Pevné body izometrických skupin v euklidovském prostoru - Fixed points of isometry groups in Euclidean space

A pevný bod izometrické skupiny je bod, který je pevný bod pro každého izometrie ve skupině. Pro všechny izometrická skupina v Euklidovský prostor sada pevných bodů je buď prázdná, nebo afinní prostor.

U objektu jakýkoli jedinečný centrum a obecněji jakýkoli bod s jedinečnými vlastnostmi vzhledem k objektu je jeho pevným bodem skupina symetrie.

To platí zejména pro těžiště postavy, pokud existuje. V případě fyzického těla platí, že pokud je pro symetrii zohledněn nejen tvar, ale také hustota, platí pro těžiště.

Pokud je množina pevných bodů skupiny symetrie objektu a jedináček pak má objekt specifický střed symetrie. Těžiště a těžiště, pokud jsou definovány, jsou tento bod. Dalším významem „středu symetrie“ je bod, ve vztahu k němuž platí inverzní symetrie. Takový bod nemusí být jedinečný; pokud tomu tak není, existuje translační symetrie, proto je takových bodů nekonečně mnoho. Na druhou stranu, v případech např. C3h a D2 symetrie existuje střed symetrie v prvním smyslu, ale bez inverze.

Pokud skupina symetrie objektu nemá pevné body, pak je objekt nekonečný a jeho těžiště a těžiště jsou nedefinované.

Pokud je množina pevných bodů skupiny symetrie objektu přímka nebo rovina, pak těžiště a těžiště objektu, pokud jsou definovány, a jakýkoli jiný bod, který má jedinečné vlastnosti vzhledem k objektu, jsou na této přímce nebo letadlo.

1D

Čára
Celá triviální izometrická skupina ponechává celou linku pevnou.
Směřovat
Skupiny generované odrazem nechají bod fixovaný.

2D

Letadlo
Pouze triviální izometrická skupina C1 nechává celé letadlo pevné.
Čára
Cs s ohledem na jakoukoli linii ponechává tuto linku pevnou.
Směřovat
The skupiny bodů ve dvou dimenzích pokud jde o jakýkoli bod, ponechte tento bod pevný.

3D

Prostor
Pouze triviální izometrická skupina C1 ponechává celý prostor pevný.
Letadlo
Cs vzhledem k rovině opouští tuto rovinu pevnou.
Čára
Skupiny izometrie opouštějící pevnou linii jsou izometrie, které v každé rovině kolmé na tuto linii mají společné 2D skupiny bodů ve dvou rozměrech vzhledem k průsečíku přímky a rovin.
  • Cn ( n > 1) a Cnv ( n > 1 )
  • válcová symetrie bez reflexní symetrie v rovině kolmé na osu
  • případy, kdy je skupina symetrie nekonečnou podmnožinou válcové symetrie
Směřovat
Vše ostatní bodové skupiny ve třech rozměrech
Žádné pevné body
Skupina izometrie obsahuje překlady nebo šroubovou operaci.

Libovolný rozměr

Směřovat
Jedním příkladem skupiny izometrie, která platí v každé dimenzi, je skupina generovaná inverzí v bodě. N-dimenzionální rovnoběžnostěn je příkladem invariantu objektu pod takovou inverzí.

Reference

Slavik V. Jablan, Symetrie, ozdoba a modularita, Svazek 30 série K & E o uzlech a všem, World Scientific, 2002. ISBN  9812380809