Mooreův prostor (topologie) - Moore space (topology)

v matematika, konkrétněji bodová topologie, a Mooreův prostor je rozvinutelné běžný Hausdorffův prostor. Ekvivalentně, a topologický prostor X je prostor Moore, pokud platí následující podmínky:

• Jakékoli dva odlišné body mohou být odděleny čtvrtí a jakékoli uzavřená sada a jakýkoli jeho bod doplněk lze oddělit sousedstvími. (X je běžný Hausdorffův prostor.)
• Tady je počitatelný sbírka otevřené kryty z X, takže pro každou uzavřenou množinu C a jakýkoli bod str v jeho doplňku existuje kryt ve sbírce tak, že každé sousedství str v krytu je disjunktní z C. (X je rozvinutelný prostor.)

Mooreovy prostory jsou obecně zajímavé v matematice, protože je lze použít k prokázání zajímavosti věty o metrizaci. Koncept prostoru Moore byl formulován R. L. Moore v dřívější části 20. století.

Příklady a vlastnosti

1. Každý měřitelný prostor, X, je Mooreův prostor. Pokud {A⁽ⁿ⁾_X} je otevřený obal X (indexováno X v X) všemi kuličkami o poloměru 1 /n, pak sbírka všech takových otevřených obalů jako n se mění nad kladnými celými čísly je vývoj X. Protože všechny metrizovatelné prostory jsou normální, všechny metrické prostory jsou Mooreovy prostory.
2. Mooreovy prostory jsou hodně podobné běžným prostorům a liší se od nich normální prostory v tom smyslu, že každý podprostor prostoru Moore je také prostorem Moore.
3. Obraz Mooreova prostoru pod injektivní nepřetržitou otevřenou mapou je vždy Mooreův prostor. Obraz pravidelného prostoru pod injektivní nepřetržitou otevřenou mapou je vždy pravidelný.
4. Oba příklady 2 a 3 naznačují, že Mooreovy prostory jsou hodně podobné běžným prostorům.
5. Ani Sorgenfreyova linie ani Sorgenfreyovo letadlo jsou Mooreovy prostory, protože jsou normální a nelze je počítat jako druhé.
6. The Mooreovo letadlo (také známý jako Niemytski prostor) je příkladem neměřitelného Mooreova prostoru.
7. Každý metakompaktní, oddělitelný, normální Mooreův prostor je měřitelný. Tato věta je známá jako Traylorova věta.
8. Každý místně kompaktní, místně propojený prostor, normální Mooreův prostor je měřitelný. Tuto větu dokázali Reed a Zenor.
9. Li ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}} <2 ^ {aleph _ {1}}}$, pak každý oddělitelný normální Mooreův prostor je měřitelný. Tato věta je známá jako Jonesova věta.

Normální Mooreova domněnka

Po dlouhou dobu se topologové pokoušeli dokázat tzv. Normální domněnku Mooreova prostoru: každý normální Mooreův prostor je měřitelný. To bylo inspirováno skutečností, že všechny známé Mooreovy prostory, které nebyly měřitelné, také nebyly normální. To by bylo hezké věta o metrizaci. Nejprve byly nějaké pěkné částečné výsledky; jmenovitě vlastnosti 7, 8 a 9, jak jsou uvedeny v předchozí části.

Zde vidíme, že z Traylorovy věty upustíme metakompaktnost, ale za cenu množinově-teoretického předpokladu. Dalším příkladem je Fleissnerova věta že axiom konstruovatelnosti znamená, že lokálně kompaktní, normální Mooreovy prostory jsou měřitelné.

Na druhé straně pod Hypotéza kontinua (CH) a také pod Martinův Axiom a ne CH, existuje několik příkladů neměřitelných normálních Mooreových prostorů. Nyikos prokázal, že v rámci takzvaného PMEA (Product Measure Extension Axiom), který potřebuje a velký kardinál, všechny normální Mooreovy prostory jsou metrizovatelné. Nakonec se později ukázalo, že jakýkoli model ZFC, ve kterém platí domněnka, implikuje existenci modelu s velkým kardinálem. V zásadě jsou tedy zapotřebí velcí kardinálové.

Jones (1937) uvedl příklad a pseudonormální Mooreův prostor, který nelze měřit, takže domněnku nelze tímto způsobem oslabit.Moore sám dokázal teorém, že a kolekce normální Mooreův prostor je měřitelný, takže posílení normality je dalším způsobem urovnání věci.

Reference

• Lynn Arthur Steen a J. Arthur Seebach, Protiklady v topologii, Dover Books, 1995. ISBN  0-486-68735-X
• Jones, F. B. (1937), „O normálních a zcela běžných prostorech“, Bulletin of the American Mathematical Society, 43 (10): 671–677, doi:10.1090 / S0002-9904-1937-06622-5, PAN  1563615.
• Nyikos, Peter J. (2001), „Historie běžného Mooreova vesmírného problému“, Příručka dějin obecné topologie, Hist. Topol., 3, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 1179–1212, ISBN  9780792369707, PAN  1900271.
• Původní definice R.L. Moore objeví se zde:

PAN0150722 (27 # 709) Moore, R. L. Základy teorie množin bodů. Přepracované vydání. American Mathematical Society Colloquium Publications, sv. XIII American Mathematical Society, Providence, R.I. 1962 xi + 419 stran (recenzent: F. Burton Jones)

• Historické informace naleznete zde:

PAN0199840 (33 # 7980) Jones, F. Burton "Metrizace". Americký matematický měsíčník 73 1966 571–576. (Recenzent: R. W. Bagley)

• Historické informace naleznete zde:

PAN0203661 (34 # 3510) Bing, R. H. „Náročné domněnky“. Americký matematický měsíčník 74 1967 č. 1, část II, 56–64;

• Vickeryho teorém lze nalézt zde:

PAN0001909 (1317f) Vickery, C. W. „Axiomy pro Mooreovy a metrické prostory“. Bulletin of the American Mathematical Society 46, (1940). 560–564

• Tento článek včlení materiál z Mooreova prostoru dále PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.