Kužel - Cone
A kužel je trojrozměrný geometrický tvar který se plynule zužuje z ploché základny (často, i když ne nutně, kruhové) do bodu zvaného vrchol nebo vrchol.
Kužel je tvořen sadou úsečky, půlřádky nebo řádky připojení společného bodu, vrcholu, ke všem bodům na základně, která je v a letadlo který neobsahuje vrchol. V závislosti na autorovi může být základna omezena na a kruh, jakýkoli jednorozměrný kvadratická forma v rovině, jakýkoli zavřený jednorozměrná postava, nebo kterýkoli z výše uvedených plus všechny přiložené body. Pokud jsou uzavřené body zahrnuty do základny, je kužel a pevný předmět; jinak je to dvourozměrný objekt v trojrozměrném prostoru. V případě objemného objektu se hranice tvořená těmito čarami nebo částečnými čarami nazývá boční povrch; pokud je boční povrch neomezený, je to a kuželovitý povrch.
V případě úseček se kužel nepřesahuje za základnu, zatímco u polovičních úseček se rozprostírá nekonečně daleko. V případě linií se kužel rozprostírá nekonečně daleko v obou směrech od vrcholu, v takovém případě se někdy nazývá dvojitý kužel. Každá polovina dvojitého kužele na jedné straně vrcholu se nazývá a nappe.
The osa kužele je přímka (pokud existuje) procházející vrcholem, kolem které má základna (a celý kužel) kruhová symetrie.
V běžném použití v elementárních geometrie, kužele se považují za pravý kruhový, kde oběžník znamená, že základna je a kruh a že jo znamená, že osa prochází středem základny v pravém úhlu do jeho roviny.[1] Pokud je kužel pravý kruhový, je průsečík roviny s boční plochou a kuželovitý řez. Obecně však může mít základna jakýkoli tvar[2] a vrchol může ležet kdekoli (i když se obvykle předpokládá, že základna je ohraničená, a proto má konečnou hodnotu plocha a že vrchol leží mimo rovinu základny). Kontrastem s pravými kužely jsou šikmé kužely, ve kterých osa prochází středem základny nekolmo.[3]
Kužel s a polygonální základna se nazývá a pyramida.
V závislosti na kontextu může „kužel“ také konkrétně znamenat a konvexní kužel nebo a projektivní kužel.
Kužele lze také zobecnit na vyšší rozměry.
Další terminologie
Obvod základny kužele se nazývá „directrix“ a každý z úseček mezi directrix a apexem je „generatrix“ nebo „generating line“ postranní plochy. (Pro spojení mezi tímto smyslem termínu "directrix" a directrix kuželovitého řezu, viz Dandelinové koule.)
"Poloměr základny" kruhového kuželu je poloměr jeho základny; často se tomu říká poloměr kužele. The clona pravého kruhového kuželu je maximální úhel mezi dvěma přímkami; pokud generatrix udělá úhel θ k ose je clona 2θ.
Kužel s oblastí, jejíž vrchol je odříznut letadlem, se nazývá „zkrácen cone "; je-li rovina zkrácení rovnoběžná se základnou kužele, nazývá se a frustum.[1] „Eliptický kužel“ je kužel s eliptický základna.[1] „Zobecněný kužel“ je povrch vytvořený sadou přímek procházejících vrcholem a každým bodem na hranici (viz také vizuální trup ).
Měření a rovnice
Objem
The objem jakékoli kuželovité pevné látky je jedna třetina součinu plochy základny a výška [4]
V moderní matematice lze tento vzorec snadno vypočítat pomocí kalkulu - je to až do měřítka integrál Bez použití kalkulu lze vzorec dokázat porovnáním kužele s pyramidou a aplikací Cavalieriho princip - konkrétně porovnání kužele s (ve vertikálním měřítku) pravouhlou pyramidou, která tvoří jednu třetinu krychle. Tento vzorec nelze dokázat bez použití takových nekonečně malých argumentů - na rozdíl od dvourozměrných vzorců pro polyedrickou oblast, i když je podobná ploše kruhu - a proto připustil méně přísné důkazy před příchodem počtu, přičemž staří Řekové používali způsob vyčerpání. To je v podstatě obsah Hilbertův třetí problém - přesněji, ne všechny mnohostěnné pyramidy jsou nůžky shodné (lze rozdělit na konečné části a přeskupit do druhého), a tedy objem nelze vypočítat čistě pomocí argumentu rozkladu.[5]
Centrum hmoty
The těžiště kuželovitého tělesa jednotné hustoty leží ve čtvrtině cesty od středu základny k vrcholu, na přímce spojující dva.
Pravý kruhový kužel
Objem
Pro kruhový kužel s poloměrem r a výška h, základna je kruh plochy a tak se stane vzorec pro objem[6]
Šikmá výška
Šikmá výška pravého kruhového kuželu je vzdálenost od kteréhokoli bodu na kruh jeho základny k vrcholu přes úsečku podél povrchu kužele. Je to dáno , kde je poloměr základny a je výška. To lze prokázat Pythagorova věta.
Plocha povrchu
The boční povrch plocha pravého kruhového kuželu je kde je poloměr kruhu ve spodní části kužele a je šikmá výška kužele.[4] Plocha spodního kruhu kužele je stejná jako pro jakýkoli kruh, . Celková plocha pravého kruhového kuželu tedy může být vyjádřena jako každá z následujících možností:
- Poloměr a výška
- (plocha základny plus plocha boční plochy; výraz je šikmá výška)
- kde je poloměr a je výška.
- Poloměr a sklon
- kde je poloměr a je šikmá výška.
- Obvod a šikmá výška
- kde je obvod a je šikmá výška.
- Vrcholový úhel a výška
- kde je vrcholový úhel a je výška.
Kruhový sektor
The kruhový sektor získaný rozložením povrchu jednoho příkrovu kužele má:
- poloměr R
- délka oblouku L
- středový úhel φ v radiánech
Formulář rovnice
Povrch kužele lze parametrizovat jako
kde je úhel "kolem" kužele a je „výška“ podél kužele.
Pravý pevný kruhový kužel s výškou a clona , jehož osou je osa souřadnic a jejíž vrchol je počátek, je popsán parametricky jako
kde dosah , , a , resp.
v implicitní tvaru, stejné těleso je definováno nerovnostmi
kde
Obecněji řečeno, pravý kruhový kužel s vrcholem v počátku, osa rovnoběžná s vektorem a clona , je dána implicitně vektor rovnice kde
- nebo
kde , a označuje Tečkovaný produkt.
Eliptický kužel
V Kartézský souřadnicový systém, an eliptický kužel je lokus rovnice tvaru[7]
Je to afinní obraz pravého oběžníku jednotkový kužel s rovnicí Ze skutečnosti, že afinní obraz a kuželovitý řez je kuželosečka stejného typu (elipsa, parabola, ...), dostane se:
- Žádný rovinná část eliptického kužele je kuželovitý řez.
Je zřejmé, že jakýkoli pravý kruhový kužel obsahuje kruhy. To je také pravda, ale méně zřejmé, v obecném případě (viz kruhový průřez ).
Projektivní geometrie
v projektivní geometrie, a válec je prostě kužel, jehož vrchol je v nekonečnu.[8] Intuitivně, pokud člověk udržuje základnu pevnou a vezme limit, jak vrchol jde do nekonečna, získá válec, úhel strany se zvětšuje jako arktan, v limitu tvořícím a pravý úhel. To je užitečné při definici zdegenerované kuželosečky, které vyžadují zvážení válcové kuželosečky.
Podle G. B. Halsted, kužel je generován podobně jako a Steiner kuželovitý pouze s projektivitou a axiální tužky (ne v perspektivě), spíše než projektivní rozsahy použité pro kuželovitý Steiner:
„Pokud jsou dvě paralelní axiální tužky, které nejsou nákladné, projektivní, ale nikoli perspektivní, setkávání korelovaných rovin tvoří„ kuželovitý povrch druhého řádu “nebo„ kužel “.“[9]
Vyšší rozměry
Definici kuželu lze rozšířit na vyšší rozměry (viz konvexní kužele ). V tomto případě se říká, že a konvexní sada C v nemovitý vektorový prostor Rn je kužel (s vrcholem na počátku), pokud pro každý vektor X v C a každé nezáporné reálné číslo A, vektor sekera je v C.[2] V této souvislosti nejsou analogy kruhových kuželů obvykle zvláštní; ve skutečnosti je člověk často zajímán polyedrické kužely.
Viz také
- Bicone
- Kužel (lineární algebra)
- Kužel (topologie)
- Válec (geometrie)
- Democritus
- Zobecněný kuželovitý tvar
- Hyperboloid
- Seznam tvarů
- Pyrometrický kužel
- Quadric
- Otáčení os
- Vládl povrch
- Překlad axes
Poznámky
- ^ A b C James, R. C .; James, Glenn (1992-07-31). Matematický slovník. Springer Science & Business Media. str. 74–75. ISBN 9780412990410.
- ^ A b Grünbaum, Konvexní Polytopes, druhé vydání, s. 23.
- ^ Weisstein, Eric W. "Kužel". MathWorld.
- ^ A b Alexander, Daniel C .; Koeberlein, Geralyn M. (01.01.2014). Základní geometrie pro studenty vysokých škol. Cengage Learning. ISBN 9781285965901.
- ^ Hartshorne, Robin (11. 11. 2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. Kapitola 27. ISBN 9780387226767.
- ^ Blank, Brian E .; Krantz, Steven George (01.01.2006). Calculus: Single Variable. Springer Science & Business Media. Kapitola 8. ISBN 9781931914598.
- ^ Protter & Morrey (1970, str. 583)
- ^ Dowling, Linnaeus Wayland (01.01.1917). Projektivní geometrie. McGraw-Hill Book Company, Incorporated.
- ^ G. B. Halsted (1906) Syntetická projektivní geometrie, strana 20
Reference
- Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus s analytickou geometrií (2. vyd.), Čtení: Addison-Wesley, LCCN 76087042
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Kužel". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Double Cone“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. „Zobecněný kužel“. MathWorld.
- Interaktivní Spinning Cone od Maths Is Fun
- Papírový model kužel
- Boční plocha šikmého kužele
- Cut a Cone Interaktivní ukázka průniku kužele s rovinou