Rozptýlený prostor - Scattered space

V matematice, a rozptýlený prostor je topologický prostor X který neobsahuje žádné neprázdné sám o sobě hustý podmnožina.^[1][2] Ekvivalentně každá neprázdná podmnožina A z X obsahuje bod izolovaný v A.

Podskupina topologického prostoru se nazývá a roztroušená sada pokud se jedná o rozptýlený prostor s topologie podprostoru.

Příklady

• Každý diskrétní prostor je rozptýlen.
• Každý pořadové číslo s topologie objednávky je rozptýlen. Ve skutečnosti každá neprázdná podmnožina A obsahuje minimální prvek a tento prvek je izolován v A.
• Prostor X s konkrétní topologie bodu, zejména Sierpinského prostor, je rozptýlen. Toto je příklad rozptýleného prostoru, který není a T₁ prostor.
• Uzavření rozptýlené sady nemusí být nutně rozptýlené. Například v euklidovské rovině ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {2}}$ vezměte spočítatelně nekonečnou samostatnou sadu A v jednotkovém disku, přičemž body jsou čím dál hustší, když se jeden blíží k hranici. Vezměme si například sjednocení vrcholů řady n-gonů se středem v počátku, s poloměrem blížícím se a blíže k 1. Potom uzavření A bude obsahovat celý kruh o poloměru 1, který je sám o sobě hustý.

Vlastnosti

• V topologickém prostoru X uzavření podmnožiny v sobě samém je perfektní sada. Tak X je rozptýlen právě tehdy, pokud neobsahuje žádnou neprázdnou dokonalou sadu.
• Každá podmnožina rozptýleného prostoru je rozptýlena. Být rozptýlen je dědičné vlastnictví.
• Každý rozptýlený prostor X je T₀ prostor. (Důkaz: Vzhledem ke dvěma odlišným bodům X, y v X, řekněme alespoň jeden z nich X, bude izolován v ${ displaystyle {x, y }}$. To znamená, že existuje sousedství X v X který neobsahuje y.)
• V₀ prostor je rozptýlen spojením dvou rozptýlených množin.^[3][4] Všimněte si, že T₀ zde je nutný předpoklad. Například pokud ${ displaystyle X = {a, b }}$ s neurčitá topologie, ${ displaystyle {a }}$ a ${ displaystyle {b }}$ jsou oba roztroušeni, ale jejich svazek, ${ displaystyle X}$, není rozptýlen, protože nemá izolovaný bod.
• Každý T₁ rozptýlený prostor je úplně odpojen.

(Důkaz: Li C je neprázdná připojená podmnožina X, obsahuje bod X izolován v C. Takže singleton ${ displaystyle {x }}$ je otevřený C (protože X je izolován) a uzavřen C (kvůli T₁ vlastnictví). Protože C je připojen, musí se rovnat ${ displaystyle {x }}$. To ukazuje, že každá připojená součást X má jediný bod.)

• Každý spočítatelné druhé rozptýlený prostor je počitatelný.^[5]
• Každý topologický prostor X lze zapsat jedinečným způsobem jako disjunktní spojení a perfektní sada a roztroušená sada.^[6][7]
• Každou sekundu spočetné místo X lze zapsat jedinečným způsobem jako disjunktní spojení dokonalé množiny a spočítatelné rozptýlené otevřené množiny.

(Důkaz: Použijte dokonalý + rozptýlený rozklad a výše uvedený fakt o druhých započítatelných rozptýlených prostorech spolu se skutečností, že podmnožina druhého započítatelného prostoru je započítatelná jako druhá.)

Kromě toho lze počítat každou uzavřenou podmnožinu sekundy X lze napsat jedinečně jako disjunktní spojení dokonalé podmnožiny X a spočítatelná rozptýlená podmnožina X.^[8] To platí zejména ve všech Polský prostor, což je obsah Cantor – Bendixsonova věta.

Poznámky

Reference

• Engelking, Ryszard, Obecná topologie, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. PAN  0507446.
• Willard, Stephen (2004) [1970], Obecná topologie (Doveru dotisk vydání z roku 1970), Addison-Wesley