Postava (matematika) - Character (mathematics)

v matematika, a charakter je (nejčastěji) zvláštní druh funkce od a skupina do a pole (tak jako komplexní čísla ). Existují alespoň dva odlišné, ale překrývající se významy.^[1] Jiná použití slova „znak“ jsou téměř vždy kvalifikovaná.

Multiplikativní charakter

A multiplikativní charakter (nebo lineární znaknebo jednoduše charakter) ve skupině G je skupinový homomorfismus z G do multiplikativní skupina pole (Artin 1966 ), obvykle pole komplexní čísla. Li G je libovolná skupina, pak množina Ch (G) těchto morfismů tvoří abelianská skupina pod bodovým násobením.

Tato skupina se označuje jako skupina znaků z G. Někdy jen unitární jsou brány v úvahu znaky (obraz je tedy v jednotkový kruh ); další takové homomorfismy se pak nazývají kvazi-znaky. Dirichletovy postavy lze považovat za zvláštní případ této definice.

Multiplikativní znaky jsou lineárně nezávislé, tj. pokud ${ displaystyle chi _ {1}, chi _ {2}, ldots, chi _ {n}}$ jsou různé znaky ve skupině G pak od ${ displaystyle a_ {1} chi _ {1} + a_ {2} chi _ {2} + ldots + a_ {n} chi _ {n} = 0}$ z toho vyplývá, že ${ displaystyle a_ {1} = a_ {2} = cdots = a_ {n} = 0}$.

Charakter reprezentace

The charakter ${ displaystyle chi: G rightarrow F}$ reprezentace ${ displaystyle phi dvojtečka G to mathrm {GL} (V)}$ skupiny G na konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTI přes pole F je stopa z zastoupení ${ displaystyle phi}$ (Serre 1977 ), tj.

${ displaystyle chi _ { phi} (g) = Tr ( phi (g))}$ pro ${ displaystyle g v G}$

Obecně platí, že stopa není skupinovým homomorfismem, ani sada stop netvoří skupinu^{[Citace je zapotřebí ]}. Znaky jednorozměrných reprezentací jsou totožné s jednorozměrnými reprezentacemi, takže výše uvedený pojem multiplikativní postavy lze chápat jako zvláštní případ výškových znaků. Studium reprezentací pomocí znaků se nazývá „teorie znaků "a jednorozměrné znaky se v tomto kontextu také nazývají" lineární znaky ".

Alternativní definice

Pokud je omezeno na konečný Abelian Group s ${ displaystyle 1 krát 1}$ zastoupení v ${ displaystyle mathbb {C}}$ (tj. ${ displaystyle GL (V) = GL (1, mathbb {C})}$), následující alternativní definice by byla ekvivalentní výše uvedené (pro Abelianské skupiny, každá maticová reprezentace se rozloží na a přímý součet z ${ displaystyle 1 krát 1}$ reprezentace. Pro neabelovskou skupinu by původní definice byla obecnější než tato):

Postava ${ displaystyle chi}$ skupiny ${ displaystyle (G, cdot)}$ je mapování ${ displaystyle chi: G rightarrow mathbb {C}}$ takhle ${ displaystyle chi (x cdot y) = chi (x) chi (y)}$ pro všechny ${ displaystyle x, y v G}$

Li ${ displaystyle G}$ je konečný Abelian skupina, postavy hrají roli harmonických. Pro nekonečno Abelian Group, výše by bylo nahrazeno ${ displaystyle chi: G rightarrow mathbb {T}}$ kde ${ displaystyle mathbb {T}}$ je Kruhová skupina.

Viz také

• Dirichletova postava
• Postava Harish-Chandra
• Hecke charakter
• Infinitezimální charakter
• Střídavý charakter

Reference

• Artin, Emil (1966), Galoisova teorieMatematické přednášky Notre Dame, číslo 2, Arthur Norton Milgram (Reprinted Dover Publications, 1997), ISBN  978-0-486-62342-9 Přednášky na University of Notre Dame
• Serre, Jean-Pierre (1977), Lineární reprezentace konečných skupin, Postgraduální texty z matematiky, 42Přeložil z druhého francouzského vydání Leonard L. Scott, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4684-9458-7, ISBN  0-387-90190-6, PAN  0450380

externí odkazy

• "Znak skupiny", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• "Znak skupinového zastoupení". PlanetMath.