Filtr (matematika) - Filter (mathematics)
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Červen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |

v matematika, a filtr je speciální podmnožina a částečně objednaná sada. Filtry se objeví v objednat a teorie mřížky, ale lze je také najít v topologie, odkud pocházejí. The dvojí pojem filtru je objednat ideální.
Filtry zavedl Henri Cartan v roce 1937[1][2] a následně používá Bourbaki ve své knize Topologie Générale jako alternativa k podobné představě a síť vyvinut v roce 1922 E. H. Moore a H. L. Smith.
Motivace
Intuitivně filtr v částečně uspořádané sadě (poset), P, je podmnožinou P to zahrnuje jako členy ty prvky, které jsou dostatečně velké, aby vyhověly danému kritériu. Například pokud X je prvek posetu, pak sada prvků, které jsou výše X je filtr, který se nazývá hlavní filtr na X. (Li X a y jsou neporovnatelné prvky posetu, pak žádný z hlavních filtrů na X a y je obsažen v tom druhém a naopak.)
Podobně filtr na sadě obsahuje ty podmnožiny, které jsou dostatečně velké, aby obsahovaly některé dané věc. Například pokud je sada skutečná linie a X je jedním z jeho bodů, pak rodina sad, které zahrnují X v jejich interiér je filtr, který se nazývá filtr sousedství z X. The věc v tomto případě je o něco větší než X, ale stále neobsahuje žádný jiný konkrétní bod čáry.
Výše uvedené interpretace vysvětlují podmínky 1 a 3 v této části Obecná definice: Jasně prázdná sada není „dostatečně velký“ a soubor „dostatečně velkých“ věcí by měl být jasně „vzhůru uzavřený“. Ve skutečnosti však bez podrobného vysvětlení nevysvětlují podmínku 2 obecné definice. Proč by dvě „dostatečně velké“ věci měly obsahovat a běžný „dostatečně velká“ věc?
Alternativně lze filtr zobrazit jako „vyhledávací schéma“: Při pokusu o vyhledání něčeho (bodu nebo podmnožiny) v prostoruX, zavolat filtr kolekce podmnožin X které by mohly obsahovat „co se hledá“. Pak by tento "filtr" měl mít následující přirozenou strukturu:
- Lokalizační schéma musí být neprázdné, aby bylo vůbec k ničemu.
- Pokud dvě podmnožiny, E a F, oba mohou obsahovat „to, co se hledá“, pak také jejich průnik. Filtr by tedy měl být uzavřen s ohledem na konečný průnik.
- Pokud sada E může obsahovat „to, co se hledá“, tak to obsahuje i každá jeho nadmnožina. Filtr je tedy zavřený nahoru.
An ultrafiltr lze nahlížet jako na „dokonalé schéma lokalizace“ každý podmnožina E prostoru X lze použít při rozhodování, zda by mohlo „spočívat v tom, co se hledá“E.
Z této interpretace kompaktnost (viz níže uvedená matematická charakteristika) lze považovat za vlastnost, že „žádné schéma umístění nemůže skončit ničím“, nebo, jinak řečeno, „vždy se něco najde“.
Matematický pojem filtr poskytuje přesný jazyk, který s těmito situacemi zachází důsledně a obecně, což je užitečné při analýze, obecná topologie a logika.
Obecná definice: Filtr na částečně uspořádané množině
Podmnožina F částečně objednané sady (P, ≤) je filtr pokud platí následující podmínky:
- F je neprázdný.
- F je dolů režie: Pro každého X, y ∈ F, některé jsou z ∈ F takhle z ≤ X a z ≤ y.
- F je horní sada nebo vzhůru zavřený: Pro každého X ∈ F a y ∈ P, X ≤ y to naznačuje y ∈ F.
Filtr je správně pokud se nerovná celé sadě P.Tato podmínka se někdy přidává k definici filtru.
Zatímco výše uvedená definice je nejobecnějším způsobem, jak definovat filtr pro libovolné posety, bylo původně definováno pro mříže pouze. V tomto případě lze výše uvedenou definici charakterizovat následujícím ekvivalentním příkazem: Podmnožina F mříže (P, ≤) je filtr, kdyby a jen kdyby je to neprázdná horní množina, která je uzavřena pod konečnou infima (nebo splňuje ), tj. pro všechny X, y ∈ F, je tomu také tak X ∧ y je v F.[3]:184Podmnožina S z F je základna filtru pokud je horní sada generována S je vše z F. Všimněte si, že každý filtr má svůj vlastní základ.
Nejmenší filtr, který obsahuje daný prvek p ∈ P je hlavní filtr a p je hlavní prvek v této situaci. Hlavní filtr pro p je dána množinou a je označen předponou p se šipkou nahoru: .
The dvojí představa filtru, tj. koncept získaný obrácením všech ≤ a výměna ∧ s ∨, je ideálKvůli této dualitě se diskuse o filtrech obvykle scvrkává na diskusi o ideálech. Proto většina dalších informací o tomto tématu (včetně definice maximální filtry a primární filtry) najdete v článku o ideály Existuje samostatný článek o ultrafiltry.
Filtr na sadu
Definice filtru
Existují dvě konkurenční definice „filtru na množině“, přičemž obě vyžadují, aby byl filtr a duální ideál.[4] Jedna definice definuje „filtr“ jako synonymum „dvojího ideálu“, zatímco druhá definuje „filtr“ ve smyslu dvojího ideálu, který je také správně.
- Varování: Doporučuje se, aby čtenáři při čtení matematické literatury vždy zkontrolovali, jak je definován „filtr“.
Definice: A duální ideál[4] na setu S je neprázdná podmnožina F z P(S) s následujícími vlastnostmi:
- F je uzavřeno pod konečnými křižovatkami: Pokud A, B ∈ F, pak také jejich průnik.
- Tato vlastnost znamená, že pokud ∅ ∉ F pak F má vlastnost konečné křižovatky.
- F je nahoru zavřeno/izoton:[5] Li A ∈ F a A ⊆ B, pak B ∈ F, pro všechny podskupiny B z S. .
- Tato vlastnost to znamená S ∈ F (od té doby F je neprázdná podmnožina P(S)).
Vzhledem k sadě S, kanonické částečné uspořádání ⊆ lze definovat na výkonová sada P(S) zahrnutím podmnožiny, otočením (P(S), ⊆) do mříže. „Duální ideál“ je pouze filtr s ohledem na toto částečné uspořádání. Všimněte si, že pokud S = ∅ pak je právě jeden duální ideál S, který je P(S) = {∅}.
Definice filtru 1: Dual ideální
Článek používá následující definici „filtru na množině“.
Definice: A filtr na setu S je duální ideál S. Ekvivalentně je zapnutý filtr S je jen filtr s ohledem na kanonické částečné uspořádání (P(S), ⊆) popsáno výše.
Definice filtru 2: Správný duální ideál
Další definice „filtru na množině“ je původní definice „filtru“ daná Henri Cartan, což vyžadovalo, aby filtr na sadě byl dvojitým ideálem ne obsahovat prázdnou sadu:
- Poznámka: Tento článek ano ne vyžadovat, aby byl filtr správný.
Zapnutý jediný nesprávný filtr S je P(S). Hodně matematické literatury, zejména té, která se týkala Topologie, definuje „filtr“ ve smyslu a nedegenerovaný duální ideál.
Filtrování základen, podkladů a srovnání
- Filtrování základen a podkladů
Podmnožina B z P(S) se nazývá a předfiltr, základna filtrunebo základna filtru -li B není prázdný a je průnikem dvou libovolných členů B je nadmnožina některých členů z B. Pokud prázdná množina není členem B, říkáme B je správná základna filtru.
Vzhledem k základně filtru B, filtr vygenerovaný nebo rozložený pomocí B je definován jako minimální filtr obsahující B. Je to rodina všech těchto podmnožin S což jsou nadmnožiny některých členů z B. Každý filtr je také základnou filtru, takže proces přechodu od základny filtru k filtru lze považovat za jakési dokončení.
Pro každou podmnožinu T z P(S) existuje nejmenší (možná nevhodný) filtr F obsahující T, nazvaný filtr vygenerovaný nebo rozložený pomocí T. Podobně jako filtr překlenutý a základna filtru, filtr překlenut a podmnožina T je minimální filtr obsahující T.Je konstruován tak, že vezme všechny konečné křižovatky T, které pak tvoří základ filtru pro F. Tento filtr je vhodný tehdy a jen tehdy, když každý konečný průnik prvků T není prázdný, a v tom případě to říkáme T je základna filtru.
- Jemnější / ekvivalentní základny filtrů
Li B a C jsou dvě základny filtru S, říká jeden C je jemnější než B (nebo tak C je upřesnění z B) pokud pro každého B0 ∈ B, tady je C0 ∈ C takhle C0 ⊆ B0. Pokud také B je jemnější než C, jeden říká, že jsou ekvivalentní filtrační základny.
- Li B a C jsou tedy filtrační základny C je jemnější než B jen tehdy, pokud filtr překlenul o C obsahuje filtr překlenutý o B. Proto, B a C jsou ekvivalentní základny filtrů právě tehdy, když generují stejný filtr.
- Pro filtrační základny A, B, a C, pokud A je jemnější než B a B je jemnější než C pak A je jemnější než C. Vztah upřesnění je tedy a předobjednávka na sadě základen filtrů a přechod od základny filtru k filtru je instancí přechodu od předběžného objednání k přidruženému částečnému uspořádání.
Příklady
- Nechat S být sadou a C být neprázdnou podmnožinou S. Pak {C} je základna filtru. Filtr, který generuje (tj. Kolekce všech podskupin obsahujících) C) se nazývá hlavní filtr generováno uživatelem C.
- O filtru se říká, že je volný filtr je-li průsečík všech jejích členů prázdný. Správný hlavní filtr není zdarma. Vzhledem k tomu, že průsečík jakéhokoli konečného počtu členů filtru je také členem, žádný vhodný filtr na konečné sadě není volný a skutečně je hlavním filtrem generovaným společným průnikem všech jeho členů. Neprincipální filtr na nekonečné množině nemusí být nutně zdarma.
- The Fréchetův filtr na nekonečné množině S je sada všech podskupin S které mají konečný doplněk. Filtr zapnutý S je zdarma, pouze pokud obsahuje filtr Fréchet.
- Každý jednotná struktura na setu X je zapnutý filtr X × X.
- Filtr v a poset lze vytvořit pomocí Rasiowa – Sikorski lemma, často používaný v nutit.
- Sada se nazývá a filtrační základna ocasů posloupnosti přirozených čísel . Filtrační základna ocasu může být vyrobena z libovolného síť pomocí konstrukce kde filtr, který tato základna filtru generuje, se nazývá síť filtr eventualit. Proto všechny sítě generují základnu filtru (a tedy filtr). Protože všechny sekvence jsou sítě, platí to i pro sekvence.
Filtry v teorii modelů
Pro každý filtr F na setu S, nastavená funkce definovaná