Viètes vzorec - Viètes formula - Wikipedia

Vièteho vzorec, jak je vytištěn ve Viète Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)

v matematika, Vièteův vzorec je následující nekonečný produkt z vnořené radikály představující matematickou konstantu π:

${ displaystyle { frac {2} { pi}} = { frac { sqrt {2}} {2}} cdot { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}} 2}} cdot { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2}} cdots}$

Je pojmenován po François Viète (1540–1603), který ji publikoval v roce 1593 ve své práci Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII.^[1]

Význam

V době, kdy Viète zveřejnil svůj vzorec, metody pro přibližný ${ displaystyle pi}$ k (v zásadě) svévolné přesnosti bylo známo již dlouho. Vlastní metodu Viète lze interpretovat jako variaci myšlenky Archimedes aproximace obvodu kruhu po obvodu mnohostranného mnohoúhelníku,^[1] používá Archimedes k nalezení aproximace

${ displaystyle { frac {223} {71}} < pi <{ frac {22} {7}}.}$

Publikováním své metody jako matematického vzorce však Viète formuloval první instanci nekonečného produktu známého v matematice,^[2][3] a první příklad explicitního vzorce pro přesnou hodnotu ${ displaystyle pi}$.^[4][5] Jako první vzorec představující číslo jako výsledek nekonečného procesu, nikoli konečného výpočtu, byl Vièteův vzorec označen jako začátek matematická analýza^[6] a ještě obecněji „úsvit moderní matematiky“.^[7]

Viète pomocí svého vzorce vypočítal ${ displaystyle pi}$ na přesnost devět desetinná místa.^[8] Nebyla to však nejpřesnější aproximace ${ displaystyle pi}$ v té době známý jako Perský matematik Džamšíd al-Káší vypočítal ${ displaystyle pi}$ na přesnost devět sexagesimal číslic a 16 desetinných míst v 1424.^[7] Nedlouho poté, co Viète zveřejnil svůj vzorec, Ludolph van Ceulen použil úzce související metodu pro výpočet 35 číslic ${ displaystyle pi}$, které byly publikovány až po van Ceulenově smrti v roce 1610.^[7]

Interpretace a konvergence

Vièteův vzorec může být přepsán a chápán jako a omezit výraz

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {a_ {i}} {2}} = { frac {2} { pi}} }$

kde ${ displaystyle a_ {n} = { sqrt {2 + a_ {n-1}}}}$, s počátečním stavem ${ displaystyle a_ {1} = { sqrt {2}}}$.^[9] Viète dělal svou práci dlouho předtím, než byly v matematice vyvinuty koncepty limitů a důsledných důkazů konvergence; první důkaz, že tento limit existuje, byl poskytnut až v práci Ferdinand Rudio v roce 1891.^[1][10]

Srovnání konvergence Vièteova vzorce (×) a několik historických nekonečných sérií pro ${ displaystyle pi}$. ${ displaystyle S_ {n}}$ je přibližná hodnota po převzetí ${ displaystyle n}$ podmínky. Každý následující subplot zvětšuje stínovanou oblast vodorovně 10krát.

The rychlost konvergence limitu určuje počet výrazů potřebných k dosažení daného počtu číslic přesnosti. V případě Vièteova vzorce existuje lineární vztah mezi počtem termínů a počtem číslic: součin prvního ${ displaystyle n}$ výrazy v limitu dávají výraz pro ${ displaystyle pi}$ to je s přesností přibližně ${ displaystyle 0,6n}$ číslice.^[8][11] Tato míra konvergence je velmi příznivá ve srovnání s Produkt Wallis, později nekonečný produktový vzorec pro ${ displaystyle pi}$. Ačkoli Viète sám použil svůj vzorec k výpočtu ${ displaystyle pi}$ pouze s devítimístnou přesností, an zrychlený k výpočtu byla použita verze jeho vzorce ${ displaystyle pi}$ na stovky tisíc číslic.^[8]

Související vzorce

Vièteův vzorec lze získat jako zvláštní případ vzorce, který dal o více než století později Leonhard Euler, kteří zjistili, že:

${ displaystyle { frac { sin x} {x}} = cos { frac {x} {2}} cdot cos { frac {x} {4}} cdot cos { frac { x} {8}} cdots}$

Střídání ${ displaystyle x = { frac { pi} {2}}}$ v tomto vzorci se získá:

${ displaystyle { frac {2} { pi}} = cos { frac { pi} {4}} cdot cos { frac { pi} {8}} cdot cos { frac { pi} {16}} cdots}$

Poté vyjádření každého členu produktu vpravo jako funkce dřívějších výrazů pomocí vzorce polovičního úhlu:

${ displaystyle cos { frac {x} {2}} = { sqrt { frac {1+ cos x} {2}}}}$

dává Viète vzorec.^[1]

Je také možné odvodit z Vièteova vzorce související vzorec pro ${ displaystyle pi}$ který stále zahrnuje vnořené druhé odmocniny dvou, ale používá pouze jednu násobení:^[12]

${ displaystyle pi = lim _ {k to infty} 2 ^ {k} podprsenka { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2+ cdots + { sqrt {2}}}}}}}}}}} _ {k mathrm {square} mathrm {root}},}$

které lze přepsat kompaktně jako

${ displaystyle pi = displaystyle lim _ {k až infty} 2 ^ {k} { sqrt {2-a_ {k}}}, , a_ {1} = 0, , a_ {k } = { sqrt {2 + a_ {k-1}}}.}$

Mnoho vzorců podobných Vièteovým, které zahrnují buď vnořené radikály, nebo nekonečné produkty trigonometrických funkcí, je nyní známé pro ${ displaystyle pi}$ a další konstanty, jako je Zlatý řez.^{[3][12][13][14][15][16][17][18]}

Derivace

Posloupnost pravidelné mnohoúhelníky s počtem stran rovným pravomoci dvou, zapsáno do kruhu. Poměry mezi plochami nebo obvody po sobě jdoucích polygonů v pořadí dávají podmínky Vièteova vzorce.

Viète získal svůj vzorec porovnáním oblastech z pravidelné mnohoúhelníky s ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ a ${ displaystyle 2 ^ {n + 1}}$ strany zapsané v a kruh.^[1][6] První výraz v produktu, √2/2, je poměr ploch čtverce a osmiúhelník, druhý člen je poměr ploch osmiúhelníku a hexadekagon atd. Tedy produkt dalekohledy udat poměr ploch čtverce (počáteční polygon v sekvenci) ke kružnici (omezující případ a ${ displaystyle 2 ^ {n}}$-gon). Alternativně mohou být výrazy v produktu interpretovány jako poměry obvody stejné posloupnosti polygonů, počínaje poměrem obvodů a digon (průměr kruhu, počítáno dvakrát) a čtverec, poměr obvodů čtverce a osmiúhelníku atd.^[19]

Další odvození je možné na základě trigonometrické identity a Eulerův vzorec. Opakovaným používáním vzorec dvojitého úhlu

${ displaystyle sin x = 2 sin { frac {x} {2}} cos { frac {x} {2}},}$

jeden může prokázat matematická indukce to pro všechna kladná celá čísla ${ displaystyle n}$,

${ displaystyle sin x = 2 ^ {n} sin { frac {x} {2 ^ {n}}} vlevo ( prod _ {i = 1} ^ {n} cos { frac {x } {2 ^ {i}}} vpravo).}$

Termín ${ displaystyle 2 ^ {n} sin { tfrac {x} {2 ^ {n}}}}$ jde do ${ displaystyle x}$ v limitu jako ${ displaystyle n}$ jde do nekonečna, z čehož vyplývá Eulerův vzorec. Vièteův vzorec lze z tohoto vzorce získat substitucí ${ displaystyle x = pi / 2}$.^[4]

Reference

externí odkazy

• Viète Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593) dne Knihy Google. Vzorec je ve druhé polovině str. 30.