Torzní domněnka - Torsion conjecture - Wikipedia

Definici rovnoměrně ohraničených funkcí viz Jednotná omezenost. Výsledek funkční analýzy najdete v části Jednotný princip omezenosti.

v algebraická geometrie a teorie čísel, torzní domněnka nebo jednotná domněnka omezenosti pro abelianské odrůdy uvádí, že objednat z torzní skupina abelianské odrůdy nad a pole s číslem lze ohraničit z hlediska rozměru odrůdy a číselného pole. Silnější verze domněnky spočívá v tom, že torze je omezena, pokud jde o rozměr odrůdy a stupeň číselného pole.

Eliptické křivky

Torzní domněnka pro eliptické křivky
PoleTeorie čísel
VyjádřenýAndrew Ogg
V domněnce1973
První důkaz odBarry Mazur
Sheldon Kamienny
Loïc Merel
První důkaz v1977–1996

(Silná) torzní domněnka jako první Ogg (1973) byl zcela vyřešen v případě eliptické křivky. Barry Mazur  (1977, 1978 ) prokázal jednotnou omezenost eliptických křivek nad racionály. Jeho techniky byly zobecněny Kamienny (1992) a Kamienny & Mazur (1995), kteří získali jednotnou omezenost pro kvadratická pole a počet studijních oborů nejvýše 8. Konečně, Loïc Merel (1996) dokázal domněnku eliptických křivek nad libovolným číselným polem. Důkaz se soustředí na pečlivé studium racionálních bodů klasické modulární křivky. Efektivní mez pro velikost torzní skupiny z hlediska stupně číselného pole byla dána vztahem Rodič (1999).

Mazur poskytl kompletní seznam možných torzních podskupin pro racionální eliptické křivky. Li Cn označuje cyklická skupina řádu n, pak jsou možné torzní podskupiny Cn s 1 ≤ n ≤ 10 a také C12; a přímý součet z C2 s C2, C4, C6 nebo C8. V opačném směru se všechny tyto torzní struktury vyskytují nekonečně často Q, protože odpovídající modulární křivky jsou všechny rodové nulové křivky s racionálním bodem. Úplný seznam možných torzních skupin je k dispozici také pro eliptické křivky nad poli kvadratického čísla. Existují podstatné dílčí výsledky pro pole kvartické a kvintické číslo (Sutherland 2012 ).

Viz také

Reference

  • Kamienny, Sheldon (1992). "Torzní body na eliptických křivkách a - koeficienty modulárních forem ". Inventiones Mathematicae. 109 (2): 221–229. Bibcode:1992InMat.109..221K. doi:10.1007 / BF01232025. PAN  1172689. S2CID  118750444.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Kamienny, Sheldon; Mazur, Barry (1995). S dodatkem A. Granvilla. "Racionální torze primárního řádu v eliptických křivkách nad číselnými poli". Astérisque. 228: 81–100. PAN  1330929.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Mazur, Barry (1977). "Modulární křivky a Eisensteinův ideál". Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. doi:10.1007 / BF02684339. PAN  0488287. S2CID  122609075.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Mazur, Barry (1978), s dodatkem od Dorian Goldfeld „Racionální isogenie prvního stupně“, Inventiones Mathematicae, 44 (2): 129–162, Bibcode:1978InMat..44..129M, doi:10.1007 / BF01390348, PAN  0482230, S2CID  121987166CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Merel, Loïc (1996). „Bornes pour la torze des courbes elliptiques sur les corps de nombres“ [Hranice pro kroucení eliptických křivek nad číselnými poli]. Inventiones Mathematicae (francouzsky). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10,1007 / s002220050059. PAN  1369424. S2CID  3590991.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Ogg, Andrew (1973). "Racionální body na určitých eliptických modulárních křivkách". Proc. Symp. Čistá matematika. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 24: 221–231. doi:10.1090 / pspum / 024/0337974. ISBN  9780821814246.
  • Rodič, Pierre (1999). „Bornesovy účinné látky tečou la torze des Courbes eliptiques sur les corps de nombres“ [Efektivní hranice pro torzi eliptických křivek přes pole čísel]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (francouzsky). 1999 (506): 85–116. arXiv:alg-geom / 9611022. doi:10.1515 / crll.1999.009. PAN  1665681.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Sutherland, Andrew V. (2012), Torzní podskupiny eliptických křivek nad číselnými poli (PDF)