Modulární křivka - Modular curve

v teorie čísel a algebraická geometrie, a modulární křivka Y(Γ) je a Riemannův povrch nebo odpovídající algebraická křivka, konstruováno jako a kvocient komplexu horní polorovina H podle akce a podskupina kongruence Γ z modulární skupina integrálních matic 2 × 2 SL (2,Z). Termín modulární křivka lze také použít k označení zhuštěné modulární křivky X(Γ) které jsou zhutnění získáno přidáním konečně mnoha bodů (tzv vrcholy Γ) k tomuto podílu (prostřednictvím akce na rozšířená komplexní rovina horní poloviny). Body modulární křivky parametrizovat třídy izomorfismu eliptické křivky, spolu s nějakou další strukturou v závislosti na skupině Γ. Tato interpretace umožňuje poskytnout čistě algebraickou definici modulárních křivek bez odkazu na komplexní čísla a navíc dokázat, že modulární křivky jsou definovaný buď přes pole Q z racionální čísla nebo cyklotomické pole. Druhá skutečnost a její zobecnění mají zásadní význam v teorii čísel.

Analytická definice

Modulární skupina SL (2,Z) působí na horní polorovinu o frakční lineární transformace. Analytická definice modulární křivky zahrnuje výběr podskupiny kongruence Γ SL (2,Z), tj. podskupina obsahující hlavní kongruence podskupina úrovně N Γ (N), pro nějaké kladné celé číslo N, kde

${ displaystyle Gamma (N) = left {{ start {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}: a equiv d equiv pm 1 mod N { text {a }} b, c equiv 0 mod N vpravo }.}$

Minimální takové N se nazývá úroveň Γ. A složitá struktura lze dát na kvocient Γ H získat a nekompaktní Riemannova plocha se běžně označuje Y(Γ).

Zhutněné modulární křivky

Společné zhutnění Y(Γ) se získá přidáním konečně mnoha bodů, které se nazývají vrcholy Γ. Konkrétně se to provádí zvážením působení Γ na rozšířená komplexní rovina horní poloviny H* = H ∪ Q ∪ {∞}. Zavádíme topologii na H* jako základ:

• jakákoli otevřená podmnožina H,
• pro všechny r > 0, sada ${ displaystyle { infty } cup { tau in mathbf {H} mid { text {Im}} ( tau)> r }}$
• pro všechny nesoudělná čísla A, C a všechno r > 0, obrázek ${ displaystyle { infty } cup { tau in mathbf {H} mid { text {Im}} ( tau)> r }}$ v rámci akce

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & -m c & n end {pmatrix}}}$

kde m, n jsou celá čísla taková an + cm = 1.

To se otočí H* do topologického prostoru, který je podmnožinou Riemannova koule P¹(C). Skupina Γ působí na podmnožinu Q ∪ {∞}, rozdělit to na konečně mnoho oběžné dráhy volal vrcholy Γ. Pokud Γ působí přechodně na Q ∪ {∞}, mezera Γ H* stává se Alexandroffova zhutnění z Γ H. Na kvocient lze opět vložit složitou strukturu Γ H* přeměnit jej na Riemannovu plochu označenou X(Γ), který je nyní kompaktní. Tento prostor je zhutněním Y(Γ).^[1]

Příklady

Nejběžnějším příkladem jsou křivky X(N), X₀(N), a X₁(N) spojené s podskupinami Γ (N), Γ₀(N) a Γ₁(N).

Modulární křivka X(5) má rod 0: je to Riemannova koule s 12 vrcholy umístěnými na vrcholech pravidelného tělesa dvacetistěnu. Krytina X(5) → X(1) je realizován akcí ikosahedrální skupina na Riemannově sféře. Tato skupina je jednoduchá skupina řádu 60 isomorfní A₅ a PSL (2, 5).

Modulární křivka X(7) je Kleinova kvartika rodu 3 s 24 vrcholy. Lze jej interpretovat jako povrch se třemi úchyty obloženými 24 heptagony s hrotem ve středu každé tváře. Tyto obklady lze pochopit pomocí dessins d'enfants a Funkce Belyi - vrcholy jsou body ležící nad ∞ (červené tečky), zatímco vrcholy a středy okrajů (černé a bílé tečky) jsou body ležící nad 0 a 1. Galoisova skupina krytiny X(7) → X(1) je jednoduchá skupina řádu 168 isomorfní PSL (2, 7).

Existuje explicitní klasický model pro X₀(N), klasická modulární křivka; tomu se někdy říká the modulární křivka. Definice Γ (N) lze přepracovat následovně: jádrem redukce je podskupina modulární skupiny modulo N. Pak Γ₀(N) je větší podskupina matic, které jsou horní trojúhelníkové modulo N:

${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}: c equiv 0 mod N right },}$

a Γ₁(N) je mezilehlá skupina definovaná:

${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}: a equiv d equiv 1 mod N, c equiv 0 mod N right }.}$

Tyto křivky mají přímou interpretaci jako modulové prostory pro eliptické křivky s struktura úrovně a z tohoto důvodu hrají důležitou roli v aritmetická geometrie. Úroveň N modulární křivka X(N) je prostor modulů pro eliptické křivky se základem pro N-kroucení. Pro X₀(N) a X₁(N), struktura úrovně je cyklická podskupina řádu N a procesní námitka N. Tyto křivky byly studovány velmi podrobně a zejména je známo, že X₀(N) lze definovat více Q.

Rovnice definující modulární křivky jsou nejznámějšími příklady modulární rovnice. „Nejlepší modely“ se mohou velmi lišit od těch, které byly převzaty přímo z eliptická funkce teorie. Operátoři Hecke lze studovat geometricky, jako korespondence spojovací páry modulárních křivek.

Poznámka: podíly H že jsou kompaktní se vyskytují pro Fuchsijské skupiny Γ jiné než podskupiny modulární skupiny; třída z nich čtveřice algeber je také zajímavý v teorii čísel.

Rod

Krytina X(N) → X(1) je Galois, s Galois group SL (2, N) / {1, −1}, což se rovná PSL (2,N) pokud N je hlavní. Uplatnění Riemann – Hurwitzův vzorec a Věta o Gauss-Bonnetovi, lze vypočítat rod X(N). Pro primární úroveň p ≥ 5,

${ displaystyle - pi chi (X (p)) = | G | cdot D,}$

kde χ = 2 - 2G je Eulerova charakteristika, |G| = (p+1)p(p−1) / 2 je pořadí skupiny PSL (2, p), a D = π - π / 2 - π / 3 - π /p je úhlová vada sférické (2,3,p) trojúhelník. Výsledkem je vzorec

${ displaystyle g = { tfrac {1} {24}} (p + 2) (p-3) (p-5).}$

Tím pádem X(5) má rod 0, X(7) má rod 3 a X(11) má rod 26. Pro p = 2 nebo 3, je třeba dodatečně zohlednit důsledky, tj. Přítomnost řádu p prvky v PSL (2, Z) a skutečnost, že PSL (2, 2) má řád 6, spíše než 3. Existuje komplikovanější vzorec pro rod modulární křivky X(N) jakékoli úrovně N který zahrnuje dělitele N.

Rod nula

Obecně a modulární funkční pole je funkční pole modulární křivky (nebo příležitostně nějaké jiné moduli prostor který se ukáže být neredukovatelná odrůda ). Rod nula znamená, že takové funkční pole má jediný transcendentální funkce jako generátor: například j-funkce generuje funkční pole X(1) = PSL (2, Z)\H*. Tradiční název takového generátoru, který je jedinečný až do Möbiova transformace a lze jej vhodně normalizovat, je a Hauptmodul (hlavní nebo hlavní modulární funkce).

Mezery X₁(n) mají rod nula pro n = 1, ..., 10 a n = 12. Protože každá z těchto křivek je definována nad Q a má Q- racionální bod, z toho vyplývá, že na každé takové křivce je nekonečně mnoho racionálních bodů, a tedy nekonečně mnoho eliptických křivek definovaných Q s n-torze pro tyto hodnoty n. Konverzní tvrzení, že pouze tyto hodnoty n může nastat, je Mazurova věta o kroucení.

Vztah se skupinou Monster

Ukázalo se, že modulární křivky rodu 0, které jsou poměrně vzácné, mají ve vztahu k monstrózní měsíční svit domněnky. Prvních několik koeficientů q-expanze jejich Hauptmoduln byly vypočítány již v 19. století, ale bylo šokem, že stejná velká celá čísla se ukázala jako rozměry reprezentací největší sporadické jednoduché skupiny Monster.

Dalším spojením je, že modulární křivka odpovídající normalizátor Γ₀(p)⁺ z Γ₀ (p) v SL (2, R) má rod nula právě tehdy p je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 nebo 71, a to jsou přesně hlavní faktory řádu skupina příšer. Výsledek o Γ₀(p)⁺ je to kvůli Jean-Pierre Serre, Andrew Ogg a John G. Thompson v 70. letech a následné pozorování vztahující se ke skupině monster je způsobeno Oggem, který sepsal papír nabízející láhev Jack Daniels whisky každému, kdo by mohl vysvětlit tuto skutečnost, což bylo výchozím bodem pro teorii obludného měsíčního svitu.^[2]

Vztah probíhá velmi hluboko a, jak dokazuje Richard Borcherds, to také zahrnuje zobecněné algebry Kac – Moody. Práce v této oblasti zdůraznila význam modulární funkce které jsou meromorfní a mohou mít póly na špičkách, na rozdíl od modulární formuláře, které jsou holomorfní všude, včetně hřebenů, a byly hlavními studijními předměty pro lepší část 20. století.

Viz také

• Manin – Drinfeldova věta
• Zásobník eliptických křivek
• Věta o modularitě
• Odrůda Shimura, zobecnění modulárních křivek do vyšších dimenzí

Reference

• Steven D. Galbraith - Rovnice pro modulární křivky