Matematická analýza - Mathematical analysis

A podivný atraktor vyplývající z a diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice jsou důležitou oblastí matematické analýzy s mnoha aplikacemi Věda a inženýrství.

Matematická analýza je pobočkou matematika jednat s limity a související teorie, jako např diferenciace, integrace, opatření, nekonečná řada, a analytické funkce.^[1][2]

Tyto teorie jsou obvykle studovány v kontextu nemovitý a komplex čísla a funkce. Analýza se vyvinula z počet, který zahrnuje základní pojmy a techniky analýzy. Analýzu lze odlišit od geometrie; lze jej však použít na jakýkoli prostor z matematické objekty který má definici blízkosti (a topologický prostor ) nebo konkrétní vzdálenosti mezi objekty (a metrický prostor ).

Dějiny

Archimedes použil způsob vyčerpání vypočítat plocha uvnitř kruhu vyhledáním oblasti pravidelné mnohoúhelníky s více a více stranami. Toto byl časný, ale neformální příklad a omezit, jeden z nejzákladnějších pojmů v matematické analýze.

Matematická analýza formálně vyvinutá v 17. Století během Vědecká revoluce,^[3] ale mnoho z jeho myšlenek lze vysledovat až k dřívějším matematikům. První výsledky analýzy byly implicitně přítomny v počátcích starověké řecké matematiky. Například nekonečný geometrický součet je implicitní v Zeno paradox dichotomie.^[4] Později, Řeckí matematici jako Eudoxus a Archimedes jasněji, ale neformálně, použily pojmy limity a konvergence, když používaly způsob vyčerpání vypočítat plochu a objem oblastí a těles.^[5] Výslovné použití nekonečně malá čísla objeví se v Archimédově Metoda mechanických vět, dílo znovuobjevené ve 20. století.^[6] V Asii Čínský matematik Liu Hui použil metodu vyčerpání ve 3. století našeho letopočtu k nalezení oblasti kruhu.^[7] Zu Chongzhi zavedl metodu, která by se později volala Cavalieriho princip najít objem a koule v 5. století.^[8] The Indický matematik Bhāskara II uvedl příklady derivát a použil to, co je nyní známé jako Rolleova věta ve 12. století.^[9]

Ve 14. století Madhava ze Sangamagramy rozvinutý nekonečná řada expanze, jako výkonová řada a Taylor série, funkcí, jako je sinus, kosinus, tečna a arkustangens.^[10] Spolu s jeho vývojem Taylor série trigonometrické funkce, také odhadl velikost chybových výrazů vytvořených zkrácením těchto řad a dal racionální aproximaci nekonečné řady. Jeho následovníci na Kerala School of Astronomy and Mathematics dále rozšířil svá díla až do 16. století.

Moderní základy matematické analýzy byly založeny v Evropě 17. století.^[3] Descartes a Fermat nezávisle vyvinut analytická geometrie a o několik desetiletí později Newton a Leibniz nezávisle vyvinut nekonečně malý počet, která se díky podnětu aplikované práce, která pokračovala v 18. století, rozrostla do analytických témat, jako je variační počet, obyčejný a parciální diferenciální rovnice, Fourierova analýza, a generující funkce. Během tohoto období byly použity aproximační techniky diskrétní problémy kontinuálními.

V 18. století Euler představil pojem matematická funkce.^[11] Skutečná analýza se začala objevovat jako samostatný subjekt, když Bernard Bolzano představil moderní definici kontinuity v roce 1816,^[12] ale Bolzanova práce se stala všeobecně známou až v 70. letech 19. století. V roce 1821 Cauchy začal klást počet na pevný logický základ odmítnutím principu obecnost algebry široce používán v dřívější práci, zejména Euler. Místo toho Cauchy formuloval počet z hlediska geometrických myšlenek a nekonečně malá čísla. Jeho definice kontinuity tedy vyžadovala nekonečně malou změnu X odpovídat nekonečně malé změně v y. Rovněž představil koncept Cauchyova posloupnost, a zahájil formální teorii komplexní analýza. jed, Liouville, Fourier a další studovali parciální diferenciální rovnice a harmonická analýza. Příspěvky těchto matematiků a dalších, jako např Weierstrass, vyvinuli (ε, δ) - definice limitu přístup, čímž se zakládá moderní pole matematické analýzy.

V polovině 19. století Riemann představil svou teorii integrace. Poslední třetina století viděla aritmetizace analýzy podle Weierstrass, který si myslel, že geometrické uvažování je ze své podstaty zavádějící, a představil definice „epsilon-delta“ z omezit Poté se matematici začali obávat, že předpokládají existenci a kontinuum z reálná čísla bez důkazu. Dedekind poté zkonstruovala reálná čísla pomocí Dedekind škrty, ve kterém jsou formálně definována iracionální čísla, která slouží k vyplnění „mezer“ mezi racionálními čísly, čímž se vytváří kompletní množina: kontinuum reálných čísel, která již byla vyvinuta Simon Stevin ve smyslu desetinná rozšíření. V té době byly pokusy o zušlechťování věty z Riemannova integrace vedlo ke studiu "velikosti" souboru nespojitosti skutečných funkcí.

Taky, "příšery " (nikde spojité funkce, kontinuální ale nikde diferencovatelné funkce, křivky vyplňující prostor ) začal být vyšetřován. V tomto kontextu, Jordán rozvinul svou teorii opatření, Cantor vyvinuli to, co se nyní nazývá naivní teorie množin, a Baire prokázal Věta o kategorii Baire. Na počátku 20. století byl počet formován pomocí axiomatiky teorie množin. Lebesgue vyřešil problém opatření a Hilbert představen Hilbertovy prostory vyřešit integrální rovnice. Myšlenka normovaný vektorový prostor byl ve vzduchu a ve 20. letech 20. století Banach vytvořeno funkční analýza.

Důležité koncepty

Metrické prostory

v matematika, a metrický prostor je soubor kde pojem vzdálenost (volal a metrický ) je definován mezi prvky sady.

Hodně z analýzy se děje v nějakém metrickém prostoru; nejčastěji používané jsou skutečná linie, složité letadlo, Euklidovský prostor, jiný vektorové prostory a celá čísla. Mezi příklady analýzy bez metriky patří teorie míry (který popisuje spíše velikost než vzdálenost) a funkční analýza (který studuje topologické vektorové prostory které nemusí mít žádný smysl pro vzdálenost).

Formálně je metrický prostor objednaný pár ${ displaystyle (M, d)}$ kde ${ displaystyle M}$ je sada a ${ displaystyle d}$ je metrický na ${ displaystyle M}$, tj. a funkce

${ displaystyle d dvojtečka M krát M rightarrow mathbb {R}}$

takový, že pro každého ${ displaystyle x, y, z v M}$, platí:

1. ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle x = y}$    (totožnost nerozporných ),
2. ${ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$    (symetrie), a
3. ${ displaystyle d (x, z) leq d (x, y) + d (y, z)}$    (nerovnost trojúhelníku ).

Tím, že vezmete třetí vlastnost a necháte ${ displaystyle z = x}$, lze ukázat, že ${ displaystyle d (x, y) geq 0}$     (nezáporné).

Sekvence a limity

A sekvence je seřazený seznam. Jako soubor, obsahuje členů (také zvaný elementynebo podmínky). Na rozdíl od sady záleží na pořadí a přesně stejné prvky se mohou objevit několikrát na různých pozicích v pořadí. Nejpřesněji lze sekvenci definovat jako a funkce jehož doménou je a počitatelný úplně objednané sada, například přirozená čísla.

Jednou z nejdůležitějších vlastností sekvence je konvergence. Neformálně sekvence konverguje, pokud má a omezit. Neformální pokračování (jednotlivě nekonečný ) posloupnost má limit, pokud se blíží nějakému bodu X, nazvaný limit, as n se stává velmi velkým. To znamená pro abstraktní sekvenci (A_n) (s n vzdálenost od 1 do nekonečna pochopena) vzdálenost mezi A_n a X se blíží 0 jako n → ∞, označeno

${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = x.}$

Hlavní větve

Skutečná analýza

Skutečná analýza (tradičně teorie funkcí reálné proměnné) je obor matematické analýzy zabývající se reálná čísla a funkce reálné proměnné se skutečnou hodnotou.^[13][14] Zejména se zabývá analytickými vlastnostmi reálných funkce a sekvence, počítaje v to konvergence a limity z sekvence reálných čísel, počet skutečných čísel a kontinuita, hladkost a související vlastnosti funkcí se skutečnou hodnotou.

Složitá analýza

Složitá analýza, tradičně známý jako teorie funkcí komplexní proměnné, je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce z komplexní čísla.^[15] To je užitečné v mnoha oborech matematiky, včetně algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; stejně jako v fyzika, počítaje v to hydrodynamika, termodynamika, strojírenství, elektrotechnika a zejména kvantová teorie pole.

Komplexní analýza se týká zejména: analytické funkce komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfní funkce ). Protože oddělený nemovitý a imaginární části jakékoli analytické funkce musí vyhovovat Laplaceova rovnice, komplexní analýza je široce použitelná pro dvourozměrné problémy v fyzika.

Funkční analýza

Funkční analýza je obor matematické analýzy, jehož jádro tvoří studium vektorové prostory obdařen nějakou strukturou související s limity (např. vnitřní produkt, norma, topologie atd.) a lineární operátory působící na tyto prostory a respektující tyto struktury ve vhodném smyslu.^[16][17] Historické kořeny funkční analýzy spočívají ve studiu prostory funkcí a formulace vlastností transformací funkcí, jako je Fourierova transformace jako definování transformací kontinuální, unitární operátory atd. mezi funkčními prostory. Tento úhel pohledu se ukázal být zvláště užitečným pro studium rozdíl a integrální rovnice.

Diferenciální rovnice

A diferenciální rovnice je matematický rovnice za neznámou funkce jednoho nebo několika proměnné který souvisí s hodnotami samotné funkce a jejích funkcí deriváty různých objednávky.^[18][19][20] Diferenciální rovnice hrají prominentní roli v inženýrství, fyzika, ekonomika, biologie a další disciplíny.

Diferenciální rovnice vznikají v mnoha oblastech vědy a techniky, konkrétně kdykoli a deterministický vztah zahrnující některé kontinuálně se měnící veličiny (modelované funkcemi) a jejich rychlosti změny v prostoru nebo čase (vyjádřené jako deriváty) je známý nebo postulovaný. To je znázorněno na klasická mechanika, kde je pohyb tělesa popsán jeho polohou a rychlostí, jak se mění časová hodnota. Newtonovy zákony dovolte jednomu (vzhledem k poloze, rychlosti, zrychlení a různým silám působícím na tělo) dynamicky vyjádřit tyto proměnné jako diferenciální rovnici pro neznámou polohu těla jako funkci času. V některých případech se tato diferenciální rovnice (tzv pohybová rovnice ) lze vyřešit výslovně.

Teorie měření

A opatření na soubor je systematický způsob, jak každému vhodnému přiřadit číslo podmnožina této sady, intuitivně interpretované jako její velikost.^[21] V tomto smyslu je míra zobecněním pojmů délka, plocha a objem. Obzvláště důležitým příkladem je Lebesgueovo opatření na Euklidovský prostor, který přiřazuje konvenční délka, plocha, a objem z Euklidovská geometrie do vhodných podskupin ${ displaystyle n}$-rozměrný euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Například Lebesgueova míra interval ${ displaystyle left [0,1 right]}$ v reálná čísla je jeho délka v každodenním slova smyslu - konkrétně 1.

Technicky je míra funkce, která přiřadí nezáporné reálné číslo nebo +∞ na (určité) podmnožiny sady ${ displaystyle X}$. Musí přiřadit 0 prázdná sada a buď (spočetně ) aditivum: míra „velké“ podmnožiny, kterou lze rozložit na konečný (nebo spočetný) počet „menších“ disjunktních podmnožin, je součtem měr „menších“ podmnožin. Obecně platí, že pokud někdo chce spojit a konzistentní velikost do každý podmnožina dané množiny, zatímco uspokojuje ostatní axiomy míry, najde pouze triviální příklady jako počítání opatření. Tento problém byl vyřešen definováním míry pouze u dílčí kolekce všech podskupin; takzvaný měřitelný podmnožiny, které jsou nutné k vytvoření a ${ displaystyle sigma}$-algebra. To znamená, že počítatelné odbory, spočítatelné křižovatky a doplňuje měřitelných podmnožin je měřitelných. Neměřitelné množiny v euklidovském prostoru, kde nelze důsledně definovat Lebesgueovu míru, jsou nutně komplikované ve smyslu špatného smíchání s jejich doplňkem. Ve skutečnosti je jejich existence netriviálním důsledkem axiom volby.

Numerická analýza

Numerická analýza je studium algoritmy které používají číselné hodnoty přiblížení (na rozdíl od obecného symbolické manipulace ) pro problémy matematické analýzy (na rozdíl od diskrétní matematika ).^[22]

Moderní numerická analýza neusiluje o přesné odpovědi, protože přesné odpovědi je v praxi často nemožné získat. Místo toho se hodně numerické analýzy zabývá získáním přibližných řešení při zachování rozumných mezí chyb.

Numerická analýza přirozeně nachází uplatnění ve všech oblastech strojírenství a přírodních věd, ale v 21. století přijaly vědy o živé přírodě a dokonce i umění prvky vědeckých výpočtů. Obyčejné diferenciální rovnice objevit v nebeská mechanika (planety, hvězdy a galaxie); numerická lineární algebra je důležité pro analýzu dat; stochastické diferenciální rovnice a Markovovy řetězy jsou nezbytné pro simulaci živých buněk pro medicínu a biologii.

Další témata

• Variační počet se zabývá extremizací funkcionáři, na rozdíl od obyčejných počet který se zabývá funkce.
• Harmonická analýza se zabývá zastoupením funkce nebo signály jako superpozice základní vlny.
• Geometrická analýza zahrnuje použití geometrických metod při studiu parciální diferenciální rovnice a aplikace teorie parciálních diferenciálních rovnic na geometrii.
• Cliffordova analýza, studie funkcí oceněných Cliffordem, které jsou zničeny Diracem nebo operátory podobnými Diracovi, obecně označované jako monogenní nebo Cliffordovy analytické funkce.
• p-adická analýza, studium analýzy v kontextu p-adická čísla, který se některými zajímavými a překvapivými způsoby liší od svých skutečných a složitých protějšků.
• Nestandardní analýza, který vyšetřuje hyperrealistická čísla a jejich funkce a dává a rigorózní léčba nekonečně malá čísla a nekonečně velká čísla.
• Vypočitatelná analýza, studium, které části analýzy lze provést v a vypočitatelný způsob.
• Stochastický počet - analytické pojmy vyvinuté pro stochastické procesy.
• Stanovená hodnota - aplikuje nápady z analýzy a topologie na funkce s oceněnou hodnotou.
• Konvexní analýza, studium konvexních množin a funkcí.
• Idempotentní analýza - analýza v kontextu idempotentní semiring, kde je nedostatek aditivní inverze poněkud kompenzován idempotentním pravidlem A + A = A.
  • Tropická analýza - analýza idempotentního semiringu zvaného tropický semiring (nebo max-plus algebra /min-plus algebra ).

Aplikace

Techniky analýzy se nacházejí také v dalších oblastech, jako jsou:

Fyzikální vědy

Drtivá většina z klasická mechanika, relativita, a kvantová mechanika je založen na aplikované analýze a diferenciální rovnice zejména. Mezi příklady důležitých diferenciálních rovnic patří Newtonův druhý zákon, Schrödingerova rovnice a Einsteinovy ​​polní rovnice.

Funkční analýza je také hlavním faktorem v kvantová mechanika.

Zpracování signálu

Při zpracování signálů, jako je např Zvuk, rádiové vlny, světelné vlny, seismické vlny Fourierova analýza a dokonce i obrázky mohou izolovat jednotlivé složky složeného tvaru vlny a koncentrovat je pro snazší detekci nebo odstranění. Velká rodina technik zpracování signálu sestává z Fourierovy transformace signálu, jednoduché manipulace s Fourierovými transformovanými daty a obrácení transformace.^[23]

Další oblasti matematiky

Techniky analýzy se používají v mnoha oblastech matematiky, včetně:

• Teorie analytických čísel
• Analytická kombinatorika
• Trvalá pravděpodobnost
• Diferenciální entropie v teorii informací
• Diferenciální hry
• Diferenciální geometrie, aplikace počtu na konkrétní matematické prostory známé jako rozdělovače které mají komplikovanou vnitřní strukturu, ale chovají se lokálně jednoduchým způsobem.
• Diferencovatelné potrubí
• Diferenciální topologie
• Parciální diferenciální rovnice

Viz také

• Konstruktivní analýza
• Historie počtu
• Neklasická analýza
• Parakonzistentní logika
• Hladká nekonečně malá analýza
• Časová osa počtu a matematické analýzy

Poznámky

Reference

• Aleksandrov, A.D .; Kolmogorov, A.N .; Lavrent'ev, M.A., eds. (1984). Matematika, její obsah, metody a význam. Přeložil Gould, S.H .; Hirsch, K.A .; Bartha, T. Překlad upravil S.H. Gould (2. vyd.). MIT Press; publikováno ve spolupráci s Americkou matematickou společností.
• Apostol, Tom M. (1974). Matematická analýza (2. vyd.). Addison – Wesley. ISBN  978-0-201-00288-1.
• Binmore, K.G. (1980–1981). Základy analýzy: přímý úvod. Cambridge University Press.
• Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, W.E. (1981). Základy matematické analýzy. New York: M. Dekker.
• Nikol'skii, S.M. (2002). „Matematická analýza“. v Hazewinkel, Michiel (vyd.). Encyklopedie matematiky. Springer-Verlag. ISBN  978-1-4020-0609-8. Archivovány od originál dne 9. dubna 2006.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due (v italštině). Liguori Editore. ISBN  978-88-207-2675-1.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (francouzsky). EDP ​​Sciences. ISBN  978-2-86883-681-6.
• Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-054234-1.
• Smith, David E. (1958). Dějiny matematiky. Dover Publications. ISBN  978-0-486-20430-7.
• Whittaker, E.T.; Watson, G N. (1927). Kurz moderní analýzy (4. vydání). Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-58807-2.
• "Skutečná analýza - poznámky k kurzu" (PDF).

externí odkazy

• Nejstarší známá použití některých slov matematiky: počet a analýza
• Základní analýza: Úvod do reálné analýzy od Jiřího Lebla (Creative Commons BY-NC-SA )
• Matematická analýza - encyklopedie Britannica
• Kalkul a analýza