Dveřní prostor - Door space

v matematika, v oblasti topologie, a topologický prostor se říká, že je dveřní prostor pokud je každá podmnožina otevřená nebo uzavřená (nebo obojí).^[1] Termín pochází z úvodní topologické mnemotechniky, že „podmnožina není jako dveře: mohou být otevřené, zavřené, obojí nebo ani jedno“.

Zde jsou některá snadná fakta o dveřních prostorech:

• A Hausdorff dveřní prostor má maximálně jeden akumulační bod.
• V Hausdorff prostor dveří, pokud x není akumulační bod pak je otevřeno {x}.

Chcete-li dokázat první tvrzení, nechte X být Hausdorffovým dveřním prostorem a nechte x ≠ y zřetelnými body. Protože X je Hausdorff, existují otevřená sousedství U a V x a y, takže U ∩ V = ∅. Předpokládejme, že y je akumulační bod. Pak je U {x} ∪ {y} uzavřeno, protože pokud by bylo otevřené, pak bychom mohli říci, že {y} = (U {x} ∪ {y}) ∩ V je otevřené, což je v rozporu s tím, že y je akumulační bod. Takže jsme dospěli k závěru, že když je U {x} ∪ {y} uzavřeno, X (U {x} ∪ {y}) je otevřené, a proto {x} = U ∩ [X (U {x} ∪ {y})] je otevřené, z čehož vyplývá, že x není akumulačním bodem.

Poznámky

Reference

• Kelley, John L. (1991). Obecná topologie. Springer. ISBN  3540901256.

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.