Odrůda Shimura - Shimura variety

v teorie čísel, a Odrůda Shimura je trojrozměrný analog a modulární křivka který vzniká jako kvocient odrůda a Hermitovský symetrický prostor podle a podskupina kongruence a reduktivní algebraická skupina definováno přes Q. Odrůdy Shimura nejsou algebraické odrůdy ale jsou to rodiny algebraických odrůd. Křivky Shimura jsou jednorozměrné odrůdy Shimura. Hilbertovy modulární povrchy a Modulární odrůdy Siegel patří mezi nejznámější třídy odrůd Shimura.

Speciální instance odrůd Shimura původně představil Goro Shimura v průběhu své generalizace komplexní násobení teorie. Shimura ukázal, že i když byly původně definovány analyticky, jsou to aritmetické objekty v tom smyslu, že připouštějí modely definovaný přes pole s číslem, reflexní pole odrůdy Shimura. V 70. letech Pierre Deligne vytvořil axiomatický rámec pro práci Shimury. V roce 1979 Robert Langlands poznamenal, že odrůdy Shimura tvoří přirozenou říši příkladů, pro které je rovnocennost motivický a automorfní L-funkce předpokládané v Langlandsův program lze testovat. Automorfní formy realizováno v kohomologie odrůdy Shimura jsou přístupnější ke studiu než obecné automorfní formy; připevňuje se zejména konstrukce Galois reprezentace jim.^[1]

Definice

Shimura datum

Nechat S = Res_C/R G_m být Omezení Weil multiplikativní skupiny z komplexní čísla na reálná čísla. Je to skutečné algebraická skupina, jehož skupina R-bodů, S(R), je C^* a skupina C-bodů je C^*×C^*. A Shimura datum je pár (G, X) sestávající z a reduktivní algebraická skupina G definované přes pole Q z racionální čísla a a G(R)-třída konjugace X z homomorfismy h: S → G_R splňující následující axiomy:

• Pro všechny h v X, v jednotce se mohou vyskytovat pouze váhy (0,0), (1, −1), (−1,1) G_C, tj. složitá Lieova algebra z G se rozloží na přímý součet

${ displaystyle { mathfrak {g}} otimes mathbb {C} = { mathfrak {k}} oplus { mathfrak {p}} ^ {+} oplus { mathfrak {p}} ^ {- },}$

kde pro všechny z ∈ S, h(z) působí triviálně na první součet a via ${ displaystyle z / { bar {z}}}$ (respektive ${ displaystyle { bar {z}} / z}$) na druhém (respektive třetím) sčítání.

• Adjungovaná akce h (i) indukuje a Cartan involuce na sousední skupině G_R.
• Přilehlá skupina G_R nepřipouští faktor H definováno přes Q takové, že projekce h na H je triviální.

Z těchto axiomů vyplývá, že X má jedinečnou strukturu a komplexní potrubí (případně odpojeno) takové, že pro každou reprezentaci ρ: G_R → GL(PROTI), rodina (PROTI, ρ ⋅ h) je holomorfní rodina Hodgeovy struktury; navíc tvoří variaci Hodgeovy struktury a X je konečný nesouvislý svazek hermitovské symetrické domény.

Odrůda Shimura

Nechat A_ƒ být prsten konečných adelů z Q. Pro jakoukoli dostatečně malou kompaktní otevřenou podskupinu K. z G(A_ƒ), dvojitá coset prostor

${ displaystyle Sh_ {K} (G, X) = G ( mathbb {Q}) zpětné lomítko X krát G ( mathbb {A} _ {f}) / K}$

je konečný nesouvislý svazek místně symetrické odrůdy formuláře Γ \ X⁺, kde horní index plus označuje a připojená součást. Odrůdy Sh_K.(G,X) jsou komplexní algebraické odrůdy a tvoří inverzní systém přes všechny dostatečně malé kompaktní otevřené podskupiny K.. Tento inverzní systém

${ displaystyle (Sh_ {K} (G, X)) _ {K}}$

připouští přirozené právo jednat G(A_ƒ). Říká se tomu Odrůda Shimura spojené s údajem Shimura (G, X) a označil Sh(G, X).

Dějiny

Pro speciální typy poustevnických symetrických domén a kongruenční podskupiny Γ, algebraické odrůdy formuláře Γ \ X = Sh_K.(G,X) a jejich zhutnění byly představeny v sérii příspěvků z Goro Shimura během šedesátých let. Shimurův přístup, který později představil ve své monografii, byl do značné míry fenomenologický a sledoval nejširší zobecnění formulace zákona o vzájemnosti komplexní násobení teorie. Při zpětném pohledu byl název „odrůda Shimura“ představen Deligne, který izoloval abstraktní rysy, které hrály roli v Shimurově teorii. V Deligneově formulaci jsou odrůdy Shimura mezerami parametrů určitých typů Hodgeovy struktury. Tvoří tedy přirozené vyšší dimenzionální zobecnění modulární křivky zobrazeno jako modulové prostory z eliptické křivky s úrovní struktury. V mnoha případech byly rovněž identifikovány problémy modulů, kterým jsou odrůdy Shimura řešením.

Příklady

Nechat F být zcela reálným číslem pole a D A čtveřice divize algebra přes F. Multiplikativní skupina D^× dává vznik kanonické odrůdě Shimura. Jeho rozměr d je počet nekonečných míst, nad kterými D rozdělí se. Zejména pokud d = 1 (například pokud F = Q a D ⊗ R ≅ M₂(R)), kterým je dostatečně malý aritmetická podskupina z D^×, jeden získá křivku Shimura a křivky vyplývající z této konstrukce jsou již kompaktní (tj. projektivní ).

Některé příklady křivek Shimura s výslovně známými rovnicemi uvádí Hurwitzovy křivky nízkého rodu:

• Kleinova kvartika (rod 3)
• Macbeathův povrch (rod 7)
• První Hurwitz triplet (rod 14)

a podle Fermatova křivka stupně 7.^[2]

Mezi další příklady odrůd Shimura patří Modulární povrchy Picard a Hilbertovy modulární povrchy, známé také jako odrůdy Hilbert – Blumenthal.

Kanonické modely a speciální body

Každá odrůda Shimura může být definována kanonicky pole s číslem E volal reflexní pole. Tento důležitý výsledek díky Shimura ukazuje, že odrůdy Shimura, které a priori jsou pouze složitá potrubí, mají algebraiku pole definice a proto aritmetický význam. Tvoří výchozí bod v jeho formulaci zákona o vzájemnosti, kde důležitou roli hrají určití aritmeticky definovaní speciální body.

Kvalitativní povaha Zariski uzavření sad speciálních bodů na odrůdě Shimura popisuje Domněnka André – Oort. Podmíněné výsledky byly získány v této domněnce za předpokladu, že a Zobecněná Riemannova hypotéza.^[3]

Role v programu Langlands

Odrůdy Shimura hrají v Langlandsův program. Prototypná věta, Vztah shody Eichler – Shimura, znamená, že Funkce Hasse – Weil zeta modulární křivky je produktem L-funkcí spojených s výslovně stanoveným modulární formy o hmotnosti 2. Goro Shimura skutečně představil své odrůdy a prokázal svůj zákon o vzájemnosti právě v procesu zobecnění této věty. Funkce Zeta odrůd Shimura spojených se skupinou GL₂ Eichler, Shimura, Kuga, Sato a Ihara studovali přes jiná pole čísel a jeho vnitřní formy (tj. multiplikativní skupiny kvaternionových algeber). Na základě jejich výsledků Robert Langlands udělal předpověď, že funkce Hasse-Weil zeta jakéhokoli algebraická rozmanitost Ž definovaný nad číselným polem by byl produktem kladných a záporných sil automatorfních L-funkcí, tj. měl by vzniknout ze souboru automorfní reprezentace.^[1] Jakkoli filozoficky přirozené lze očekávat takový popis, tvrzení tohoto typu byla prokázána pouze tehdy, když Ž je odrůda Shimura.^[4] Podle slov Langlands:

Ukázat, že všechny funkce L spojené s odrůdami Shimura - tedy s jakýmkoli motivem definovaným odrůdou Shimura - lze vyjádřit pomocí automorfních funkcí L [jeho práce z roku 1970] je slabší, dokonce mnohem slabší, než ukazují, že všechny motivické L-funkce jsou stejné jako tyto L-funkce. Navíc, i když se očekává, že silnější tvrzení bude platné, neexistuje, pokud vím, žádný velmi přesvědčivý důvod očekávat, že všechny motivické funkce L budou připojeny k odrůdám Shimura.^[5]

Poznámky

Reference