Hyperbolické potrubí - Hyperbolic manifold

v matematika, a hyperbolické potrubí je prostor, kde každý bod vypadá místně hyperbolický prostor nějaké dimenze. Studují se zejména v dimenzích 2 a 3, kde se nazývají hyperbolické povrchy a hyperbolické 3-potrubí, resp. V těchto dimenzích jsou důležité, protože většina rozdělovače může být přeměněn na hyperbolický potrubí pomocí a homeomorfismus. To je důsledek věta o uniformizaci pro povrchy a věta o geometrizaci pro 3-potrubí prokázáno Perelman.

Perspektivní projekce a dodekahedrální mozaikování v H³. Toto je příklad toho, co by mohl pozorovatel vidět uvnitř hyperbolického 3-potrubí.

The Pseudosféra. Každá polovina tohoto tvaru je hyperbolický 2-potrubí (tj. Povrch) s hranicí.

Přísná definice

A hyperbolický ${ displaystyle n}$- potrubí je kompletní Riemannian ${ displaystyle n}$- potrubí konstantní řezové zakřivení ${ displaystyle -1}$.

Každé úplné, spojené a jednoduše spojené potrubí s konstantním záporným zakřivením ${ displaystyle -1}$ je izometrické do skutečného hyperbolického prostoru ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$. Výsledkem je univerzální kryt jakéhokoli uzavřeného potrubí ${ displaystyle M}$ konstantního záporného zakřivení ${ displaystyle -1}$ je ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$. Tedy každý takový ${ displaystyle M}$ lze psát jako ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n} / Gamma}$ kde ${ displaystyle Gamma}$ je samostatná skupina izometrií bez zkroucení ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$. To znamená, ${ displaystyle Gamma}$ je samostatná podskupina ${ displaystyle SO_ {1, n} ^ {+} mathbb {R}}$. Rozdělovač má konečný objem právě tehdy ${ displaystyle Gamma}$ je mříž.

Své hustý-tenký rozklad má tenkou část skládající se z trubkovitých čtvrtí uzavřené geodetiky a konců, které jsou produktem euklidovského (${ displaystyle n-1}$) rozdělovač a uzavřený polořadovka. Rozdělovač má konečný objem právě tehdy, je-li jeho tlustá část kompaktní.

Příklady

Nejjednodušší příklad hyperbolického potrubí je Hyperbolický prostor, protože každý bod v hyperbolickém prostoru má sousedství izometrické s hyperbolickým prostorem.

Jednoduchým netriviálním příkladem je však jednou propíchnutý torus. Toto je příklad (Isom (${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$), ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$) - potrubí. To lze vytvořit vytvořením ideálního obdélníku ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$- to je obdélník, kde jsou vrcholy na hranici v nekonečnu, a tedy ve výsledném potrubí neexistují - a identifikace protilehlých obrazů.

Podobným způsobem můžeme sestrojit třikrát propíchnutou kouli, zobrazenou níže, slepením dvou ideálních trojúhelníků. To také ukazuje, jak nakreslit křivky na plochu - černá čára v diagramu se stane uzavřenou křivkou, když jsou zelené hrany slepeny dohromady. Protože pracujeme s propíchnutou koulí, barevné kruhy v povrchu - včetně jejich hranic - nejsou součástí povrchu, a proto jsou v diagramu znázorněny jako ideální vrcholy.

(Vlevo) Schéma lepení pro třikrát propíchnutou kouli. Okraje, které jsou stejně barevné, jsou slepeny dohromady. Všimněte si, že body, kde se čáry setkávají (včetně bodu v nekonečnu), leží na hranici hyperbolického prostoru, a proto nejsou součástí povrchu. (Vpravo) Povrch slepený k sobě.

Mnoho uzly a odkazy, včetně některých jednodušších uzlů, jako je uzel osmičky a Borromejské prsteny, jsou hyperbolické, a tak doplňují uzel nebo odkaz ${ displaystyle S ^ {3}}$ je hyperbolický 3-potrubí konečného objemu.

Důležité výsledky

Pro ${ displaystyle n> 2}$ hyperbolická struktura na a konečný objem hyperbolický ${ displaystyle n}$-manifold je jedinečný pro Poskytnout tuhost a tak geometrické invarianty jsou ve skutečnosti topologické invarianty. Jedním z těchto geometrických invariants použitých jako topologický invariant je hyperbolický objem uzlu nebo spojovacího doplňku, což nám umožňuje rozlišit dva uzly od sebe navzájem studiem geometrie jejich příslušných variet.

Můžeme se také zeptat, jaká je oblast hranice uzlového doplňku. Protože existuje vztah mezi objemem uzlového doplňku a objemem doplňku pod Plnění Dehn,^[1] můžeme použít oblast hranice, abychom nás informovali o tom, jak by se objem mohl pod takovou výplní změnit.

Viz také

• Hyperbolický 3-potrubí
• Margulisovo lemma
• Hyperbolický prostor
• Věta o hyperbolizaci
• Normálně hyperbolický invariantní potrubí

Reference

• Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolická potrubí a diskrétní skupiny, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN  978-0-8176-4912-8, PAN  1792613
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), Aritmetika hyperbolických 3-variet, Postgraduální texty z matematiky, 219, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98386-8, PAN  1937957
• Ratcliffe, John G. (2006) [1994], Základy hyperbolických variet, Postgraduální texty z matematiky, 149 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-47322-2, ISBN  978-0-387-33197-3, PAN  2249478
• Hyperbolické Voronoiovy diagramy jsou snadné, Franku Nielsene