Nechat být libovolná množina a své napájecí sada. A Operátor uzavření Kuratowského je unární provoz s následujícími vlastnostmi:
[K1] To zachová prázdnou sadu: ;
[K2] to je rozsáhlý: pro všechny , ;
[K3] to je idempotentní: pro všechny , ;
[K4] To konzervuje/distribuuje přes binární odbory: pro všechny , .
Důsledek zachování binárních unií je následující podmínka:[4]
[K4 '] to je izotonický: .
Ve skutečnosti, pokud přepíšeme rovnost na [K4] jako zahrnutí, což dává slabší axiom [K4 ''] (subadditivita):
[K4 ''] to je subadditivní: pro všechny , ,
pak je snadné tyto axiomy vidět [K4 '] a [K4 ''] dohromady jsou ekvivalentní [K4] (viz následující poslední odstavec Důkazu 2 níže).
Kuratowski (1966) zahrnuje pátý (volitelný) axiom vyžadující, aby singletonové sady byly stabilní při uzavření: pro všechny , . Odkazuje na topologické prostory, které splňují všech pět axiomů jako T1-prostory na rozdíl od obecnějších prostorů, které uspokojí pouze čtyři uvedené axiomy. Ve skutečnosti tyto prostory přesně odpovídají topologická T1-prostory prostřednictvím obvyklé korespondence (viz níže).[5]
Pokud požadavek [K3] je vynechán, pak axiomy definují a Čech uzavírací operátor.[6] Li [K1] místo toho je vynechán, pak uspokojivý operátor [K2], [K3] a [K4 '] se říká, že je Operátor uzavření Moore.[7] Pár je nazýván Kuratowski, Čech nebo Mooreův uzavírací prostor v závislosti na axiomech splněných .
Alternativní axiomatizace
Čtyři kuratowského uzavírací axiomy lze nahradit jedinou podmínkou danou Pervinem:[8]
[P] Pro všechny , .
Axiomy [K1]—[K4] lze odvodit v důsledku tohoto požadavku:
Vybrat . Pak nebo . To okamžitě naznačuje [K1].
Vyberte libovolný a . Poté aplikujeme axiom [K1], , což znamená [K2].
Vybrat a svévolné . Poté aplikujeme axiom [K1], , který je [K3].
Zvolte libovolný . Použití axiomů [K1]—[K3], jeden odvozuje [K4].
Alternativně, Monteiro (1945) chyba harvp: žádný cíl: CITEREFMonteiro1945 (Pomoc) navrhl slabší axiom, který jen obnáší [K2]—[K4]:[9]
[M] Pro všechny , .
Požadavek [K1] je nezávislý na [M] : opravdu, pokud , operátor definováno stálým přiřazením splňuje [M] ale nezachová prázdnou sadu, protože . Všimněte si, že podle definice každý operátor vyhovuje [M] je uzavírací operátor Moore.
Symetrickější alternativa k [M] M. O. Botelho a M. H. Teixeira také prokázali, že znamenají axiomy [K2]—[K4]:[2]
[BT] Pro všechny , .
Analogické struktury
Provozovatelé interiérů, exteriérů a hranic
Dvojí pojem pro operátory uzavírání Kuratowského je pojem Kuratowski vnitřní operátor, což je mapa splňující následující podobné požadavky:[3]
[I1] To zachovává celkový prostor: ;
[I2] to je intenzivní: pro všechny , ;
[I3] to je idempotentní: pro všechny , ;
[I4] To zachovává binární křižovatky: pro všechny , .
U těchto operátorů lze dospět k závěrům, které jsou zcela analogické tomu, co bylo vyvozeno pro uzávěry Kuratowski. Například všichni operátoři interiéru Kuratowski jsou izotonický, tj. uspokojují [K4 ']a kvůli intenzitě [I2], je možné oslabit rovnost v [I3] k jednoduchému zařazení.
Dualitu mezi uzávěry Kuratowski a interiéry zajišťuje přirozené operátor doplňku na , mapa odesílání . Tato mapa je ortokomplementace na mřížce sady výkonu, což znamená, že splňuje De Morganovy zákony: pokud je libovolná sada indexů a ,
Použitím těchto zákonů spolu s určujícími vlastnostmi , lze ukázat, že jakýkoli interiér Kuratowského vyvolává uzavření Kuratowského (a naopak), a to prostřednictvím definujícího vztahu (a ). Každý získaný výsledek týkající se lze převést na výsledek týkající se využitím těchto vztahů ve spojení s vlastnostmi ortokomplementace .
Pervin (1964) dále poskytuje analogické axiomy pro Kuratowski externí operátoři[3] a Kuratowski hraniční operátoři,[10] které také prostřednictvím vztahů vyvolávají uzavření Kuratowského a .
Všimněte si, že axiomy [K1]—[K4] lze upravit tak, aby definovaly abstraktní unární provoz na obecně ohraničené mřížce formálním nahrazením set-teoretické inkluze částečným řádem spojeným s mřížkou, set-teoretické spojení s operací spojení a set-teoretické průniky s operací meet; podobně pro axiomy [I1]—[I4]. Pokud je mřížka orthocomplemented, tyto dvě abstraktní operace se navzájem indukují obvyklým způsobem. K definování a. Lze použít abstraktní uzávěr nebo operátory interiérů zobecněná topologie na mříži.
Vzhledem k tomu, že se v požadavku na operátora uzavření Moore neobjeví ani odbory, ani prázdná množina, lze definici upravit tak, aby definovala abstraktního unárního operátora libovolně poset.
Spojení s dalšími axiomatizacemi topologie
Indukce topologie od uzavření
Operátor uzavření přirozeně vyvolá a topologie jak následuje. Nechat být libovolná množina. Řekneme, že podmnožina je Zavřeno pokud jde o operátora uzavření Kuratowského právě když je to pevný bod řečeného operátora, nebo jinými slovy ano stabilní pod, tj. . Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celkového prostoru, které jsou doplňkem uzavřených množin, splňuje tři obvyklé požadavky na topologii nebo ekvivalentně rodinu všech uzavřených sad splňuje následující:
[T2] to je dokončit pod libovolnými křižovatkami, tj. pokud je libovolná sada indexů a , pak ;
[T3] to je dokončit pod konečnými odbory, tj. pokud je konečná sada indexů a , pak .
Všimněte si, že idempotencí [K3], lze stručně napsat .
Důkaz 1.
[T1] Rozsáhlostí [K2], a protože uzávěr mapuje výkonovou sadu do sebe (tj. obraz jakékoli podmnožiny je podmnožinou ), my máme . Tím pádem . Zachování prázdné množiny [K1] snadno naznačuje .
[T2] Dále nechte být libovolná sada indexů a nechat být zavřený pro každého . Rozsáhlostí [K2], . Také izotonicitou [K4 '], pokud pro všechny indexy , pak pro všechny , což znamená . Proto, , význam .
[T3] Nakonec nechte být konečnou sadou indexů a nechat být zavřený pro každého . Ze zachování binárních unií [K4]a pomocí indukce na počtu podmnožin, z nichž vezmeme unii, máme . Tím pádem, .
Indukce uzavření z topologie
Naopak, vzhledem k rodině uspokojující axiomy [T1]—[T3], je možné sestavit operátora uzavření Kuratowského následujícím způsobem: if a je zahrnutí naštvaný z , pak
definuje operátora uzavření Kuratowského na .
Důkaz 2.
[K1] Od té doby , redukuje na průsečík všech sad v rodině ; ale podle axiomu [T1], takže křižovatka se zhroutí do nulové množiny a [K1] následuje.
[K2] Podle definice , máme to pro všechny , a tudíž musí být obsaženy v průsečíku všech takových množin. Z toho plyne extenzivita [K2].
[K3] Všimněte si, že pro všechny , rodina obsahuje sama o sobě jako minimální prvek w.r.t. zařazení. Proto , což je idempotence [K3].
[K4 “] Nechat : pak , a tudíž . Zjistili jsme, že druhá rodina může obsahovat více prvků než ta první , což je izotonicita [K4 ']. Všimněte si, že izotonicita naznačuje a , což společně znamená .
[K4] Nakonec opravte . Axiom [T2] naznačuje ; dále axiom [T2] to naznačuje . Rozsáhlostí [K2] jeden má a , aby . Ale , takže celkem . Od té doby je minimální prvek w.r.t. najdeme . Bod 4. zajišťuje aditivitu [K4].
Přesná korespondence mezi těmito dvěma strukturami
Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud je sbírka všech operátorů uzavírání Kuratowského , a je kolekce všech rodin sestávající z doplňků všech sad v topologii, tj. kolekce všech uspokojujících rodin [T1]—[T3], pak takhle je bijekce, jejíž inverze je dána úkolem .
Důkaz 3.
Nejprve to dokážeme , operátor identity na . Za dané uzavření Kuratowského , definovat ; pak pokud jeho natřený uzávěr je křižovatkou všech -stabilní sady, které obsahují . Jeho neproniknutelný uzávěr splňuje tento popis: roztažností [K2] my máme a idempotencí [K3] my máme , a tudíž . Teď, pojďme takhle : podle izotonicity [K4 '] my máme , a od té doby dospěli jsme k závěru, že . Proto je minimální prvek w.r.t. zahrnutí, z čehož vyplývá .
Nyní to dokazujeme . Li a je rodina všech sad, které jsou stabilní pod , následuje výsledek, pokud obojí a . Nechat : proto . Od té doby je průsečík libovolné podrodiny a druhý je kompletní pod libovolnými křižovatkami od [T2], pak . Naopak, pokud , pak je minimální nadmnožina který je obsažen v . Ale to je triviální sám o sobě, z čehož vyplývá .
Pozorujeme, že lze také rozšířit bijekci do sbírky všech operátorů uzavírání Čech, který přísně obsahuje ; toto rozšíření je také surjektivní, což znamená, že všichni operátoři uzavření Čech jsou zapnuti také vyvolat topologii na .[11] To však znamená, že už není bijekce.
Příklady
Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Srpna 2019)
Jak bylo uvedeno výše, vzhledem k topologickému prostoru můžeme definovat uzavření jakékoli podmnožiny být set , tj. průnik všech uzavřených množin které obsahují . Sada je nejmenší uzavřená sada obsahující a operátor je provozovatel uzavírání Kuratowski.
Opravte svévolně a nechte být takový, že pro všechny . Pak definuje uzavření Kuratowského; odpovídající rodina uzavřených množin se shoduje s , rodina všech podskupin, které obsahují . Když , znovu načteme diskrétní topologii (tj. , jak je patrné z definic).
Li je základní číslo takové, že , pak operátor takhle
Jelikož jakýkoli uzávěr Kuratowského je izotonický, a tedy samozřejmě i jakékoli mapování inkluze, jeden má Galoisovo spojení, za předpokladu, jeden pohled jako poset s ohledem na začlenění a jako dílčí sada . Ve skutečnosti to lze snadno ověřit pro všechny a , kdyby a jen kdyby .
Li je podčeleď , pak
Li , pak .
Topologické koncepty z hlediska uzavření
Zdokonalení a podprostory
Pár uzávěrů Kuratowského takhle pro všechny vyvolat topologie takhle a naopak. Jinými slovy, dominuje tehdy a jen tehdy, pokud topologie indukovaná posledně jmenovaným je zdokonalením topologie indukované prvním, nebo ekvivalentně .[13] Například, jasně dominuje (druhý je právě identita na ). Protože stejného závěru lze dosáhnout nahrazením s rodinou obsahující doplňky všech jejích členů, pokud je obdařen částečným řádem pro všechny a je obdařen řádem upřesnění, můžeme z toho vyvodit závěr je antimonické mapování mezi posety.
V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené sady indukují nového operátora uzavření, který je pouze původním operátorem uzavření omezeným na A: , pro všechny .[14]
Souvislé mapy, uzavřené mapy a homeomorfismy
Funkce je kontinuální v určitém okamžiku iff , a je kontinuální všude, pokud
pro všechny podskupiny .[15] Mapování je uzavřená mapa, pokud platí opačné zahrnutí,[16] a je to homeomorfismus iff je kontinuální i uzavřený, tj. iff platí rovnost.[17]