Hustý sám o sobě - Dense-in-itself - Wikipedia
v obecná topologie podmnožina a topologický prostor se říká, že je sám o sobě hustý[1][2] nebo přeplněný[3][4]-li nemá žádný izolovaný bod Ekvivalentně, je hustá sama o sobě, pokud je každý bod je mezní bod z .Tím pádem je sám o sobě hustý právě tehdy , kde je odvozená množina z .
Hustota sama o sobě uzavřená sada se nazývá a perfektní sada. (Jinými slovy, dokonalá množina je uzavřená množina bez izolovaného bodu.)
Pojem hustá sada nesouvisí s sám o sobě hustý. To může být někdy matoucí, protože „X je hustá v X“ (vždy platí) není totéž jako „X je hustá v sobě“ (žádný izolovaný bod).
Příklady
Jednoduchý příklad množiny, která je sama o sobě hustá, ale není uzavřená (a tudíž není dokonalá), je podmnožinou iracionální čísla (považováno za podmnožinu reálná čísla ). Tato sada je sama o sobě hustá, protože každá sousedství iracionálního čísla obsahuje alespoň jedno další iracionální číslo . Na druhou stranu množina iracionálů není uzavřena, protože každá racionální číslo spočívá v jeho uzavření. Z podobných důvodů byla sada racionálních čísel (také považována za podmnožinu souboru) reálná čísla ) je také sám o sobě hustý, ale není uzavřený.
Výše uvedené příklady, iracionální a racionální, jsou také husté sady v jejich topologickém prostoru, jmenovitě . Jako příklad, který je hustý sám o sobě, ale není hustý ve svém topologickém prostoru, zvažte . Tato sada není hustá ale je sám o sobě hustý.
Vlastnosti
- Spojení jakékoli rodiny podmnožin hustého prostoru v sobě X je sám o sobě hustý.[5]
- V topologickém prostoru je průsečík otevřené množiny a množiny v sobě hustý.
- V topologickém prostoru je uzavření sady typu „hustá sama o sobě“ dokonalou sadou.[6]
Viz také
Poznámky
- ^ Steen & Seebach, str. 6
- ^ Engelking, str. 25
- ^ http://www.topo.auburn.edu/tp/reprints/v21/tp21008.pdf
- ^ https://www.researchgate.net/publication/228597275_a-Scattered_spaces_II
- ^ Engelking, 1.7.10, str. 59
- ^ Kuratowski, str. 77
Reference
- Engelking, Ryszard (1989). Obecná topologie. Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
- Kuratowski, K. (1966). Topologie sv. Já. Akademický tisk. ISBN 012429202X.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. PAN 0507446.
Tento článek obsahuje materiál od Dense sám o sobě PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.