně a hrotová forma váhy dvě a úrovně N a je také vlastní tvar (vlastní vektor všech Operátoři Hecke ); to je Domněnka Hasse-Weil, který vyplývá z věty o modularitě.
Některé modulární formy váhy dva zase odpovídají holomorfní diferenciály pro eliptickou křivku. Jacobian modulární křivky lze (až do isogeny) zapsat jako produkt neredukovatelného Abelianské odrůdy, odpovídající Heckeovým vlastním formám hmotnosti 2. 1-dimenzionální faktory jsou eliptické křivky (mohou existovat i faktory vyšších dimenzí, takže ne všechny Heckeovy vlastní formy odpovídají racionálním eliptickým křivkám). Křivka získaná nalezením odpovídající formy hrotu a následným vytvořením křivky z ní je izogenní k původní křivce (ale obecně není s ní izomorfní).
Dějiny
Yutaka Taniyama (1956 ) uvedl předběžnou (mírně nesprávnou) verzi domněnky na mezinárodním sympoziu o algebraické teorii čísel z roku 1955 v Tokio a Nikko. Goro Shimura a Taniyama pracoval na zlepšování jeho přísnosti až do roku 1957. André Weil (1967 ) znovuobjevil domněnku a ukázal, že bude vycházet z (domnělých) funkčních rovnic pro některé zkroucené řady L eliptické křivky; toto byl první vážný důkaz, že domněnka může být pravdivá. Weil také ukázal, že vodič eliptické křivky by měl být úrovní odpovídajícího modulárního tvaru. Domněnka Taniyama – Shimura – Weil se stala součástí Langlandsův program.
Domněnka vzbudila značný zájem, když Gerhard Frey (1986 ) navrhl, že to znamená Fermatova poslední věta. Udělal to pokusem ukázat, že jakýkoli protipříklad Fermatovy poslední věty by znamenal existenci alespoň jedné nemodulární eliptické křivky. Tento argument byl dokončen, když Jean-Pierre Serre (1987 ) identifikoval chybějící odkaz (nyní známý jako epsilon domněnka nebo Ribetova věta) ve Freyově původním díle, o dva roky později následovala Ken Ribet (1990 ) dokončení dokladu o epsilon dohadu.
Dokonce i po získání vážné pozornosti byla domněnka Taniyama – Šimura – Weil současnými matematiky považována za mimořádně obtížně prokazatelnou nebo možná dokonce nepřístupnou pro dokazování (Singh 1997, s. 203–205, 223, 226). Například Wilesův bývalý vedoucí John Coates uvádí, že se zdálo „nemožné skutečně dokázat“, a Ken Ribet se považoval za „jednoho z drtivé většiny lidí, kteří věřili, že [je] zcela nepřístupný“.
Nástrahy (1995 ), s nějakou pomocí od Richard Taylor, dokázal domněnku Taniyama – Shimura – Weil pro všechny polostabilní eliptické křivky, kterou použil k prokázání Fermatovy poslední věty, a úplná domněnka Taniyama – Šimura – Weil byla nakonec prokázána Diamond (1996), Conrad, Diamond & Taylor (1999), a Breuil a kol. (2001) kteří na základě Wilesovy práce postupně zvyšovali zbývající případy, dokud se neprokázal úplný výsledek.
Jakmile je domněnka plně prokázána, stala se známá jako věta o modularitě.
Několik teorémů v teorii čísel podobných Fermatově poslední větě vyplývá z věty o modularitě. Například: žádná kostka nemůže být zapsána jako součet dvou coprime n-té pravomoci, n ≥ 3. (Případ n = 3 již byla známa uživateli Euler.)
Zobecnění
Věta o modularitě je speciální případ obecnějších domněnek kvůli Robert Langlands. The Langlandsův program se snaží připojit automorfní forma nebo automatická reprezentace (vhodné zobecnění modulárního tvaru) k obecnějším objektům aritmetické algebraické geometrie, jako ke každé eliptické křivce pole s číslem. Většina případů těchto rozšířených domněnek ještě nebyla prokázána. Nicméně, Freitas, Le Hung & Siksek (2015) dokázal, že eliptické křivky definované nad skutečnými kvadratickými poli jsou modulární.
Reference
- Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), „O modularitě eliptických křivek Q: divoká 3-adická cvičení ", Journal of the American Mathematical Society, 14 (4): 843–939, doi:10.1090 / S0894-0347-01-00370-8, ISSN 0894-0347, PAN 1839918
- Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999), „Modularita určitých potenciálně reprezentací Barsotti – Tate Galois“, Journal of the American Mathematical Society, 12 (2): 521–567, doi:10.1090 / S0894-0347-99-00287-8, ISSN 0894-0347, PAN 1639612
- Cornell, Gary; Silverman, Joseph H.; Stevens, Glenn, eds. (1997), Modulární formy a Fermatova poslední věta, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94609-2, PAN 1638473
- Darmon, Henri (1999), „Je oznámen důkaz o úplném domněnce Shimura – Taniyama – Weil.“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 46 (11): 1397–1401, ISSN 0002-9920, PAN 1723249Obsahuje jemný úvod do věty a nástin důkazu.
- Diamond, Fred (1996), „O deformačních prstencích a Heckových prstenech“, Annals of Mathematics, Druhá série, 144 (1): 137–166, doi:10.2307/2118586, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118586, PAN 1405946
- Freitas, Nuno; Le Hung, Bao V .; Siksek, Samir (2015), „Eliptické křivky nad skutečnými kvadratickými poli jsou modulární“, Inventiones Mathematicae, 201 (1): 159–206, arXiv:1310.7088, Bibcode:2015InMat.201..159F, doi:10.1007 / s00222-014-0550-z, ISSN 0020-9910, PAN 3359051
- Frey, Gerhard (1986), „Vazby mezi stabilními eliptickými křivkami a určitými diofantickými rovnicemi“, Annales Universitatis Saraviensis. Řada Mathematicae, 1 (1): iv + 40, ISSN 0933-8268, PAN 0853387
- Mazur, Barry (1991), "Teorie čísel jako gadfly", Americký matematický měsíčník, 98 (7): 593–610, doi:10.2307/2324924, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324924, PAN 1121312 Diskutuje o domněnce Taniyama – Shimura – Weil 3 roky před tím, než byla prokázána pro nekonečně mnoho případů.
- Ribet, Kenneth A. (1990), „O modulárních zobrazeních Gal (Q/ Q) vyplývající z modulárních forem ", Inventiones Mathematicae, 100 (2): 431–476, Bibcode:1990InMat.100..431R, doi:10.1007 / BF01231195, hdl:10338.dmlcz / 147454, ISSN 0020-9910, PAN 1047143
- Serre, Jean-Pierre (1987), „Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal (Q/ Q) ", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230, doi:10.1215 / S0012-7094-87-05413-5, ISSN 0012-7094, PAN 0885783
- Shimura, Goro (1989), "Yutaka Taniyama a jeho doba. Velmi osobní vzpomínky", Bulletin of London Mathematical Society, 21 (2): 186–196, doi:10.1112 / blms / 21.2.186, ISSN 0024-6093, PAN 0976064
- Singh, Simon (1997), Fermatova poslední věta, ISBN 978-1-85702-521-7
- Taniyama, Yutaka (1956), „Problém 12“, Sugaku (v japonštině), 7: 269 Anglický překlad v (Shimura 1989, str. 194)
- Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), „Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras“, Annals of Mathematics, Druhá série, 141 (3): 553–572, CiteSeerX 10.1.1.128.531, doi:10.2307/2118560, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118560, PAN 1333036
- Weil, André (1967), „Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen“, Mathematische Annalen, 168: 149–156, doi:10.1007 / BF01361551, ISSN 0025-5831, PAN 0207658
- Wiles, Andrew (1995), „Modulární eliptické křivky a Fermatova poslední věta“, Annals of Mathematics, Druhá série, 141 (3): 443–551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076, doi:10.2307/2118559, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118559, PAN 1333035
- Wiles, Andrew (1995), „Modulární formy, eliptické křivky a Fermatova poslední věta“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, s. 243–245, PAN 1403925
externí odkazy
- Darmon, H. (2001) [1994], „Domněnka Shimura – Taniyama“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Weisstein, Eric W. „Domněnka Taniyama – Shimura“. MathWorld.