Hyperbolické funkce - Hyperbolic functions

v matematika, hyperbolické funkce jsou analogické běžné trigonometrické funkce definované pro hyperbola spíše než na kruh: stejně jako body (cos t, hřích t) tvoří a kruh s jednotkovým poloměrem, body (hovadina t, sinh t) tvoří pravou polovinu rovnostranného hyperbola.

Hyperbolické funkce se vyskytují při výpočtech úhlů a vzdáleností v hyperbolická geometrie. Vyskytují se také v řešeních mnoha lineárních diferenciální rovnice (například rovnice definující a řetězovka ), kubické rovnice, a Laplaceova rovnice v Kartézské souřadnice. Laplaceovy rovnice jsou důležité v mnoha oblastech fyzika, počítaje v to elektromagnetická teorie, přenos tepla, dynamika tekutin, a speciální relativita.

Základní hyperbolické funkce jsou:^[1][2]

• hyperbolický sinus "sinh" (/ˈsɪŋ,ˈsɪntʃ,ˈʃaɪn/),^[3]
• hyperbolický kosinus "cosh" (/ˈkɒʃ,ˈkoʊʃ/),^[4]

z čehož jsou odvozeny:^[5]

• hyperbolická tečna "tanh" (/ˈt…ŋ,ˈt…ntʃ,ˈθ…n/),^[6]
• hyperbolický kosekans „csch“ nebo „cosech“ (/ˈkoʊsɛtʃ,ˈkoʊʃɛk/^[4])
• hyperbolický sekans "sech" (/ˈsɛtʃ,ˈʃɛk/),^[7]
• hyperbolický kotangens "coth" (/ˈkɒθ,ˈkoʊθ/),^[8][9]

odpovídající odvozeným trigonometrickým funkcím.

The inverzní hyperbolické funkce jsou:^[1]

• oblast hyperbolický sinus „arsinh“ (označováno také „sinh⁻¹"," asinh "nebo někdy" arcsinh ")^[10][11][12]
• hyperbolický kosinus oblasti „arcosh“ (označovaný také jako „cosh“⁻¹"," acosh "nebo někdy" arccosh "
• a tak dále.

Paprsek skrz jednotka hyperbola X² − y² = 1 v bodě (hovadina A, sinh A), kde A je dvojnásobek plochy mezi paprskem, hyperbolou a X-osa. Pro body na hyperbole pod X- osa, oblast je považována za negativní (viz animovaná verze se srovnáním s trigonometrickými (kruhovými) funkcemi).

Hyperbolické funkce mají a skutečný argument volal a hyperbolický úhel. Velikost hyperbolického úhlu je dvakrát větší než jeho úhel hyperbolický sektor. Hyperbolické funkce mohou být definovány ve smyslu nohy pravoúhlého trojúhelníku pokrývající toto odvětví.

v komplexní analýza, hyperbolické funkce vznikají jako imaginární části sinu a kosinu. Hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus jsou celé funkce. Výsledkem jsou další hyperbolické funkce meromorfní v celé složité rovině.

Podle Lindemann – Weierstrassova věta, hyperbolické funkce mají a transcendentální hodnota za každou nenulovou hodnotu algebraická hodnota argumentu.^[13]

Hyperbolické funkce byly zavedeny v 60. letech 20. století nezávisle na sobě Vincenzo Riccati a Johann Heinrich Lambert.^[14] Riccati použito Sc. a Cc. (sinus / cosinus circulare) odkazovat na kruhové funkce a Sh. a Ch. (sinus / cosinus hyperbolico) odkazovat na hyperbolické funkce. Lambert přijal jména, ale změnil zkratky na ty, které se používají dnes.^[15] Zkratky sh, ch, th, cth jsou také aktuálně používány, v závislosti na osobních preferencích.

Definice

sinh, hovno a tanh

csch, sech a coth

Existují různé ekvivalentní způsoby, jak definovat hyperbolické funkce.

Exponenciální definice

sinh X je polovina rozdíl z E^X a E^−X

hovno X je průměrný z E^X a E^−X

Z hlediska exponenciální funkce:^[2][5]

• Hyperbolický sinus: zvláštní část exponenciální funkce, to znamená

  ${ displaystyle sinh x = { frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}} = { frac {e ^ {2x} -1} {2e ^ {x}}} = { frac {1-e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}$

• Hyperbolický kosinus: i část exponenciální funkce, to znamená

  ${ displaystyle cosh x = { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}} = { frac {e ^ {2x} +1} {2e ^ {x}}} = { frac {1 + e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}$

• Hyperbolická tangenta:

  ${ displaystyle tanh x = { frac { sinh x} { cosh x}} = { frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = { frac {e ^ {2x} -1} {e ^ {2x} +1}}}$

• Hyperbolický kotangens: pro X ≠ 0,

  ${ displaystyle coth x = { frac { cosh x} { sinh x}} = { frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = { frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}}}$

• Hyperbolický sekans:

  ${ displaystyle operatorname {sech} x = { frac {1} { cosh x}} = { frac {2} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = { frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} +1}}}$

• Hyperbolický kosekans: pro X ≠ 0,

  ${ displaystyle operatorname {csch} x = { frac {1} { sinh x}} = { frac {2} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = { frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} -1}}}$

Definice diferenciálních rovnic

Hyperbolické funkce mohou být definovány jako řešení diferenciální rovnice: Hyperbolický sinus a kosinus jsou jedinečné řešení (s, C) systému

${ displaystyle { begin {zarovnáno} c '(x) & = s (x) s' (x) & = c (x) end {zarovnáno}}}$

takhle s(0) = 0 a C(0) = 1.

Jsou také jedinečným řešením rovnice F ″(X) = F (X), takový, že F (0) = 1, F ′(0) = 0 pro hyperbolický kosinus a F (0) = 0, F ′(0) = 1 pro hyperbolický sinus.

Složité trigonometrické definice

Hyperbolické funkce lze také odvodit z trigonometrické funkce s komplex argumenty:

• Hyperbolický sinus:^[2]

  ${ displaystyle sinh x = -i sin (ix)}$

• Hyperbolický kosinus:^[2]

  ${ displaystyle cosh x = cos (ix)}$

• Hyperbolická tangenta:

  ${ displaystyle tanh x = -i tan (ix)}$

• Hyperbolický kotangens:

  ${ displaystyle coth x = já dětská postýlka (ix)}$

• Hyperbolický sekans:

  ${ displaystyle operatorname {sech} x = sec (ix)}$

• Hyperbolický kosekans:

  ${ displaystyle operatorname {csch} x = i csc (ix)}$

kde i je imaginární jednotka s i² = −1.

Výše uvedené definice souvisí s exponenciálními definicemi pomocí Eulerův vzorec (Vidět § Hyperbolické funkce pro komplexní čísla níže).

Charakterizující vlastnosti

Hyperbolický kosinus

Je možné ukázat, že plocha pod křivkou hyperbolického kosinu (přes konečný interval) je vždy stejná jako délka oblouku odpovídající tomuto intervalu:^[16]

${ displaystyle { text {area}} = int _ {a} ^ {b} cosh x , dx = int _ {a} ^ {b} { sqrt {1+ left ({ frac {d} {dx}} cosh x right) ^ {2}}} , dx = { text {délka oblouku.}}}$

Hyperbolická tečna

Hyperbolická tangenta je řešením diferenciální rovnice F ′ = 1 − F ², s F (0) = 0 a nelineární problém mezní hodnoty:^[17][18]

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} f '' = f ^ {3} -f; quad f (0) = f '( infty) = 0.}$

Užitečné vztahy

Hyperbolické funkce uspokojují mnoho identit, všechny mají podobnou formu jako trigonometrické identity. Ve skutečnosti, Osbornovo pravidlo^[19] uvádí, že lze převést libovolnou trigonometrickou identitu pro ${ displaystyle theta}$, ${ displaystyle 2 theta}$, ${ displaystyle 3 theta}$ nebo ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle varphi}$ do hyperbolické identity, jejím úplným rozšířením, pokud jde o integrální síly sinusů a kosinů, změnou sinu na sinh a kosinus na cosh a přepnutím znaménka každého termínu obsahujícího produkt dvou sinh.

Liché a sudé funkce:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sinh (-x) & = - sinh x cosh (-x) & = cosh x end {zarovnáno}}}$

Proto:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} tanh (-x) & = - tanh x coth (-x) & = - coth x operatorname {sech} (-x) & = operatorname {sech} x operatorname {csch} (-x) & = - operatorname {csch} x end {zarovnáno}}}$

Tím pádem, hovno X a sech X jsou i funkce; ostatní jsou liché funkce.

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {arsech} x & = operatorname {arcosh} left ({ frac {1} {x}} right) operatorname {arcsch} x & = operatorname {arsinh } left ({ frac {1} {x}} right) operatorname {arcoth} x & = operatorname {artanh} left ({ frac {1} {x}} right) end { zarovnaný}}}$

Hyperbolický sinus a kosinus uspokojí:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} cosh x + sinh x & = e ^ {x} cosh x- sinh x & = e ^ {- x} cosh ^ {2} x- sinh ^ {2} x & = 1 end {zarovnáno}}}$

poslední z nich je podobný Pytagorova trigonometrická identita.

Jeden také má

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {sech} ^ {2} x & = 1- tanh ^ {2} x operatorname {csch} ^ {2} x & = coth ^ {2} x- 1 end {zarovnáno}}}$

pro ostatní funkce.

Součty argumentů

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sinh (x + y) & = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh (x + y) & = cosh x cosh y + sinh x sinh y [6px] tanh (x + y) & = { frac { tanh x + tanh y} {1+ tanh x tanh y}} end {zarovnáno}}}$

zejména

${ displaystyle { begin {zarovnáno} cosh (2x) & = sinh ^ {2} {x} + cosh ^ {2} {x} = 2 sinh ^ {2} x + 1 = 2 cosh ^ {2} x-1 sinh (2x) & = 2 sinh x cosh x tanh (2x) & = { frac {2 tanh x} {1+ tanh ^ {2} x}} end {zarovnáno}}}$

Taky:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sinh x + sinh y & = 2 sinh vlevo ({ frac {x + y} {2}} vpravo) cosh vlevo ({ frac {xy} {2 }} right) cosh x + cosh y & = 2 cosh left ({ frac {x + y} {2}} right) cosh left ({ frac {xy} {2}} right) end {zarovnáno}}}$

Odčítací vzorce

${ Displaystyle { begin {zarovnáno} sinh (xy) & = sinh x cosh y- cosh x sinh y cosh (xy) & = cosh x cosh y- sinh x sinh y tanh (xy) & = { frac { tanh x- tanh y} {1- tanh x tanh y}} end {zarovnáno}}}$

Taky:^[20]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sinh x- sinh y & = 2 cosh left ({ frac {x + y} {2}} right) sinh left ({ frac {xy} { 2}} right) cosh x- cosh y & = 2 sinh left ({ frac {x + y} {2}} right) sinh left ({ frac {xy} {2 }} right) end {zarovnáno}}}$

Poloviční argumentové vzorce

${ displaystyle { begin {aligned} sinh left ({ frac {x} {2}} right) & = { frac { sinh x} { sqrt {2 ( cosh x + 1)} }} && = operatorname {sgn} x , { sqrt { frac { cosh x-1} {2}}} [6px] cosh left ({ frac {x} {2}} right) & = { sqrt { frac { cosh x + 1} {2}}} [6px] tanh left ({ frac {x} {2}} right) & = { frac { sinh x} { cosh x + 1}} && = operatorname {sgn} x , { sqrt { frac { cosh x-1} { cosh x + 1}}} = { frac {e ^ {x} -1} {e ^ {x} +1}} end {zarovnáno}}}$

kde sgn je znaková funkce.

Li X ≠ 0, pak^[21]

${ displaystyle tanh left ({ frac {x} {2}} right) = { frac { cosh x-1} { sinh x}} = coth x- operatorname {csch} x}$

Čtvercové vzorce

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sinh ^ {2} x & = { frac {1} {2}} ( cosh 2x-1) cosh ^ {2} x & = { frac {1} {2}} ( cosh 2x + 1) end {zarovnáno}}}$

Nerovnosti

Ve statistikách je užitečná následující nerovnost:${ displaystyle operatorname {cosh} (t) leq e ^ {t ^ {2} / 2}}$ ^[22]

Lze to prokázat porovnáním Taylorovy řady dvou funkcí po jednotlivých krocích.

Inverzní funkce jako logaritmy

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {arsinh} (x) & = ln left (x + { sqrt {x ^ {2} +1}} right) operatorname {arcosh} (x ) & = ln left (x + { sqrt {x ^ {2} -1}} right) && x geqslant 1 operatorname {artanh} (x) & = { frac {1} {2} } ln left ({ frac {1 + x} {1-x}} right) && | x | <1 operatorname {arcoth} (x) & = { frac {1} {2} } ln left ({ frac {x + 1} {x-1}} right) && | x |> 1 operatorname {arsech} (x) & = ln left ({ frac { 1} {x}} + { sqrt {{ frac {1} {x ^ {2}}} - 1}} right) = ln left ({ frac {1 + { sqrt {1- x ^ {2}}}} {x}} right) && 0$

Deriváty

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {d} {dx}} sinh x & = cosh x { frac {d} {dx}} cosh x & = sinh x { frac {d} {dx}} tanh x & = 1- tanh ^ {2} x = operatorname {sech} ^ {2} x = { frac {1} { cosh ^ {2} x}} { frac {d} {dx}} coth x & = 1- coth ^ {2} x = - operatorname {csch} ^ {2} x = - { frac {1} { sinh ^ {2} x}} && x neq 0 { frac {d} {dx}} operatorname {sech} x & = - tanh x operatorname {sech} x { frac {d} {dx}} operatorname {csch} x & = - coth x operatorname {csch} x && x neq 0 { frac {d} {dx}} operatorname {arsinh} x & = { frac {1} { sqrt {x ^ { 2} +1}}} { frac {d} {dx}} operatorname {arcosh} x & = { frac {1} { sqrt {x ^ {2} -1}}} && 1$

Druhé deriváty

Sinh a cosh jsou si rovni druhá derivace, to znamená:

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} sinh x = sinh x ,}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} cosh x = cosh x ,.}$

Všechny funkce s touto vlastností jsou lineární kombinace sinh a cosh, zejména exponenciální funkce ${ displaystyle e ^ {x}}$ a ${ displaystyle e ^ {- x}}$.

Standardní integrály

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int sinh (sekera) , dx & = a ^ {- 1} cosh (sekera) + C int cosh (sekera) , dx & = a ^ {- 1} sinh (sekera) + C int tanh (sekera) , dx & = a ^ {- 1} ln ( cosh (sekera)) + C int coth (sekera) , dx & = a ^ {- 1} ln ( sinh (ax)) + C int operatorname {sech} (ax) , dx & = a ^ {- 1} arctan ( sinh (ax)) + C int operatorname {csch} (ax) , dx & = a ^ {- 1} ln left ( tanh left ({ frac {ax} {2}} right) right) + C = a ^ {- 1} ln left | operatorname {csch} (ax) - coth (ax) right | + C end {zarovnáno}}}$

Následující integrály lze prokázat pomocí hyperbolická substituce:

${ displaystyle { begin {aligned} int {{ frac {1} { sqrt {a ^ {2} + u ^ {2}}}} , du} & = operatorname {arsinh} left ( { frac {u} {a}} right) + C int {{ frac {1} { sqrt {u ^ {2} -a ^ {2}}}} , du} & = operatorname {arcosh} left ({ frac {u} {a}} right) + C int { frac {1} {a ^ {2} -u ^ {2}}} du & = a ^ {- 1} operatorname {artanh} left ({ frac {u} {a}} right) + C && u ^ {2} a ^ {2} int {{ frac {1} {u { sqrt {a ^ {2} -u ^ {2}}}}} , du} & = - a ^ {- 1} operatorname {arsech} left ({ frac {u} {a}} right) + C int {{ frac {1} {u { sqrt {a ^ {2} + u ^ {2}}}}} , du} & = - a ^ {- 1} operatorname {arcsch} left | { frac {u} {a}} right | + C end {zarovnáno}}}$

kde C je konstanta integrace.

Výrazy Taylorovy řady

Je možné výslovně vyjádřit Taylor série na nule (nebo Laurentova řada, pokud funkce není definována na nule) výše uvedených funkcí.

${ displaystyle sinh x = x + { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} + { frac {x ^ {7}} {7!}} + Cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$

Tato série je konvergentní pro každého komplex hodnota X. Protože funkce sinh X je zvláštní, pouze liché exponenty pro X se vyskytují v jeho Taylorově sérii.

${ displaystyle cosh x = 1 + { frac {x ^ {2}} {2!}} + { frac {x ^ {4}} {4!}} + { frac {x ^ {6} } {6!}} + Cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}}$

Tato série je konvergentní pro každého komplex hodnota X. Protože funkce hovno X je dokonce, pouze exponenty pro X vyskytují v jeho Taylorově sérii

Součet sérií sinh a cosh je nekonečná řada výraz exponenciální funkce.

Za následující řadou následuje popis jejich podmnožiny doména konvergence, kde řada je konvergentní a její součet se rovná funkci.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} tanh x & = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {2x ^ {5}} {15}} - { frac {17x ^ {7}} {315}} + cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, Qquad left | x right | <{ frac { pi} {2}} coth x & = x ^ {- 1} + { frac {x} {3}} - { frac {x ^ {3}} {45}} + { frac {2x ^ {5}} {945}} + cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, qquad 0 < left | x right | < pi operatorname {sech} , x & = 1 - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {5x ^ {4}} {24}} - { frac {61x ^ {6} } {720}} + cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}}, Qquad left | x right | <{ frac { pi} {2}} operatorname {csch} , x & = x ^ {- 1} - { frac {x} {6}} + { frac {7x ^ {3}} {360}} - { frac {31x ^ {5}} {15120}} + cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2 (1-2 ^ {2n-1}) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, Qquad 0 < left | x right | < pi end {aligned}}}$

kde:

${ displaystyle B_ {n} ,}$ je nth Bernoulliho číslo

${ displaystyle E_ {n} ,}$ je nth Eulerovo číslo

Porovnání s kruhovými funkcemi

Kružnice a hyperbola tečná na (1,1) zobrazují geometrii kruhových funkcí z hlediska kruhový sektor plocha u a hyperbolické funkce v závislosti na hyperbolický sektor plocha u.

Hyperbolické funkce představují expanzi trigonometrie za kruhové funkce. Oba typy závisí na argument, buď kruhový úhel nebo hyperbolický úhel.

Protože oblast kruhového sektoru s poloměrem r a úhel u (v radiánech) je r²u/ 2, bude se rovnat u když r = √2. V diagramu je takový kruh tečný k hyperbole xy = 1 při (1,1). Žlutý sektor zobrazuje velikost oblasti a úhlu. Podobně žlutý a červený sektor společně zobrazují oblast a velikost hyperbolického úhlu.

Nohy těch dvou pravé trojúhelníky s přeponou na paprsku definujícím úhly jsou dlouhé √2 krát kruhové a hyperbolické funkce.

Hyperbolický úhel je invariantní míra s respektem k zmáčknout mapování, stejně jako kruhový úhel je neměnný při rotaci.^[23]

The Gudermannská funkce dává přímý vztah mezi kruhovými funkcemi a hyperbolickými funkcemi, který nezahrnuje komplexní čísla.

Graf funkce A cosh (X/A) je řetězovka, křivka tvořená rovnoměrným pružným řetězem, volně visící mezi dvěma pevnými body za jednotné gravitace.

Vztah k exponenciální funkci

Rozklad exponenciální funkce v ní sudé a liché části dává totožnosti

${ displaystyle e ^ {x} = cosh x + sinh x,}$

a

${ displaystyle e ^ {- x} = cosh x- sinh x.}$

První je analogický k Eulerův vzorec

${ displaystyle e ^ {ix} = cos x + i sin x.}$

Dodatečně,

${ displaystyle e ^ {x} = { sqrt { frac {1+ tanh x} {1- tanh x}}} = { frac {1+ tanh { frac {x} {2}} } {1- tanh { frac {x} {2}}}}}$

Hyperbolické funkce pro komplexní čísla

Protože exponenciální funkce lze definovat pro všechny komplex argument, můžeme také rozšířit definice hyperbolických funkcí na komplexní argumenty. Funkce sinhz a coshz jsou tedy holomorfní.

Vztahy k běžným trigonometrickým funkcím jsou dány vztahem Eulerův vzorec pro komplexní čísla:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} e ^ {ix} & = cos x + i sin x e ^ {- ix} & = cos x-i sin x end {zarovnáno}}}$

tak:

${ displaystyle { begin {aligned} cosh (ix) & = { frac {1} {2}} left (e ^ {ix} + e ^ {- ix} right) = cos x sinh (ix) & = { frac {1} {2}} left (e ^ {ix} -e ^ {- ix} right) = i sin x cosh (x + iy) & = cosh (x) cos (y) + i sinh (x) sin (y) sinh (x + iy) & = sinh (x) cos (y) + i cosh (x ) sin (y) tanh (ix) & = i tan x cosh x & = cos (ix) sinh x & = - i sin (ix) tanh x & = - i tan (ix) end {zarovnáno}}}$

Hyperbolické funkce tedy jsou periodicky s ohledem na imaginární složku, s tečkou ${ displaystyle 2 pi i}$ (${ displaystyle pi i}$ pro hyperbolický tangens a kotangens).

Hyperbolické funkce v komplexní rovině

${ displaystyle operatorname {sinh} (z)}$	${ displaystyle operatorname {cosh} (z)}$	${ displaystyle operatorname {tanh} (z)}$	${ displaystyle operatorname {coth} (z)}$	${ displaystyle operatorname {sech} (z)}$	${ displaystyle operatorname {csch} (z)}$

Viz také

• e (matematická konstanta)
• Věta o stejném oblouku, na základě sinh
• Hyperbolický růst
• Inverzní hyperbolické funkce
• Seznam integrálů hyperbolických funkcí
• Poinsotovy spirály
• Sigmoidní funkce
• Soboleva upravil hyperbolický tangens
• Trigonometrické funkce

Reference

externí odkazy

• „Hyperbolické funkce“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Hyperbolické funkce na PlanetMath
• GonioLab: Vizualizace jednotkového kruhu, trigonometrické a hyperbolické funkce (Java Web Start )
• Webová kalkulačka hyperbolických funkcí