Aritmetizace analýzy - Arithmetization of analysis

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Ledna 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The aritmetizace analýzy byl výzkumný program v EU základy matematiky provedeno ve druhé polovině 19. století.

Dějiny

Kronecker původně představil tento termín aritmetizace analýzy, čímž měl na mysli jeho konstruktivizaci v kontextu přirozených čísel (viz citace v dolní části stránky). Význam termínu se později posunul, aby znamenal množinově-teoretickou konstrukci skutečné linie. Jeho hlavním zastáncem byl Weierstrass, který argumentoval geometrickými základy počet nebyly dostatečně pevné pro přísnou práci.

Výzkumný program

Mezi hlavní body tohoto výzkumného programu patří:

• různé (ale ekvivalentní) stavby z reálná čísla podle Dedekind a Cantor což má za následek moderní axiomatickou definici pole reálného čísla;
• definice epsilon-delta omezit; a
• the naivní množinová teorie definice funkce.

Dědictví

Důležité rozdělení aritmetizace analýzy je teorie množin. Naivní teorii množin vytvořil Cantor a další po aritmetizaci byla dokončena jako způsob studia singularit funkcí funkcí objevujících se v počtu.

Aritmetizace analýzy měla několik důležitých důsledků:

• široce rozšířená víra v vyhoštění nekonečně malá čísla od matematiky až po vytvoření nestandardní analýza podle Abraham Robinson v 60. letech 20. století, zatímco ve skutečnosti práce na nearchimédských systémech pokračovaly v nezmenšené míře, jak dokumentoval P. Ehrlich;
• posun důrazu z geometrický na algebraický uvažování: toto mělo důležité důsledky ve způsobu, jakým se dnes matematika vyučuje;
• umožnil vývoj moderních teorie míry podle Lebesgue a základy funkční analýza podle Hilbert;
• motivovalo to v současnosti převládající filozofickou pozici, že veškerou matematiku lze odvodit z logiky a teorie množin, což nakonec povede k Hilbertův program, Gödel věty a nestandardní analýza.

Citace

• „Bůh stvořil přirozená čísla, vše ostatní je dílem člověka.“ - Kronecker

Reference

• Torina Dechaune Lewis (2006) Aritmetizace analýzy: Od Eudoxuse k Dedekindovi, Southern University.
• Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011) Dějiny matematiky John Wiley & Sons.
• Aritmetizace analýzy na Encyclopedia of Mathematics.