Singulární bod křivky - Singular point of a curve
v geometrie, a singulární bod na křivka je takový, kde křivka není dána a hladký vložení parametru. Přesná definice singulárního bodu závisí na typu studované křivky.
Algebraické křivky v rovině
Algebraické křivky v rovině lze definovat jako množinu bodů (X, y) splňující rovnici tvaru F(X, y) = 0, kde F je polynomiální funkce F:R2→R. Li F je rozšířen jako
Pokud je počátek (0, 0) na křivce, pak A0= 0. Li b1Then 0 pak věta o implicitní funkci zaručuje hladkou funkci h aby křivka měla tvar y=h(X) poblíž původu. Podobně, pokud b0≠ 0 pak je tu plynulá funkce k aby křivka měla tvar X=k(y) poblíž původu. V obou případech existuje plynulá mapa z R do roviny, která definuje křivku v sousedství počátku. Všimněte si, že na počátku
takže křivka není singulární nebo pravidelný u původu, pokud alespoň jeden z částečné derivace z F je nenulová. Singulární body jsou ty body na křivce, kde zmizí obě parciální derivace,
Pravidelné body
Předpokládejme, že křivka prochází počátkem a zapisujeme y=mx. Pak F lze psát
Li b0+mb1 není tedy 0 F= 0 má řešení multiplicity 1 v X= 0 a počátek je bodem jediného kontaktu s přímkou y=mx. Li b0+mb1= 0 tedy F= 0 má řešení multiplicity 2 nebo vyšší a linku y=mxnebo b0x +b1y = 0, je tečna ke křivce. V tomto případě, pokud C0+2mc1+ c2m2 není 0, pak má křivka bod dvojitého kontaktu s y=mx. Pokud je koeficient X2, C0+2mc1+ c2m2, je 0, ale koeficient X3 není potom původ je a inflexní bod křivky. Pokud koeficienty X2 a X3 jsou oba 0, pak se nazývá počátek bod zvlnění křivky. Tuto analýzu lze použít na libovolný bod křivky posunutím souřadnicových os tak, aby počátek byl v daném bodě.[1]
Dvojité body

Li b0 a b1 jsou oba 0 ve výše uvedené expanzi, ale alespoň jeden z C0, C1, C2 není 0, pak se počátek nazývá dvojitý bod křivky. Opět uvedení y=mx, F lze psát
Dvojité body lze klasifikovat podle řešení C0+2 mil1+m2C2=0.
Crunodes
Li C0+2 mil1+m2C2= 0 má dvě skutečná řešení pro m, to je pokud C0C2−C12<0, pak se počátek nazývá a crunode. Křivka v tomto případě kříží sama sebe na počátku a má dvě odlišné tečny odpovídající dvěma řešením C0+2 mil1+m2C2= 0. Funkce F má sedlový bod v tomto případě na počátku.
Aknody
Li C0+2 mil1+m2C2= 0 nemá žádná skutečná řešení pro m, to je pokud C0C2−C12> 0, pak se počátek nazývá an aknoda. Ve skutečné rovině je počátek izolovaný bod na křivce; když je však považován za složitou křivku, počátek není izolovaný a má dvě imaginární tečny odpovídající dvěma komplexním řešením C0+2 mil1+m2C2= 0. Funkce F má místní extremum v tomto případě na počátku.
Hrbolky
Li C0+2 mil1+m2C2= 0 má jediné řešení multiplicity 2 pro m, to je pokud C0C2−C12= 0, pak se počátek nazývá a hrot. Křivka v tomto případě mění směr v počátku a vytváří ostrý bod. Křivka má v počátku jednu tečnu, kterou lze považovat za dvě shodné tečny.
Další klasifikace
Termín uzel se používá k označení buď crunode nebo acnode, jinými slovy dvojitý bod, který není hrotem. Počet uzlů a počet vrcholů na křivce jsou dva z invariantů použitých v Plückerovy vzorce.
Pokud je jedním z řešení C0+2 mil1+m2C2= 0 je také řešením d0+3md1+3 m2d2+m3d3= 0, pak má odpovídající větev křivky inflexní bod na počátku. V tomto případě se původ nazývá a flecnode. Pokud obě tečny mají tuto vlastnost, tak C0+2 mil1+m2C2 je faktorem d0+3md1+3 m2d2+m3d3, pak se počátek nazývá a biflecnode.[2]
Více bodů

Obecně platí, že pokud jsou všechny podmínky stupně menší než k jsou 0 a alespoň jeden termín stupně k není 0 palců F, pak se říká, že křivka má a vícenásobný bod řádu k nebo a bod k-ple. Křivka bude mít obecně k tečny na počátku, ačkoli některé z těchto tečen mohou být imaginární.[3]
Parametrické křivky
A parametrizováno zakřivit dovnitř R2 je definován jako obraz funkce G:R→R2, G(t) = (G1(t),G2(t)). Singulární body jsou ty body, kde

Mnoho křivek lze definovat oběma způsoby, ale tyto dvě definice nemusí souhlasit. Například hrot lze definovat na algebraické křivce, X3−y2 = 0, nebo na parametrizované křivce, G(t) = (t2,t3). Obě definice dávají v počátcích singulární bod. Nicméně, a uzel jako například z y2−X3−X2 = 0 na počátku je singularita křivky považovaná za algebraickou křivku, ale pokud ji parametrizujeme jako G(t) = (t2−1,t(t2−1)) G′(t) nikdy nezmizí, a proto je uzel ne singularita parametrizované křivky, jak je definována výše.
Při výběru parametrizace je třeba postupovat opatrně. Například přímka y = 0 lze parametrizovat pomocí G(t) = (t3, 0), který má v počátku singularitu. Při parametrizaci pomocí G(t) = (t, 0) je to nesmyslné. Proto je technicky správnější diskutovat singulární body plynulého mapování spíše než singulární bod křivky.
Výše uvedené definice lze rozšířit tak, aby zahrnovaly implicitní křivky které jsou definovány jako nulová množina F −1(0) z plynulá funkce, a není nutné uvažovat pouze o algebraických variantách. Definice lze rozšířit tak, aby pokrývaly křivky ve vyšších rozměrech.
Věta o Hassler Whitney [4][5] státy
- Teorém. Jakýkoli uzavřený vstup Rn nastává jako sada řešení F −1(0) pro některé hladký funkce F:Rn→R.
Libovolnou parametrizovanou křivku lze také definovat jako implicitní křivku a klasifikaci singulárních bodů křivek lze studovat jako klasifikaci singulární bod algebraické odrůdy.
Druhy singulárních bodů
Některé z možných singularit jsou:
- Izolovaný bod: X2+y2 = 0, an aknoda
- Křížení dvou linek: X2−y2 = 0, a crunode
- A hrot: X3−y2 = 0, také nazývaný a spinoda
- A tacnode: X4−y2 = 0
- Hřebenovitý hrot: X5−y2 = 0.
Viz také
Reference
- Hilton, Harold (1920). „Kapitola II: Singulární body“. Rovinné algebraické křivky. Oxford.