Přibližte se k prostoru - Approach space
v topologie, pobočka matematika, přibližovací prostory jsou zobecněním metrické prostory, založené na point-to-soubor vzdálenosti namísto vzdáleností z bodu do bodu. Byly představeny Robertem Lowenem v roce 1989 v sérii článků o teorii přístupu v letech 1988 až 1995.
Definice
Vzhledem k metrickému prostoru (X, d), nebo obecněji, an prodloužena pseudokvazimetrický (který bude zkrácen ∞pq-metrický zde), lze definovat indukovanou mapu d: X × P (X) → [0, ∞] podle d(X, A) = inf {d(X, A) : A ∈ A}. S ohledem na tento příklad a vzdálenost na X je definována jako mapa X × P (X) → [0, ∞] uspokojující pro všechny X v X a A, B ⊆ X,
- d(X, {X}) = 0,
- d(X, Ø) = ∞,
- d(X, A∪B) = min (d(X, A), d(X, B)),
- Pro všech 0 ≤ ε ≤ ∞, d(X, A) ≤ d(X, A(ε)) + ε,
kde definujeme A(ε) = {X : d(X, A) ≤ ε}.
(„prázdný infimum je kladné nekonečno "konvence je jako průsečík nully je všechno konvence.)
Přístupový prostor je definován jako pár (X, d) kde d je funkce vzdálenosti zapnutá X. Každý přístupový prostor má a topologie, daný léčením A → A(0) jako Operátor uzavření Kuratowského.
Vhodnými mapami mezi přibližovacími prostory jsou: kontrakce. Mapa F: (X, d) → (Y, E) je kontrakce, pokud E(F(X), F[A]) ≤ d(X, A) pro všechny X ∈ X a A ⊆ X.
Příklady
Každý ∞pq-metrický prostor (X, d) může být vzdáleně do (X, d), jak je popsáno na začátku definice.
Vzhledem k sadě X, oddělený vzdálenost je dána d(X, A) = 0 pokud X ∈ A a d(X, A) = ∞ pokud X ∉ A. The indukovaná topologie je diskrétní topologie.
Vzhledem k sadě X, neurčitý vzdálenost je dána d(X, A) = 0 pokud A není prázdné a d(X, A) = ∞ pokud A je prázdný. Indukovaná topologie je neurčitá topologie.
Vzhledem k tomu, topologický prostor X, a topologické vzdálenost je dána d(X, A) = 0 pokud X ∈ A, a d(X, A) = ∞ jinak. Indukovaná topologie je původní topologie. Jedinými dvouhodnotovými vzdálenostmi jsou ve skutečnosti topologické vzdálenosti.
Nechat P = [0, ∞] být prodloužena nezáporné realita. Nechat d+(X, A) = max (X − sup A, 0) pro X ∈ P a A ⊆ P. Vzhledem k jakémukoli prostoru přístupu (X, d), mapy (pro každou A ⊆ X) d(., A) : (X, d) → (P, d+) jsou kontrakce.
Na P, nechť E(X, A) = inf {|X − A| : A ∈ A} pro X <∞, nechte E(∞, A) = 0 pokud A je neomezený, a nechť E(∞, A) = ∞ pokud A je omezený. Pak (P, E) je přibližovací prostor. Topologicky, P je jednobodové zhutnění [0, ∞). Všimněte si, že E prodlužuje běžnou euklidovskou vzdálenost. To nelze provést běžnou euklidovskou metrikou.
Nechť βN být Stone-Čechovým zhutněním celá čísla. Bod U ∈ βN je ultrafiltr na N. Podmnožina A ⊆ βN indukuje filtr F(A) = ∩ {U : U ∈ A}. Nechat b(U, A) = sup {inf {|n − j| : n ∈ X, j ∈ E } : X ∈ U, E ∈ F(A)}. Poté (βN, b) je přibližovací prostor, který rozšiřuje běžnou euklidovskou vzdálenost N. Naproti tomu βN není metrizovatelný.
Ekvivalentní definice
Lowen nabídl nejméně sedm ekvivalentních formulací. Dva z nich jsou níže.
Nechť XPQ (X) označuje sadu metrik xpq X. Podčeleď G XPQ (X) se nazývá a měřidlo -li
- 0 ∈ G, kde 0 je nulová metrika, tj. 0 (X, y) = 0 pro všechny X, y,
- E ≤ d ∈ G naznačuje E ∈ G,
- d, E ∈ G znamená max (d,E) ∈ G („max“ je zde bodové maximum),
- Pro všechny d ∈ XPQ (X), pokud pro všechny X ∈ X, ε> 0, N <∞ existuje E ∈ G takové, že min (d(X,y), N) ≤ E(X, y) + ε pro všechny y, pak d ∈ G.
Li G je měřidlo na X, pak d(X,A) = sup {E(X, A) } : E ∈ G} je zapnutá funkce vzdálenosti X. Naopak vzhledem k funkci vzdálenosti d na X, soubor E ∈ XPQ (X) takové, že E ≤ d je měřidlo na X. Tyto dvě operace jsou navzájem inverzní.
Kontrakce F: (X, d) → (Y, E) je, pokud jde o související měřidla G a H respektive taková mapa pro všechny d ∈ H, d(F(.), F(.)) ∈ G.
A věž na X je sada map A → A[ε] pro A ⊆ X, ε ≥ 0, uspokojující pro všechny A, B ⊆ X a δ, ε ≥ 0
- A ⊆ A[ε],
- Ó[ε] = Ø,
- (A ∪ B)[ε] = A[ε] ∪ B[ε],
- A[ε] [δ] ⊆ A[ε + δ],
- A[ε] = ∩δ> ε A[δ].
Vzhledem k vzdálenosti d, přidružené A → A(ε) je věž. Naopak, vzhledem k věži, mapa d(X,A) = inf {ε: X ∈ A[ε]} je vzdálenost a tyto dvě operace jsou vzájemnými inverzemi.
Kontrakce F:(X, d)→(Y, E) je, pokud jde o přidružené věže, mapa taková, že pro všechna ε ≥ 0, F[A[ε]] ⊆ F[A][ε].
Kategorické vlastnosti
Hlavním zájmem o přístupové prostory a jejich kontrakce je, že tvoří a kategorie s dobrými vlastnostmi a přitom stále kvantitativní jako metrické prostory. Jeden může být libovolný produkty, koprodukty a kvocienty a výsledky vhodně zobecňují odpovídající výsledky pro topologie. Lze dokonce „distancovat“ tak špatně neměřitelné prostory, jako je βN, Zhutnění Stone – Čech celých čísel.
Určité hyperprostory, změřte mezery, a pravděpodobnostní metrické prostory Ukázalo se, že je přirozeně obdařen odstupem. Byly také podány žádosti na teorie aproximace.
Reference
- Lowen, Robert (1997). Přístupové prostory: chybějící článek v topologii-uniformita-metrická triáda. Oxfordské matematické monografie. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. Zbl 0891.54001.
- Lowen, Robert (2015). Analýza indexu: Teorie přístupu v práci. Springer.