Místní domněnky Langlands - Local Langlands conjectures
v matematika, místní domněnky Langlands, představil Langlands (1967, 1970 ), jsou součástí Langlandsův program. Popisují korespondenci mezi komplexními reprezentacemi reduktivu algebraická skupina G přes místní pole Fa reprezentace Skupina Langlands z F do L-skupiny G. Tato korespondence není obecně bijekce. Dohady lze považovat za zobecnění teorie místní třídy pole od abelian Galoisovy skupiny neabelovským skupinám Galois.
Místní domněnky Langlands pro GL1
Místní Langlandsovy domněnky o GL1(K.) vyplývají z (a jsou v zásadě ekvivalentní) teorie místní třídy pole. Přesněji Artin mapa dává izomorfismus ze skupiny GL1(K.)= K.* k abelianizaci Weilova skupina. Zejména neredukovatelné hladké reprezentace GL1(K.) jsou 1-dimenzionální, protože skupina je abelianská, takže ji lze identifikovat pomocí homomorfismů Weilovy skupiny na GL1(C). To dává Langlandsově korespondenci mezi homomorfismy Weilovy skupiny s GL1(C) a neredukovatelné hladké reprezentace GL1(K.).
Zastoupení skupiny Weil
Reprezentace Weilovy skupiny neodpovídají zcela neredukovatelným hladkým reprezentacím obecných lineárních skupin. Chcete-li získat bijekci, je třeba mírně upravit představu reprezentace skupiny Weil na něco, co se nazývá reprezentace Weil-Deligne. Skládá se z reprezentace skupiny Weil ve vektorovém prostoru PROTI společně s nilpotentním endomorfismem N z PROTI takhle wNw−1=||w||N, nebo ekvivalentně reprezentace Skupina Weil – Deligne. Kromě toho by zastoupení skupiny Weil mělo mít otevřené jádro a mělo by být (Frobenius) polojednoduché.
Pro každý polojednodušý komplex Frobenius n-rozměrná Weil – Deligne reprezentace ρ Weilovy skupiny F existuje funkce L. L(s, ρ) a a lokální ε-faktor ε (s, ρ, ψ) (v závislosti na znaku ψ z F).
Zastoupení GLn(F)
Reprezentace GLn(F) objevující se v místní korespondenci Langlands jsou hladké neredukovatelné komplexní reprezentace.
- „Hladký“ znamená, že každý vektor je fixován nějakou otevřenou podskupinou.
- „Neredukovatelné“ znamená, že reprezentace je nenulová a nemá žádné další reprezentace než 0 a sama o sobě.
Hladké neredukovatelné komplexní reprezentace jsou automaticky přípustné.
The Bernstein – Zelevinsky klasifikace snižuje klasifikaci neredukovatelných hladkých reprezentací na cuspidální reprezentace.
Pro každou neredukovatelnou přípustnou komplexní reprezentaci π existuje funkce L. L(s, π) a lokální ε-faktor ε (s, π, ψ) (v závislosti na znaku ψ z F). Obecněji řečeno, pokud existují dvě neredukovatelné přípustné reprezentace π a π 'obecných lineárních skupin, existují lokální Rankin-Selbergovy konvoluce L-funkce L(s, π × π ') a ε-faktory ε (s, π × π ', ψ).
Bushnell & Kutzko (1993) popsal neredukovatelné přípustné reprezentace obecných lineárních skupin nad místními poli.
Místní domněnky Langlands pro GL2
Místní domněnka Langlands pro GL2 místního pole říká, že existuje (jedinečná) bijekce π z 2-dimenzionálních poloprostorových reprezentací Weil-Deligne skupiny Weil do neredukovatelných hladkých reprezentací GL2(F) který zachovává L-funkce, ε-faktory a dojíždění s kroucením podle znaků F*.
Jacquet & Langlands (1970) ověřil místní Langlandsovy domněnky pro GL2 v případě, že reziduální pole nemá charakteristiku 2. V tomto případě jsou reprezentace Weilovy skupiny všechny cyklického nebo dihedrálního typu. Gelfand a Graev (1962) klasifikoval hladké neredukovatelné reprezentace GL2(F) když F má lichou charakteristiku zbytku (viz také (Gelfand, Graev a Pyatetskii-Shapiro 1969, kapitola 2)), a nesprávně tvrdil, že klasifikace pro sudou charakteristiku reziduí se liší pouze insignifictanly od případu liché reziduální charakteristiky. Weil (1974) poukázal na to, že když má reziduální pole charakteristiku 2, existují některé mimořádně výjimečné dvourozměrné reprezentace skupiny Weil, jejíž obraz v PGL2(C) je čtyřboký nebo oktaedrický typ. (U globálních Langlandsových domněnek mohou být 2-dimenzionální reprezentace ikosahedrálního typu, ale v místním případě se to nemůže stát, protože Galoisovy skupiny jsou řešitelné.)Tunnell (1978) prokázal místní Langlandsovy domněnky pro obecnou lineární skupinu GL2(K.) přes čísla 2-adic a přes místní pole obsahující kořen krychle jednoty. Kutzko (1980, 1980b ) prokázal místní Langlandsovy domněnky pro obecnou lineární skupinu GL2(K.) přes všechna místní pole.
Cartier (1981) a Bushnell & Henniart (2006) dal výklad důkazu.
Místní domněnky Langlands pro GLn
Místní Langlandsovy domněnky pro obecné lineární skupiny uvádějí, že existují jedinečné bijekce π ↔ ρπ z tříd ekvivalence neredukovatelných přípustných reprezentací π GLn(F) do tříd ekvivalence spojitého Frobeniusova polojednodušého komplexu n-dimenzionální reprezentace Weil – Deligne ρπ skupiny Weil z F, které zachovávají L-funkce a ε-faktory párů reprezentací a shodují se s Artinovou mapou pro jednorozměrné reprezentace. Jinými slovy,
- L (s, ρπ⊗ρπ ') = L (s, π × π ')
- ε (s, ρπ⊗ρπ ', ψ) = ε (s, π × π ', ψ)
Laumon, Rapoport a Stuhler (1993) prokázal místní Langlandsovy domněnky pro obecnou lineární skupinu GLn(K.) pro pozitivní charakteristická místní pole K.. Carayol (1992) uvedli výstavu svých prací.
Harris & Taylor (2001) prokázal místní Langlandsovy domněnky pro obecnou lineární skupinu GLn(K.) pro charakteristiku 0 místních polí K.. Henniart (2000) dal další důkaz. Carayol (2000) a Wedhorn (2008) uvedli expozice své práce.
Místní domněnky Langlands pro jiné skupiny
Borel (1979) a Vogan (1993) diskutovat o Langlandsových domněnkách pro obecnější skupiny. Langlandsovy domněnky pro libovolné redukční skupiny G je složitější je uvést než u obecných lineárních skupin a není jasné, jaký by měl být nejlepší způsob jejich uvedení. Zhruba řečeno, přípustná reprezentace redukční skupiny jsou seskupena do disjunktních konečných množin zvaných L- balíčky, které by měly odpovídat některým třídám homomorfismů, tzv L-parametry, z místní skupina Langlands do L-skupina z G. Některé dřívější verze používaly místo místní skupiny Langlands skupinu Weil-Deligne nebo Weil, což dává o něco slabší formu domněnky.
Langlands (1989) dokázal Langlandovy domněnky pro skupiny nad místními poli archimédů R a C tím, že Langlandsova klasifikace jejich neredukovatelných přípustných reprezentací (až do nekonečně malé ekvivalence) nebo ekvivalentně jejich neredukovatelných - moduly.
Gan & Takeda (2011) dokázal místní domněnky Langlands pro symplektická skupina podobnosti GSp (4) a použil to v Gan & Takeda (2010) odvodit to pro symplektická skupina Sp (4).
Reference
- Borel, Armand (1979), "Automorfní L-funkce", v Borel, Armand; Casselman, W. (eds.), Automorfní formy, reprezentace a funkce L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), část 2, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXXIII„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 27–61, ISBN 978-0-8218-1437-6, PAN 0546608
- Bushnell, Colin J.; Henniart, chlapi (2006), Místní Langlandsova domněnka o GL (2)Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 335, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / 3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, PAN 2234120
- Bushnell, Colin J .; Kutzko, Philip C. (1993), Přípustná dvojice GL (N) prostřednictvím kompaktních otevřených podskupin, Annals of Mathematics Studies, 129, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-03256-6, PAN 1204652
- Carayol, Henri (1992), „Variétés de Drinfeld compactes, d'après Laumon, Rapoport et Stuhler“, Astérisque, 206: 369–409, ISSN 0303-1179, PAN 1206074
- Carayol, Henri (2000), „Předběžná domněnka o Langlandsově místním prostředí pro GLn: travaux de Harris-Taylor et Henniart ", Séminaire Bourbaki. Sv. 1998/99., Astérisque, 266: 191–243, ISSN 0303-1179, PAN 1772675
- Cartier, Pierre (1981), „La docture locale de Langlands pour GL (2) et la démonstration de Ph. Kutzko“, Bourbaki Seminar, sv. 1979/80, Poznámky k přednášce v matematice. (francouzsky), 842, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 112–138, doi:10.1007 / BFb0089931, ISBN 978-3-540-10292-2, PAN 0636520
- Gan, Wee Teck; Takeda, Shuichiro (2010), „Místní domněnka Langlands pro Sp (4)“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 2010 (15): 2987–3038, arXiv:0805.2731, doi:10.1093 / imrn / rnp203, ISSN 1073-7928, PAN 2673717, S2CID 5990821
- Gan, Wee Teck; Takeda, Shuichiro (2011), „Místní domněnka o Langlands pro GSp (4)“, Annals of Mathematics, 173 (3): 1841–1882, arXiv:0706.0952, doi:10.4007 / annals.2011.173.3.12
- Gelfand, I.M .; Graev, M. I .; Pyatetskii-Shapiro, I. I. (1969) [1966], Teorie reprezentace a automorfní funkce Obecné funkce, 6, Philadelphia, Pa .: W. B. Saunders Co., ISBN 978-0-12-279506-0, PAN 0220673
- Harris, Michael; Taylor, Richard (2001), Geometrie a kohomologie některých jednoduchých odrůd Shimura, Annals of Mathematics Studies, 151, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09090-0, PAN 1876802
- Henniart, Guy (2000), „Une prokve simple des dohectures de Langlands pour GL (n) sur un corps p-adique“, Inventiones Mathematicae, 139 (2): 439–455, Bibcode:2000InMat.139..439H, doi:10,1007 / s002220050012, ISSN 0020-9910, PAN 1738446, S2CID 120799103
- Henniart, Guy (2006), „K místní korespondenci Langlands a Jacquet-Langlands“, v Sanz-Solé, Marta; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (eds.), Mezinárodní kongres matematiků. Sv. II, Eur. Matematika. Soc., Zürich, s. 1171–1182, ISBN 978-3-03719-022-7, PAN 2275640
- Jacquet, Hervé; Langlands, Robert P. (1970), Automorfní formuláře na GL (2) Přednášky z matematiky, 114, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, PAN 0401654
- Kudla, Stephen S. (1994), „Místní korespondence v Langlands: případ, který nebyl Archimédův“, Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (eds.), Motivy (Seattle, WA, 1991), Proc. Symposy. Čistá matematika., 55„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 365–391, ISBN 978-0-8218-1637-0, PAN 1265559
- Kutzko, Philip (1980), „The Langlands dohad pro GL2 místního pole ", Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 2 (3): 455–458, doi:10.1090 / S0273-0979-1980-14765-5, ISSN 0002-9904, PAN 0561532
- Kutzko, Philip (1980b), „The Langlands dohad pro Gl2 místního pole ", Annals of Mathematics, Druhá série, 112 (2): 381–412, doi:10.2307/1971151, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971151, PAN 0592296
- Langlands, Robert (1967), Dopis prof. Weilovi
- Langlands, R. P. (1970), „Problémy v teorii automorfních forem“, Přednášky z moderní analýzy a aplikací, III, Přednášky v matematice, 170, Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 18–61, doi:10.1007 / BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, PAN 0302614
- Langlands, Robert P. (1989) [1973], „O klasifikaci neredukovatelných reprezentací skutečných algebraických skupin“, Sally, Paul J .; Vogan, David A. (eds.), Teorie reprezentace a harmonická analýza na polojednodušých Lieových grupách, Math. Průzkumy Monogr., 31„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 101–170, ISBN 978-0-8218-1526-7, PAN 1011897
- Laumon, G .; Rapoport, M .; Stuhler, U. (1993), „D-eliptické svazky a korespondence Langlands“, Inventiones Mathematicae, 113 (2): 217–338, Bibcode:1993InMat.113..217L, doi:10.1007 / BF01244308, ISSN 0020-9910, PAN 1228127, S2CID 124557672
- Tunnell, Jerrold B. (1978), „O místním domněnce Langlands pro GL (2)“, Inventiones Mathematicae, 46 (2): 179–200, Bibcode:1978InMat..46..179T, doi:10.1007 / BF01393255, ISSN 0020-9910, PAN 0476703, S2CID 117747963
- Vogan, David A. (1993), „Místní domněnka Langlands“ v Adams, Jeffrey; Bylina, Rebecca; Kudla, Stephen; Li, Jian-Shu; Lipsman, Ron; Rosenberg, Jonathan (eds.), Teorie reprezentace grup a algeber, Contemp. Matematika., 145„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 305–379, ISBN 978-0-8218-5168-5, PAN 1216197
- Wedhorn, Torsten (2008), „Místní korespondence Langlands pro GL (n) přes p-adická pole“ (PDF), v Göttsche, Lothar; Harder, G .; Raghunathan, M. S. (eds.), Škola automatických formulářů na GL (n), Přednáška ICTP. Poznámky, 21, Abdus Salam Int. Cent. Teoretická. Phys., Terst, str. 237–320, arXiv:matematika / 0011210, Bibcode:2000math ..... 11210W, ISBN 978-92-95003-37-8, PAN 2508771, archivovány z originál (PDF) dne 2020-05-07
- Weil, André (1974), „Exercices dyadiques“, Inventiones Mathematicae, 27 (1–2): 1–22, Bibcode:1974InMat..27 .... 1W, doi:10.1007 / BF01389962, ISSN 0020-9910, PAN 0379445, S2CID 189830448
externí odkazy
- Harris, Michael (2000), Místní korespondence Langlands (PDF)„Poznámky k (polovině) kurzu na IHP
- Práce Roberta Langlandse
- Automorphic Forms - Místní domněnka Langlands Přednáška Richarda Taylora