Plesiohedron - Plesiohedron

v geometrie, a plesiohedron je zvláštní druh vesmírný mnohostěn, definovaný jako Voronoiova buňka symetrické Delone set. Trojrozměrný Euklidovský prostor mohou být zcela vyplněny kopiemi kteréhokoli z těchto tvarů bez překrytí. Výsledný plástev bude mít symetrie, které vezmou jakoukoli kopii plesiohedronu do jakékoli jiné kopie.

Plesiohedra zahrnuje takové známé tvary jako krychle, šestihranný hranol, kosočtverečný dvanáctistěn, a zkrácený osmistěn Největší počet tváří, které může mít plesiohedron, je 38.

Definice

17stranný plesiohedron a jeho plástev

Sada ${ displaystyle S}$ bodů v Euklidovský prostor je Delone set pokud existuje číslo ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tak, že každé dva body ${ displaystyle S}$ jsou alespoň na dálku ${ displaystyle varepsilon}$ od sebe navzájem a tak, že každý bod vesmíru je v dosahu ${ displaystyle 1 / varepsilon}$ alespoň jednoho bodu v ${ displaystyle S}$ . Tak ${ displaystyle S}$ vyplňuje prostor, ale jeho body se nikdy nepřiblíží příliš blízko sebe. Aby to byla pravda, ${ displaystyle S}$ musí být nekonečné. Navíc sada ${ displaystyle S}$ je symetrický (v tom smyslu, že je třeba definovat plesiohedron), pokud pro každé dva body ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ z ${ displaystyle S}$ , existuje a tuhý pohyb prostoru, který zabírá ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle p}$ na ${ displaystyle q}$ . To znamená symetrie ${ displaystyle S}$ jednat přechodně na ${ displaystyle S}$ .^[1]

The Voronoiho diagram jakékoli sady ${ displaystyle S}$ bodů rozděluje prostor do oblastí zvaných Voronoiho buňky, které jsou blíže jednomu danému bodu ${ displaystyle S}$ než kterémukoli jinému. Když ${ displaystyle S}$ je sada Delone, Voronoiova buňka každého bodu ${ displaystyle p}$ v ${ displaystyle S}$ je konvexní mnohostěn. Tváře tohoto mnohostěnu leží na rovinách, které kolmo rozdělují úsečky ${ displaystyle p}$ do dalších blízkých bodů ${ displaystyle S}$ .^[2]

Když ${ displaystyle S}$ je symetrický stejně jako Delone, všechny Voronoiovy buňky musí být všechny shodný navzájem pro symetrii ${ displaystyle S}$ musí to být také symetrie Voronoiho diagramu. V tomto případě tvoří Voronoiho diagram a plástev ve kterém je pouze jeden prototilní tvar, tvar těchto buněk Voronoi. Tento tvar se nazývá plesiohedron. Takto vytvořený obklad je isohedrální, což znamená, že má nejen jediný prototil („monohedral“), ale také že jakoukoli kopii této dlaždice lze převzít do jakékoli jiné kopie pomocí symetrie obkladů.^[1]

Stejně jako u jiných mnohostěnů vyplňujících prostor je Dehn invariant plesiohedronu je nutně nula.^[3]

Příklady

Plesiohedra zahrnuje pět rovnoběžník. Jedná se o mnohostěny, které mohou obkládat prostor takovým způsobem, že každá dlaždice je symetrická s každou další dlaždicí pomocí translační symetrie bez rotace. Ekvivalentně jsou to buňky Voronoi mříže, protože se jedná o translačně symetrické sady Delone. Plesiohedra jsou zvláštním případem stereohedra, prototily isohedral tilings obecněji.^[1] Z tohoto důvodu (a protože Voronoiovy diagramy jsou také známé jako Dirichletovy teselace) byly také nazývány „Dirichletova stereohedra“^[4]

Existuje pouze konečně mnoho kombinačních typů plesiohedronu. Pozoruhodné individuální plesiohedra zahrnují:

Pět rovnoběžníků: krychle (nebo obecněji) rovnoběžnostěn ), šestihranný hranol, kosočtverečný dvanáctistěn, prodloužený dvanáctistěn, a zkrácený osmistěn.^[5]
The trojúhelníkový hranol, prototil z trojúhelníkový hranolový plástev.^[6] Obecněji řečeno, každý z 11 typů Laves obklady roviny pomocí kongruentních konvexních polygonů (a každý z podtypů těchto naklonění s různými skupinami symetrie) lze realizovat jako Voronoiho buňky symetrické Delone zasazené do roviny.^[7] Z toho vyplývá, že hranoly nad každým z těchto tvarů jsou plesiohedra. Stejně jako trojúhelníkové hranoly zahrnují hranoly nad určitými čtyřúhelníky, pětiúhelníky a šestiúhelníky.
The gyrobifastigium je stereohedron, ale ne plesiohedron, protože body ve středech buněk jeho obkladu tváří v tvář (kde jsou nuceni jít symetrií) mají Voronoiovy buňky různého tvaru. Zploštělá verze gyrobifastigia s tvářemi vyrobenými z rovnoramenné pravé trojúhelníky a stříbrné obdélníky, je plesiohedron.
The triakis zkrácený čtyřstěn, prototil z triakis zkrácený čtyřboký plástev a plesiohedron generovaný diamantová mříž^[1]
The lichoběžníkový kosočtverec, prototil z lichoběžníkovitý dodekahedrální plástev a plesiohedron generovaný šestihranný těsný obal
17stranné Voronoiove buňky Lavesův graf^[8]

Mnoho dalších plesiohedra je známo. Dva různé s největším známým počtem tváří, 38, objevil krystalograf Peter Engel.^[1]^[9] Po mnoho let byl maximální počet tváří plesiohedronu otevřený problém,^[10]^[4]ale analýza možných symetrií trojrozměrného prostoru ukázala, že toto číslo je nanejvýš 38.^[11]

Voronoiové buňky bodů rovnoměrně rozmístěných na a spirála vyplňují prostor, jsou navzájem shodné a lze u nich vytvořit libovolně velké množství tváří.^[12] Body na šroubovici však nejsou sadou Delone a jejich buňky Voronoi nejsou ohraničené mnohostěny.

Moderní průzkum poskytuje Schmitt.^[11]

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1980), „Obklady se shodnými dlaždicemi“, Bulletin of the American Mathematical Society Nová řada, 3 (3): 951–973, doi:10.1090 / S0273-0979-1980-14827-2, PAN 0585178.
^ Aurenhammer, Franz (Září 1991), „Voronoiovy diagramy - průzkum základní geometrické datové struktury“, ACM Computing Surveys, 23 (3): 345–405, doi:10.1145/116873.116880. Viz zejména oddíl 1.2.1, „Pravidelně umísťované stránky“, s. 354–355.
^ Lagarias, J. C.; Moews, D. (1995), „Polytopes that fill ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a shoda nůžek ", Diskrétní a výpočetní geometrie, 13 (3–4): 573–583, doi:10.1007 / BF02574064, PAN 1318797.
^ ^A ^b Sabariego, Pilar; Santos, Francisco (2011), „O počtu aspektů trojrozměrné Dirichletovy stereohedry IV: čtvrtinové kubické skupiny“, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 52 (2): 237–263, arXiv:0708.2114, doi:10.1007 / s13366-011-0010-5, PAN 2842627.
^ Erdahl, R. M. (1999), „Zonotopy, pokusy a Voronoiova domněnka o paraleloedře“, European Journal of Combinatorics, 20 (6): 527–549, doi:10.1006 / eujc.1999.0294, PAN 1703597. Voronoi předpokládal, že všechny náklony prostorů vyšších dimenzí se překládají z jediného konvexní mnohostěn jsou kombinačně ekvivalentní Voronoiho obkladům a Erdahl to dokazuje ve zvláštním případě zonotopy. Ale jak píše (str. 429), Voronoiova domněnka o dimenzích nejvýše čtyř byla již prokázána Delaunayem. Klasifikaci trojrozměrného rovnoběžníku do těchto pěti typů viz Grünbaum & Shephard (1980).
^ Pugh, Anthony (1976), "Close-packing polyhedra", Mnohostěn: vizuální přístup„University of California Press, Berkeley, Kalifornie - Londýn, str. 48–50, PAN 0451161.
^ Delone, B. N.; Dolbilin, N. P .; Štogrin, M. I. (1978), „Kombinatorická a metrická teorie planigonů“, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 148: 109–140, 275, PAN 0558946.
^ Schoen, Alan H. (červen – červenec 2008), „Na grafu (10,3) -a“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 55 (6): 663.
^ Engel, Peter (1981), „Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie“, Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie, 154 (3–4): 199–215, Bibcode:1981ZK .... 154..199E, doi:10.1524 / zkri.1981.154.3-4.199, PAN 0598811.
^ Shephard, G. C. (1985), „69,14 Vyplňování prostoru identickými symetrickými tělesy“, Matematický věstník, 69 (448): 117–120, doi:10.2307/3616930, JSTOR 3616930.
^ ^A ^b Schmitt, Moritz (2016), Na vesmírných skupinách a Dirichlet-Voronoi Stereohedra.
^ Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), „Libovolně velké sousedské rodiny shodných symetrických konvexních 3-polytopů“, Diskrétní geometrie, Monogr. Učebnice Pure Appl. Matematika., 253, Dekker, New York, s. 267–278, arXiv:matematika / 0106095, Bibcode:Matematika 2001 ... 6095E, PAN 2034721.

externí odkazy

Weisstein, Eric W., „Vesmírný mnohostěn“, MathWorld

[gs80-1] A ^b ^C ^d ^E Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1980), „Obklady se shodnými dlaždicemi“, Bulletin of the American Mathematical Society Nová řada, 3 (3): 951–973, doi:10.1090 / S0273-0979-1980-14827-2, PAN 0585178.

[2] Aurenhammer, Franz (Září 1991), „Voronoiovy diagramy - průzkum základní geometrické datové struktury“, ACM Computing Surveys, 23 (3): 345–405, doi:10.1145/116873.116880. Viz zejména oddíl 1.2.1, „Pravidelně umísťované stránky“, s. 354–355.

[3] Lagarias, J. C.; Moews, D. (1995), „Polytopes that fill ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a shoda nůžek ", Diskrétní a výpočetní geometrie, 13 (3–4): 573–583, doi:10.1007 / BF02574064, PAN 1318797.

[ss11-4] A ^b Sabariego, Pilar; Santos, Francisco (2011), „O počtu aspektů trojrozměrné Dirichletovy stereohedry IV: čtvrtinové kubické skupiny“, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 52 (2): 237–263, arXiv:0708.2114, doi:10.1007 / s13366-011-0010-5, PAN 2842627.

[5] Erdahl, R. M. (1999), „Zonotopy, pokusy a Voronoiova domněnka o paraleloedře“, European Journal of Combinatorics, 20 (6): 527–549, doi:10.1006 / eujc.1999.0294, PAN 1703597. Voronoi předpokládal, že všechny náklony prostorů vyšších dimenzí se překládají z jediného konvexní mnohostěn jsou kombinačně ekvivalentní Voronoiho obkladům a Erdahl to dokazuje ve zvláštním případě zonotopy. Ale jak píše (str. 429), Voronoiova domněnka o dimenzích nejvýše čtyř byla již prokázána Delaunayem. Klasifikaci trojrozměrného rovnoběžníku do těchto pěti typů viz Grünbaum & Shephard (1980).

[6] Pugh, Anthony (1976), "Close-packing polyhedra", Mnohostěn: vizuální přístup„University of California Press, Berkeley, Kalifornie - Londýn, str. 48–50, PAN 0451161.

[7] Delone, B. N.; Dolbilin, N. P .; Štogrin, M. I. (1978), „Kombinatorická a metrická teorie planigonů“, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 148: 109–140, 275, PAN 0558946.

[8] Schoen, Alan H. (červen – červenec 2008), „Na grafu (10,3) -a“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 55 (6): 663.

[9] Engel, Peter (1981), „Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie“, Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie, 154 (3–4): 199–215, Bibcode:1981ZK .... 154..199E, doi:10.1524 / zkri.1981.154.3-4.199, PAN 0598811.

[10] Shephard, G. C. (1985), „69,14 Vyplňování prostoru identickými symetrickými tělesy“, Matematický věstník, 69 (448): 117–120, doi:10.2307/3616930, JSTOR 3616930.

[schmitt-11] A ^b Schmitt, Moritz (2016), Na vesmírných skupinách a Dirichlet-Voronoi Stereohedra.

[12] Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), „Libovolně velké sousedské rodiny shodných symetrických konvexních 3-polytopů“, Diskrétní geometrie, Monogr. Učebnice Pure Appl. Matematika., 253, Dekker, New York, s. 267–278, arXiv:matematika / 0106095, Bibcode:Matematika 2001 ... 6095E, PAN 2034721.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]