Ultrametrický prostor - Ultrametric space

v matematika, an ultrametrický prostor je metrický prostor ve kterém nerovnost trojúhelníku je posílena na ${ Displaystyle d (x, z) leq max doleva {d (x, y), d (y, z) doprava }}$ . Někdy se přidružená metrika nazývá také a non-Archimédova metrika nebo supermetrické. Ačkoli se některé věty pro ultrametrické prostory mohou na první pohled zdát divné, v mnoha aplikacích se objevují přirozeně.

Formální definice

An ultrametrický na soubor $M$ je nemovitý -hodnotená funkce

{ displaystyle d dvojtečka M krát M rightarrow mathbb {R}}

(kde $ℝ$ označit reálná čísla ), takže pro všechny $X, y, z \in M$ :

$d (X, y) \geq 0$ ;
$d (X, y) = d (y, X)$ (symetrie)
$d (X, X) = 0$ ;
-li $d (X, y) = 0$ pak $X = y$ (Totožnost nerozbitných);
$d (X, z) \leq max {d (X, y), d (y, z)$ } (silný trojúhelník nebo ultrametrická nerovnost).

Definice: An ultrametrický prostor je pár $(M, d)$ skládající se ze sady $M$ společně s ultrametrickým $d$ na $M$ , která se nazývá funkce vzdálenosti spojená s prostorem (také nazývaná a metrický ).

Definice:^[1] Li $d$ splňuje všechny podmínky, s výjimkou případné podmínky 4 (tj. identita nevyzpytatelných) $d$ se nazývá ultrapseudometrické na $M$ . An ultrapseudometrický prostor je pár $(M, d)$ skládající se ze sady $M$ a ultrapseudometrický $d$ na $M$ .

V případě, kdy $M$ je skupina (psaná aditivně) a $d$ je generován a délková funkce ${ displaystyle | cdot |}$ (aby ${ displaystyle d (x, y) = | x-y |}$ ), poslední vlastnost může být zesílena pomocí Krull zostření^[2] na:

{ displaystyle | x + y | leq max left { | x |, | y | right }}

s rovností, pokud

{ displaystyle | x | neq | y |}

.

Chceme dokázat, že pokud ${ displaystyle | x + y | leq max left { | x |, | y | right }}$ , pak rovnost nastane, pokud ${ displaystyle | x | neq | y |}$ . Bez ztráty obecnosti, předpokládejme to ${ displaystyle | x |> | y |}$ . To z toho vyplývá ${ displaystyle | x + y | leq | x |}$ . Ale můžeme také počítat ${ displaystyle | x | = | (x + y) -y | leq max vlevo { | x + y |, | y | doprava }}$ . Nyní hodnota ${ displaystyle max left { | x + y |, | y | right }}$ nemůže být ${ displaystyle | y |}$ , protože pokud tomu tak je, máme ${ displaystyle | x | leq | y |}$ v rozporu s původním předpokladem. Tím pádem, ${ Displaystyle max left { | x + y |, | y | right } = | x + y |}$ , a ${ displaystyle | x | leq | x + y |}$ . Pomocí počáteční nerovnosti máme ${ displaystyle | x | leq | x + y | leq | x |}$ a proto ${ displaystyle | x + y | = | x |}$ .

Vlastnosti

V trojúhelníku vpravo dva dolní body xay porušují podmínku d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)).

Z výše uvedené definice lze vyvodit několik typických vlastností ultrametrics. Například pro všechny ${ displaystyle x, y, z v M}$ , alespoň jedna ze tří rovností ${ displaystyle d (x, y) = d (y, z)}$ nebo ${ displaystyle d (x, z) = d (y, z)}$ nebo ${ displaystyle d (x, y) = d (z, x)}$ drží. To znamená, že každá trojice bodů v prostoru tvoří rovnoramenný trojúhelník, takže celý prostor je rovnoramenná sada.

Definování (otevřený) míč poloměru ${ displaystyle r> 0}$ se středem na ${ displaystyle x v M}$ tak jako ${ displaystyle B (x; r): = {y v M mid d (x, y)$ , máme následující vlastnosti:

Každý bod uvnitř koule je jeho středem, tj. Pokud ${ displaystyle d (x, y)$ pak ${ displaystyle B (x; r) = B (y; r)}$ .
Protínající se koule jsou vzájemně obsaženy, tj. Pokud ${ displaystyle B (x; r) čepice B (y; s)}$ je neprázdný pak buď ${ displaystyle B (x; r) subseteq B (y; s)}$ nebo ${ displaystyle B (y; s) subseteq B (x; r)}$ .
Všechny koule s přísně kladným poloměrem jsou obě otevřeno a uzavřené sady v indukovaném topologie. To znamená, že otevřené koule jsou také uzavřeny a uzavřené koule (vyměňte ${ displaystyle <}$ s ${ displaystyle leq}$ ) jsou také otevřené.
Sada všech otevřených koulí o poloměru ${ displaystyle r}$ a střed v uzavřené kouli o poloměru ${ displaystyle r> 0}$ tvoří a rozdělit druhé a vzájemná vzdálenost dvou odlišných otevřených koulí je (větší nebo) stejná ${ displaystyle r}$ .

Prokazování těchto tvrzení je poučné cvičení.^[3] Vše přímo pochází z ultrametrické nerovnosti trojúhelníku. Všimněte si, že druhým výrokem může mít míč několik středových bodů, které mají nenulovou vzdálenost. Intuice za takovými zdánlivě zvláštními efekty spočívá v tom, že kvůli silné nerovnoměrnosti trojúhelníků se vzdálenosti v ultrametrii nesčítají.

Příklady

The diskrétní metrika je ultrametrický.
The p-adická čísla tvoří ucelený ultrametrický prostor.
Zvažte sada slov libovolné délky (konečné nebo nekonečné), Σ^*, přes nějakou abecedu Σ. Definujte vzdálenost mezi dvěma různými slovy na 2⁻ⁿ, kde n je první místo, kde se slova liší. Výsledná metrika je ultrametrická.
The sada slov s lepenými konci délky n přes nějakou abecedu Σ je ultrametrický prostor s ohledem na p- blízká vzdálenost. Dvě slova X a y jsou p-zavřít, pokud existuje podřetězec p po sobě jdoucí písmena (p < n) se objeví stejný počet opakování (což může být také nula) v obou X a y.^[4]
Li r = (r_n) je posloupnost reálná čísla klesající na nulu, pak |X|_r := lim sup_n→∞ |X_n|^r_n indukuje ultrametrický prostor všech komplexních sekvencí, pro které je konečný. (Všimněte si, že to není seminář protože to chybí stejnorodost - Pokud r_n je dovoleno být nula, měl by se zde použít poměrně neobvyklá konvence 0⁰=0.)
Li G je vážený hranou neorientovaný graf, všechny hmotnosti hran jsou kladné a d(u,proti) je váha cesta minimax mezi u a proti (tj. největší váha hrany, na cestě zvolené k minimalizaci této největší váhy), pak vrcholy grafu, se vzdáleností měřenou d, tvoří ultrametrický prostor a všechny konečné ultrametrické prostory mohou být reprezentovány tímto způsobem.^[5]

Aplikace

A mapování kontrakcí lze pak považovat za způsob aproximace konečného výsledku výpočtu (který lze zaručit existencí Banachova věta o pevném bodě ). Podobné nápady lze najít v teorie domény. p-adická analýza silně využívá ultrametrickou povahu p-adická metrika.
v fyzika kondenzovaných látek, self-průměrování překrytí mezi zatočením v SK model z rotující brýle vykazuje ultrametrickou strukturu, přičemž řešení dané postupem replikace symetrie plné repliky bylo nejprve uvedeno v Giorgio Parisi a spolupracovníky.^[6] Ultrametricita se objevuje také v teorii neperiodických pevných látek.^[7]
v taxonomie a fylogenetický strom konstrukce, ultrametrické vzdálenosti využívá také UPGMA a WPGMA metody.^[8] Tyto algoritmy vyžadují předpoklad konstantní rychlosti a vytvářejí stromy, ve kterých jsou vzdálenosti od kořene ke každému konci větve stejné. Když DNA, RNA a protein data jsou analyzována, předpoklad ultrametricity se nazývá molekulární hodiny.
Modely přerušovanost v trojrozměrném turbulence tekutin využívá tzv. kaskády a v diskrétních modelech dyadických kaskád, které mají ultrametrickou strukturu.^[9]
v zeměpis a krajinná ekologie, ultrametrické vzdálenosti byly použity k měření složitosti krajiny a k posouzení toho, do jaké míry je jedna funkce krajiny důležitější než jiná.^[10]

Reference

^ Narici & Beckenstein 2011, str. 1-18.
^ Planet Math: Ultrametrická trojúhelníková nerovnost
^ „Ultrametrická trojúhelníková nerovnost“. Stack Exchange.
^ Osipov, Gutkin (2013), „Shlukování periodických drah v chaotických systémech“, Nelinearita, 26 (26): 177–200, Bibcode:2013Nonli..26..177G, doi:10.1088/0951-7715/26/1/177.
^ Leclerc, Bruno (1981), „Description combineatoire des ultramétriques“, Centre de Mathématique Sociale. École Pratique des Hautes Études. Mathématiques et Sciences Humaines (ve francouzštině) (73): 5–37, 127, PAN 0623034.
^ Mezard, M; Parisi, G; a Virasoro, M: TEORIE SKVĚLÉHO SKLA A MIMO, World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7
^ Rammal, R .; Toulouse, G .; Virasoro, M. (1986). „Ultrametricita pro fyziky“. Recenze moderní fyziky. 58 (3): 765–788. Bibcode:1986RvMP ... 58..765R. doi:10.1103 / RevModPhys.58.765. Citováno 20. června 2011.
^ Legendre, P. a Legendre, L. 1998. Numerická ekologie. Druhé anglické vydání. Vývoj environmentálního modelování 20. Elsevier, Amsterdam.
^ Benzi, R .; Biferale, L .; Trovatore, E. (1997). "Ultrametrická struktura víceúrovňových energetických korelací v turbulentních modelech". Dopisy o fyzické kontrole. 79 (9): 1670–1674. arXiv:chao-dyn / 9705018. Bibcode:1997PhRvL..79.1670B. doi:10.1103 / PhysRevLett.79.1670.
^ Papadimitriou, Fivos (2013). "Matematické modelování využití krajiny a složitosti krajiny s ultrametrickou topologií". Journal of Land Use Science. 8 (2): 234–254. doi:10.1080 / 1747423x.2011.637136. ISSN 1747-423X.

Bibliografie

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Další čtení

Kaplansky, I. (1977), Nastavit teoretické a metrické prostory, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20111-18-1] Narici & Beckenstein 2011, str. 1-18.

[2] Planet Math: Ultrametrická trojúhelníková nerovnost

[3] „Ultrametrická trojúhelníková nerovnost“. Stack Exchange.

[4] Osipov, Gutkin (2013), „Shlukování periodických drah v chaotických systémech“, Nelinearita, 26 (26): 177–200, Bibcode:2013Nonli..26..177G, doi:10.1088/0951-7715/26/1/177.

[5] Leclerc, Bruno (1981), „Description combineatoire des ultramétriques“, Centre de Mathématique Sociale. École Pratique des Hautes Études. Mathématiques et Sciences Humaines (ve francouzštině) (73): 5–37, 127, PAN 0623034.

[6] Mezard, M; Parisi, G; a Virasoro, M: TEORIE SKVĚLÉHO SKLA A MIMO, World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7

[physics_apps-7] Rammal, R .; Toulouse, G .; Virasoro, M. (1986). „Ultrametricita pro fyziky“. Recenze moderní fyziky. 58 (3): 765–788. Bibcode:1986RvMP ... 58..765R. doi:10.1103 / RevModPhys.58.765. Citováno 20. června 2011.

[8] Legendre, P. a Legendre, L. 1998. Numerická ekologie. Druhé anglické vydání. Vývoj environmentálního modelování 20. Elsevier, Amsterdam.

[9] Benzi, R .; Biferale, L .; Trovatore, E. (1997). "Ultrametrická struktura víceúrovňových energetických korelací v turbulentních modelech". Dopisy o fyzické kontrole. 79 (9): 1670–1674. arXiv:chao-dyn / 9705018. Bibcode:1997PhRvL..79.1670B. doi:10.1103 / PhysRevLett.79.1670.

[10] Papadimitriou, Fivos (2013). "Matematické modelování využití krajiny a složitosti krajiny s ultrametrickou topologií". Journal of Land Use Science. 8 (2): 234–254. doi:10.1080 / 1747423x.2011.637136. ISSN 1747-423X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]