Topologická vlastnost - Topological property

v topologie a související oblasti matematika, a topologická vlastnost nebo topologický invariant je vlastnost a topologický prostor který je neměnný pod homeomorfismy. To znamená, že vlastnost mezer je topologická vlastnost, kdykoli je to mezera X vlastní tuto nemovitost v každém homeomorfním prostoru X tento majetek vlastní. Neformálně je topologická vlastnost vlastnost prostoru, kterou lze vyjádřit pomocí otevřené sady.

Běžným problémem v topologii je rozhodnout, zda jsou dva topologické prostory homeomorfní nebo ne. Dokázat, že dva prostory jsou ne homeomorfní, stačí najít topologickou vlastnost, kterou nesdílejí.

Společné topologické vlastnosti

Kardinální funkce

The mohutnost |X| prostoru X.
Mohutnost ${ displaystyle vert}$ τ(X) ${ displaystyle vert}$ topologie prostoru X.
Hmotnost w(X), nejmenší mohutnost a základ topologie prostoru X.
Hustota d(X), nejmenší mohutnost podmnožiny X jehož uzavření je X.

Oddělení

Všimněte si, že některé z těchto termínů jsou ve starší matematické literatuře definovány odlišně; vidět historie separačních axiomů.

T₀ nebo Kolmogorov. Prostor je Kolmogorov pokud pro každou dvojici odlišných bodů X a y v prostoru je alespoň jedna otevřená sada obsahující X ale ne ynebo otevřená sada obsahující y ale ne X.
T₁ nebo Fréchet. Prostor je Fréchet pokud pro každou dvojici odlišných bodů X a y v prostoru je otevřená sada obsahující X ale ne y. (Porovnejte s T₀; zde můžeme určit, který bod bude obsažen v otevřené množině.) Ekvivalentně je mezera T₁ pokud jsou všechny jeho singletony uzavřeny. T₁ mezery jsou vždy T₀.
Střízlivý. Prostor je střízlivý pokud každá neredukovatelná uzavřená množina C má jedinečný obecný bod str. Jinými slovy, pokud C není (možná nedisjunktní) unie dvou menších uzavřených podmnožin, pak existuje a str takové, že uzavřenístr} rovná se C, a str je jediným bodem s touto vlastností.
T₂ nebo Hausdorff. Prostor je Hausdorff pokud každé dva odlišné body mají nesouvislá sousedství. T₂ mezery jsou vždy T₁.
T_2½ nebo Urysohn. Prostor je Urysohn jestliže každé dva odlišné body mají disjunkce Zavřeno sousedství. T_2½ mezery jsou vždy T₂.
Zcela T₂ nebo úplně Hausdorff. Prostor je úplně T₂ pokud jsou každé dva odlišné body oddělené funkcí. Každý zcela Hausdorffův prostor je Urysohn.
Pravidelný. Prostor je pravidelný pokud kdykoli C je uzavřená sada a str je bod není v C, pak C a str mají nesouvislá sousedství.
T₃ nebo Pravidelný Hausdorff. Prostor je běžný Hausdorff pokud se jedná o běžný T₀ prostor. (Běžný prostor je Hausdorff právě tehdy, když je to T₀, takže terminologie je konzistentní.)
Úplně pravidelné. Prostor je úplně normální pokud kdykoli C je uzavřená sada a str je bod není v C, pak C a {str} jsou oddělené funkcí.
T_3½, Tychonoff, Zcela obyčejný Hausdorff nebo Zcela T₃. A Tychonoffův prostor je zcela normální T₀ prostor. (Zcela běžný prostor je Hausdorff právě tehdy, když je to T₀, takže terminologie je konzistentní.) Tychonoffovy prostory jsou vždy pravidelné Hausdorffy.
Normální. Prostor je normální pokud nějaké dvě disjunktní uzavřené sady mají disjunktní sousedství. Normální prostory připouštějí rozdělení jednoty.
T₄ nebo Normální Hausdorff. Normálním prostorem je Hausdorff právě tehdy, je-li to T₁. Normální Hausdorffovy prostory jsou vždy Tychonoff.
Zcela normální. Prostor je úplně normální pokud nějaké dvě oddělené sady mají disjunktní sousedství.
T₅ nebo Zcela normální Hausdorff. Úplně normální prostor je Hausdorff právě tehdy, když je to T₁. Zcela normální Hausdorffovy prostory jsou vždy normální Hausdorffy.
Naprosto normální. Prostor je naprosto normální pokud existují dvě disjunktní uzavřené sady přesně oddělené funkcí. Zcela normální prostor musí být také zcela normální.
T₆ nebo Dokonale normální Hausdorffnebo dokonale T₄. Prostor je naprosto normální Hausdorff, pokud je to jak naprosto normální, tak T₁. Zcela normální Hausdorffův prostor musí být také zcela normální Hausdorff.
Diskrétní prostor. Prostor je oddělený pokud jsou všechny jeho body zcela izolované, tj. pokud je otevřená libovolná podmnožina.
Počet izolovaných bodů. Počet izolované body topologického prostoru.

Podmínky spočitatelnosti

Oddělitelný. Prostor je oddělitelný pokud má počitatelný hustá podmnožina.
Nejprve spočítatelné. Prostor je nejdříve spočítatelné pokud má každý bod a počitatelný místní základna.
Druhý započítatelný. Prostor je druhý spočetný pokud má počitatelný základ pro jeho topologii. Druhé spočítatelné prostory jsou vždy oddělitelné, první spočítatelné a Lindelöf.

Propojenost

Připojeno. Prostor je připojeno pokud to není spojení dvojice disjunktních neprázdných otevřených množin. Ekvivalentně je připojen prostor, pokud je jediný clopen soupravy jsou prázdná množina a sama o sobě.
Místně připojeno. Prostor je místně připojen pokud má každý bod lokální základnu skládající se z propojených množin.
Úplně odpojeno. Prostor je úplně odpojen pokud nemá připojenou podmnožinu s více než jedním bodem.
Cesta spojená. Prostor X je spojeno s cestou pokud za každé dva body X, y v X, existuje cesta str z X na y, tj. průběžná mapa str: [0,1] → X s str(0) = X a str(1) = y. Prostory spojené s cestou jsou vždy propojeny.
Místně spojeno s cestou. Prostor je místně spojeno s cestou pokud má každý bod lokální základnu sestávající z množin spojených s cestou. Místně připojený prostor připojený k cestě je připojen právě tehdy, pokud je připojen k cestě.
Připojeno k oblouku. Prostor X je spojeno obloukem pokud za každé dva body X, y v X, existuje oblouk F z X na y, tj injekční průběžná mapa F: [0,1] → X s str(0) = X a str(1) = y. Prostory spojené obloukem jsou spojeny cestou.
Jednoduše připojeno. Prostor X je jednoduše připojeno pokud je spojena s cestou a každá souvislá mapa F: S¹ → X je homotopický na konstantní mapu.
Lokálně jednoduše připojeno. Prostor X je místně jednoduše připojeno pokud každý bod X v X má místní základnu čtvrtí U který je jednoduše připojen.
Pololokálně jednoduše připojeno. Prostor X je částečně lokálně jednoduše připojeno pokud má každý bod místní základnu sousedství U takhle každý zapojte se U je smluvní v X. Pololokální jednoduchá konektivita, přísně slabší podmínka než lokální jednoduchá konektivita, je nezbytnou podmínkou pro existenci a univerzální kryt.
Smluvní. Prostor X je smluvní pokud mapa identity na X je homotopický k konstantní mapě. Smluvní prostory jsou vždy jednoduše propojeny.
Hyperconnected. Prostor je hyperconnected pokud nejsou dvě neprázdné otevřené sady disjunktní. Každý hyper propojený prostor je propojen.
Ultra propojeno. Prostor je ultra propojeno pokud nejsou dvě neprázdné uzavřené množiny disjunktní. Každý ultra propojený prostor je propojen cestou.
Indiskrétní nebo triviální. Prostor je neurčitý pokud jsou jedinými otevřenými množinami prázdná množina a sama. Říká se, že takový prostor má triviální topologie.

Kompaktnost

Kompaktní. Prostor je kompaktní pokud každý otevřete kryt má konečnou dílčí úkryt. Někteří autoři tyto prostory nazývají kvazikompaktní a rezervovat kompaktní pro Hausdorff prostory, kde má každý otevřený kryt konečnou spodní část. Kompaktní prostory jsou vždy Lindelöf a paracompact. Kompaktní Hausdorffovy prostory jsou proto normální.
Postupně kompaktní. Prostor je postupně kompaktní pokud má každá sekvence konvergentní subsekvenci.
Spočitatelně kompaktní. Prostor je počítatelně kompaktní pokud má každý spočítaný otevřený obal konečnou podoblast.
Pseudokompaktní. Prostor je pseudokompaktní pokud je každá souvislá skutečná funkce v prostoru omezena.
σ-kompaktní. Prostor je σ-kompaktní pokud se jedná o spojení nespočetně mnoha kompaktních podmnožin.
Lindelöf. Prostor je Lindelöf pokud má každý otevřený kryt a počitatelný dílčí úkryt.
Paracompact. Prostor je paracompact pokud má každý otevřený kryt otevřenou lokálně konečnou úpravu. Paracompact Hausdorffovy prostory jsou normální.
Lokálně kompaktní. Prostor je místně kompaktní pokud má každý bod místní základnu skládající se z kompaktních čtvrtí. Používají se také mírně odlišné definice. Lokálně kompaktní Hausdorffovy prostory jsou vždy Tychonoff.
Ultra propojený kompaktní. V ultra propojeném kompaktním prostoru X každý otevřený kryt musí obsahovat X sám. Neprázdné ultra propojené kompaktní prostory mají největší vlastní otevřenou podmnožinu zvanou a monolit.

Metrizovatelnost

Metrizovatelné. Prostor je měřitelný pokud je homeomorfní s a metrický prostor. Metrizovatelné prostory jsou vždy Hausdorff a paracompact (a tedy normální a Tychonoff) a první spočetné. Navíc se říká, že topologický prostor (X, T) je měřitelný, pokud existuje metrika pro X taková, že metrická topologie T (d) je identická s topologií T.
polština. Volá se mezera polština pokud je metrizovatelný pomocí oddělitelné a úplné metriky.
Lokálně měřitelné. Prostor je místně měřitelný, pokud má každý bod měřitelné okolí.

Smíšený

Baireův prostor. Prostor X je Baireův prostor pokud tomu tak není hubený v sobě. Ekvivalentně X je Baireův prostor, pokud je průsečík spočítatelně mnoha hustých otevřených množin hustý.
Topologická homogenita. Prostor X je (topologicky) homogenní pokud pro každého X a y v X existuje homeomorfismus F : X → X takhle F(X) = y. Intuitivně řečeno to znamená, že prostor vypadá v každém bodě stejně. Všechno topologické skupiny jsou homogenní.
Konečně vygenerováno nebo Alexandrov. Prostor X je Alexandrov pokud jsou v něm libovolné průniky otevřených množin X jsou otevřené, nebo ekvivalentně, pokud jsou uzavřeny libovolné svazky uzavřených množin. To jsou přesně ty definitivně generováno členové kategorie topologických prostorů a průběžné mapy.
Zero-dimenzionální. Prostor je nulový rozměr pokud má základnu clopenových sad. Jedná se přesně o prostory s malou indukční dimenze z 0.
Téměř diskrétní. Prostor je téměř diskrétní pokud je každá otevřená množina uzavřena (tedy clopen). Téměř diskrétní prostory jsou přesně konečně generované nulové dimenzionální prostory.
Booleovský. Prostor je Booleovský pokud je nulový rozměr, kompaktní a Hausdorff (ekvivalentní, zcela odpojený, kompaktní a Hausdorff). Jedná se přesně o prostory, které jsou pro homeomorfní Kamenné prostory z Booleovy algebry.
Reidemeister torze
${ displaystyle kappa}$ -řešitelné. Prostor je považován za κ-rozložitelný^[1] (respektive: téměř κ-resolvable), pokud obsahuje κ husté množiny, které jsou párově disjunktní (respektive: téměř disjunktní přes ideál hustých podmnožin nikde). Pokud prostor není ${ displaystyle kappa}$ - vyřešitelné, pak se to nazývá ${ displaystyle kappa}$ - nevyřešitelný.
Maximálně vyřešitelné. Prostor ${ displaystyle X}$ je maximálně vyřešitelný, pokud ano ${ displaystyle Delta (X)}$ -řešitelné, kde ${ displaystyle Delta (X) = min {| G |: G neq emptyset, G { mbox {je otevřené}} }}$ . Číslo ${ displaystyle Delta (X)}$ se nazývá disperzní charakter ${ displaystyle X}$ .
Silně diskrétní. Soubor ${ displaystyle D}$ je silně diskrétní podmnožina prostoru ${ displaystyle X}$ pokud body v ${ displaystyle D}$ mohou být odděleny párovými disjunktními sousedstvími. Prostor ${ displaystyle X}$ se říká, že je silně diskrétní, pokud každý neizolovaný bod ${ displaystyle X}$ je akumulační bod nějaké silně diskrétní množiny.

Viz také

Reference

^ Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "Resolability and monotone normalality". Israel Journal of Mathematics. 166 (1): 1–16. arXiv:matematika / 0609092. doi:10.1007 / s11856-008-1017-r. ISSN 0021-2172.

[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein a Graciana Puentes, Zapletené inženýrství a topologická ochrana kvantovými procházkami v diskrétním čase, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013).https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf

Bibliografie

Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. str. 369. ISBN 9780486434797.

[1] Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "Resolability and monotone normalality". Israel Journal of Mathematics. 166 (1): 1–16. arXiv:matematika / 0609092. doi:10.1007 / s11856-008-1017-r. ISSN 0021-2172.

[1]