Hustý sám o sobě - Dense-in-itself - Wikipedia

v obecná topologie podmnožina ${ displaystyle A}$ a topologický prostor se říká, že je sám o sobě hustý^[1][2] nebo přeplněný^[3][4]-li ${ displaystyle A}$ nemá žádný izolovaný bod Ekvivalentně, ${ displaystyle A}$ je hustá sama o sobě, pokud je každý bod ${ displaystyle A}$ je mezní bod z ${ displaystyle A}$.Tím pádem ${ displaystyle A}$ je sám o sobě hustý právě tehdy ${ displaystyle A subseteq A '}$, kde ${ displaystyle A '}$ je odvozená množina z ${ displaystyle A}$.

Hustota sama o sobě uzavřená sada se nazývá a perfektní sada. (Jinými slovy, dokonalá množina je uzavřená množina bez izolovaného bodu.)

Pojem hustá sada nesouvisí s sám o sobě hustý. To může být někdy matoucí, protože „X je hustá v X“ (vždy platí) není totéž jako „X je hustá v sobě“ (žádný izolovaný bod).

Příklady

Jednoduchý příklad množiny, která je sama o sobě hustá, ale není uzavřená (a tudíž není dokonalá), je podmnožinou iracionální čísla (považováno za podmnožinu reálná čísla ). Tato sada je sama o sobě hustá, protože každá sousedství iracionálního čísla ${ displaystyle x}$ obsahuje alespoň jedno další iracionální číslo ${ displaystyle y neq x}$. Na druhou stranu množina iracionálů není uzavřena, protože každá racionální číslo spočívá v jeho uzavření. Z podobných důvodů byla sada racionálních čísel (také považována za podmnožinu souboru) reálná čísla ) je také sám o sobě hustý, ale není uzavřený.

Výše uvedené příklady, iracionální a racionální, jsou také husté sady v jejich topologickém prostoru, jmenovitě ${ displaystyle mathbb {R}}$. Jako příklad, který je hustý sám o sobě, ale není hustý ve svém topologickém prostoru, zvažte ${ displaystyle mathbb {Q} čepice [0,1]}$. Tato sada není hustá ${ displaystyle mathbb {R}}$ ale je sám o sobě hustý.

Vlastnosti

• Spojení jakékoli rodiny podmnožin hustého prostoru v sobě X je sám o sobě hustý.^[5]
• V topologickém prostoru je průsečík otevřené množiny a množiny v sobě hustý.
• V topologickém prostoru je uzavření sady typu „hustá sama o sobě“ dokonalou sadou.^[6]

Viz také

• Nikde hustá sada
• Glosář topologie
• Hustá objednávka

Poznámky

Reference

• Engelking, Ryszard (1989). Obecná topologie. Heldermann Verlag, Berlín. ISBN  3-88538-006-4.
• Kuratowski, K. (1966). Topologie sv. Já. Akademický tisk. ISBN  012429202X.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. PAN  0507446.

Tento článek obsahuje materiál od Dense sám o sobě PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.