Počitatelný stav řetězu - Countable chain condition

v teorie objednávek, a částečně objednaná sada X prý uspokojuje spočetný stav řetězunebo být ccc, pokud každý silný antichain v X je počitatelný.

Přehled

Existují opravdu dvě podmínky: nahoru a dolů spočítatelné podmínky řetězce. Nejsou ekvivalentní. Podmínka spočetného řetězce znamená podmínku spočítatelného řetězce dolů, jinými slovy žádné dva prvky nemají společnou dolní mez.

Tomu se říká spíše „stav spočítatelného řetězce“ než logičtější termín „stav spočetného antichainu“ z historických důvodů souvisejících s určitými řetězci otevřených množin v topologických prostorech a řetězci v úplných booleovských algebrách, kde se řetězové podmínky někdy shodují s antichainem podmínky. Pokud je například κ kardinál, pak v úplné booleovské algebře má každá antichain velikost menší než κ právě tehdy, když neexistuje sestupná κ-sekvence prvků, takže podmínky řetězce jsou ekvivalentní podmínkám antichain.

Ve výpisu jsou použity částečné objednávky a mezery splňující ccc Martinův axiom.

V teorii nutit, používají se částečné příkazy CCC, protože vynucení jakékoli generické množiny nad tímto příkazem zachovává kardinály a spolufinancování. Vlastnost ccc je dále chráněna iteracemi konečné podpory (viz opakované nutení ). Další informace o ccc v souvislosti s vynucením viz Vynucení (teorie množin) § Stav spočetného řetězce.

Obecněji řečeno, pokud κ je kardinál, pak se říká, že poset uspokojuje stav κ-řetězce pokud má každý antichain velikost menší než κ. Stav spočetného řetězce je ℵ₁-řetězový stav.

Příklady a vlastnosti v topologii

A topologický prostor se říká, že splňuje podmínky spočetného řetězce, nebo Suslin Stav, pokud je částečně objednaná sada neprázdných otevřené podmnožiny z X splňuje stav spočetného řetězce, tj. každý párově disjunktní sbírka neprázdných otevřených podmnožin souboru X je spočítatelné. Název pochází z Suslinův problém.

• Každý oddělitelný topologický prostor je ccc. Kromě toho produktový prostor maximálně ${ displaystyle { mathfrak {c}} = 2 ^ { aleph _ {0}}}$ separable spaces je oddělitelný prostor, a tedy, ccc.
• A metrický prostor is ccc if and only if it's separable.
• Obecně nemusí být topologický prostor ccc oddělitelný. Například, ${ displaystyle {0,1 } ^ {2 ^ {2 ^ { aleph _ {0}}}}}$ s topologie produktu je však kopie ne oddělitelný.
• Paracompact ccc prostory jsou Lindelöf.

Reference

• Jech, Thomas (2003), Teorie množin: Millennium EditionSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44085-7
• Produkty oddělitelných prostor, K. A. Ross a A. H. Stone. The American Mathematical Monthly 71 (4): pp. 398–403 (1964)