Perfectoidní prostor - Perfectoid space

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (červenec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, perfektní prostory jsou adické prostory zvláštního druhu, které se vyskytují při studiu problémů "smíšená charakteristika ", jako místní pole charakteristické nuly, které mají zbytková pole charakteristického prvočísla p.

A Perfectoidní pole je kompletní topologické pole K. jehož topologie je navozena nediskrétním ocenění hodnosti 1, takže Frobeniova endomorfismus Φ je surjective na K.°/p kde K.° označuje kruh prvků vázaných na energii.

Perfectoidní prostory mohou být použity k (a byly vynalezeny za účelem) porovnání smíšených charakteristických situací s čistě konečnými charakteristickými situacemi. Technické nástroje pro dosažení této přesnosti jsou nakláněcí ekvivalence a věta o téměř čistotě. Pojmy byly zavedeny v roce 2012 Peter Scholze.^[1]

Naklápěcí ekvivalence

Pro každé perfektní pole K. tady je náklon K.^♭, což je dokonalé pole konečné charakteristiky p. Jako sadu lze definovat jako

${ displaystyle K ^ { flat} = varprojlim _ {x mapsto x ^ {p}} K}$

Výslovně prvek prvku K.^♭ je nekonečná posloupnost (X₀, X₁, X₂, ...) prvků K. takhle X_i = X^p
_{i + 1}. Násobení v K.^♭ je definováno termwise, přidání je komplikovanější. Li K. má tedy konečnou charakteristiku K. ≅ K.^♭. Li K. je p-adic dokončení z ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p} (p ^ {1 / p ^ { infty}})}$, pak K.^♭ je t-adické dokončení ${ displaystyle mathbb {F} _ {p} ((t)) (t ^ {1 / p ^ { infty}})}$.

Existují představy o Perfectoidní algebry a perfektní prostory přes perfektní pole K., zhruba analogický komutativnímu algebry a schémata přes pole. Naklápěcí operace se vztahuje i na tyto objekty. Li X je perfektní prostor nad dokonalým polem K., pak lze vytvořit perfektní prostor X^♭ přes K.^♭. The naklánění ekvivalence je věta, že funktor naklonění (-)^♭ vyvolává rovnocennost kategorií mezi perfektními prostory K. a dokonalé prostory K.^♭. Všimněte si, že zatímco perfektní pole konečné charakteristiky může mít několik neizomorfních „do“, kategorie perfektních prostorů nad nimi by byly všechny ekvivalentní.

Věta téměř čistoty

Tato rovnocennost kategorií respektuje některé další vlastnosti morfismů. Mnoho vlastností morfismy schémat mít analogy morfismů adických prostorů. The téměř věta o čistotě pro Perfectoidní prostory se týká konečný étale morfismy. Je to zobecnění Faltings je téměř věta o čistotě p-adická Hodgeova teorie. Jméno se zmiňuje téměř matematika, který je použit v důkazu, a vzdáleně související klasická věta o čistota místa větve.^[2]

Toto prohlášení má dvě části. Nechat K. být dokonalým polem.

• Li X → Y je konečný étale morfismus adických prostorů K. a Y je tedy perfektní X také je perfectoid;
• Morfismus X → Y Perfectoidních prostorů K. je konečný étale právě tehdy, když je náklon X^♭ → Y^♭ je konečný étale K.^♭.

Jelikož mapy konečných étale do pole jsou přesně konečné oddělitelný rozšíření pole, věta o téměř čistotě znamená, že pro každé pole Perfectoid K. the absolutní Galoisovy skupiny z K. a K.^♭ jsou izomorfní.

Viz také

• Perfektní pole

Reference

externí odkazy

• Bhatt, Bhargav. „Co je ... Perfectoidní prostor?“ (PDF). Bulletin AMS. Citováno 2. ledna 2020.
• „Co jsou to„ dokonalé prostory “?“. MathOverflow.
• Základy Perfectoid Spaces Matthew Morrow
• Štíhlé perfektní prostory. Definice Perfectoidních prostorů formalizovaná v Štíhlá věta prover