Ratnerovy věty - Ratners theorems - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Ratnerovy věty jsou skupina hlavních vět v ergodická teorie týkající se unipotentních toků homogenní prostory prokázáno Marina Ratner kolem roku 1990. Věty vyrostly z Ratnerovy dřívější práce na proudy horocyklu. Studie dynamiky unipotentních toků hrála rozhodující roli v důkazu Oppenheimova domněnka podle Grigory Margulis. Ratnerovy věty vedly klíčové pokroky v porozumění dynamice unipotentních toků. Jejich pozdější zobecnění poskytuje způsoby, jak vyostřit výsledky a rozšířit teorii na nastavení libovolného polojednoduché algebraické skupiny přes místní pole.

Stručný popis

The Ratnerova věta o uzavření oběžné dráhy tvrdí, že uzávěry oběžných drah unipotentních toků na kvocientu Lieovy skupiny mřížkou jsou pěkné geometrické podmnožiny. The Ratnerova věta o rovnoměrném rozdělení dále tvrdí, že každá taková oběžná dráha je při svém uzavření rovnoměrně rozdělena. The Věta o klasifikaci Ratnerovy míry je slabší tvrzení, že každé opatření ergodické invariantní pravděpodobnosti je homogenní, nebo algebraický: to se ukazuje jako důležitý krok k prokázání obecnější vlastnosti ekvidistribuce. Neexistuje univerzální shoda ohledně názvů těchto vět: jsou různě známé jako „věta o rigiditě míry“, „věta o invariantních mírách“ a její „topologická verze“ atd.

Formální prohlášení o takovém výsledku je následující. Nechat ${ displaystyle G}$ být Lež skupina, ${ displaystyle { mathit { Gamma}}}$ A mříž v ${ displaystyle G}$, a ${ displaystyle u ^ {t}}$ A podskupina s jedním parametrem z ${ displaystyle G}$ skládající se z unipotentní prvky, s přidruženými tok ${ displaystyle phi _ {t}}$ na ${ displaystyle { mathit { Gamma}} setminus G}$. Pak uzavření každé oběžné dráhy ${ displaystyle left {xu ^ {t} right }}$ z ${ displaystyle phi _ {t}}$ je homogenní. To znamená, že existuje a připojeno, uzavřená podskupina ${ displaystyle S}$ z ${ displaystyle G}$ takový, že obraz oběžné dráhy ${ displaystyle , xS ,}$ za akci ${ displaystyle S}$ správnými překlady dne ${ displaystyle G}$ pod kanonickou projekcí do ${ displaystyle { mathit { Gamma}} setminus G}$ je uzavřený, má konečný ${ displaystyle S}$-invariantní opatření a obsahuje uzavření ${ displaystyle phi _ {t}}$-orbit z ${ displaystyle x}$ jako hustá podmnožina.

Příklad: ${ displaystyle SL_ {2} ( mathbb {R})}$

Nejjednodušší případ, na který se vztahuje výše uvedené prohlášení, je ${ displaystyle G = SL_ {2} ( mathbb {R})}$. V tomto případě má následující jasnější formu; nechat ${ displaystyle Gamma}$ být mřížkou v ${ displaystyle SL_ {2} ( mathbb {R})}$ a ${ displaystyle F podmnožina gama zpětné lomítko G}$ uzavřená podmnožina, která je neměnná pod všemi mapami ${ displaystyle Gamma g mapsto Gamma (gu_ {t})}$ kde ${ displaystyle u_ {t} = { begin {pmatrix} 1 & t 0 & 1 end {pmatrix}}}$. Pak buď existuje ${ displaystyle x in Gamma zpětné lomítko G}$ takhle ${ displaystyle F = xU}$ (kde ${ displaystyle U = {u_ {t}, t in mathbb {R} }}$) nebo ${ displaystyle F = Gamma zpětné lomítko G}$.

Geometricky ${ displaystyle Gamma}$ je kofinit Fuchsijská skupina, takže kvocient ${ displaystyle M = Gamma zpětné lomítko mathbb {H} ^ {2}}$ z hyperbolická rovina podle ${ displaystyle Gamma}$ je hyperbolický orbifold konečného objemu. Z výše uvedené věty vyplývá, že každý horocykl z ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ má obrázek v ${ displaystyle M}$ což je buď uzavřená křivka (horocykl kolem a hrot z ${ displaystyle M}$) nebo hustý ${ displaystyle M}$.

Viz také

• Equidistribuční věta

Reference

Expozice

• Morris, Dave Witte (2005). Ratnerovy věty o unipotentních tocích (PDF). Chicago přednášky z matematiky. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN  978-0-226-53984-3. PAN  2158954.
• Einsiedler, Manfred (2009). „Co je ... změřit tuhost?“ (PDF). Oznámení AMS. 56 (5): 600–601.

Vybrané původní články

• Ratner, Marina (1990). "Přísná míra přísnosti pro unipotentní podskupiny řešitelných skupin". Vymyslet. Matematika. 101 (2): 449–482. doi:10.1007 / BF01231511. PAN  1062971.
• Ratner, Marina (1990). "Na míru tuhosti unipotentních podskupin polojednodušých skupin". Acta Math. 165 (1): 229–309. doi:10.1007 / BF02391906. PAN  1075042.
• Ratner, Marina (1991). „Na Raghunathanův odhad míry“. Ann. matematiky. 134 (3): 545–607. doi:10.2307/2944357. PAN  1135878.
• Ratner, Marina (1991). „Raghunathanova topologická domněnka a rozdělení unipotentních toků“. Vévoda Math. J. 63 (1): 235–280. doi:10.1215 / S0012-7094-91-06311-8. PAN  1106945.
• Ratner, Marina (1993). „Raghunathanovy dohady pro p-adické Lieovy skupiny“. Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu (5): 141–146. doi:10.1155 / S1073792893000145. PAN  1219864.
• Ratner, Marina (1995). „Raghunathanovy dohady o kartézských produktech skutečných a p-adických Lieových skupin“. Vévoda Math. J. 77 (2): 275–382. doi:10.1215 / S0012-7094-95-07710-2. PAN  1321062.
• Margulis, Grigory A.; Tomanov, Georges M. (1994). "Invariantní opatření pro akce unipotentních skupin nad místními poli v homogenních prostorech". Vymyslet. Matematika. 116 (1): 347–392. doi:10.1007 / BF01231565. PAN  1253197.