Obálka (teorie kategorií) - Envelope (category theory)

Téma tohoto článku nemusí splňovat požadavky Wikipedie obecný pokyn k notabilitě. Pomozte prosím určit notabilitu citováním spolehlivé sekundární zdroje to jsou nezávislý tématu a poskytnout jeho významné pokrytí nad rámec pouhé triviální zmínky. Pokud nelze určit významnost, je pravděpodobné, že článek bude sloučeny, přesměrovánnebo smazáno. Najít zdroje: Teorie kategorie „Obálka“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v Teorie kategorií a příbuzné obory matematiky, an obálka je stavba, která zevšeobecňuje operace "vnějšího dokončení", jako je dokončení místně konvexního prostoru, nebo Zhutnění Stone – Čech topologického prostoru. Duální konstrukce se nazývá upřesnění.

Definice

Předpokládat ${ displaystyle K}$ je kategorie, ${ displaystyle X}$ objekt v ${ displaystyle K}$, a ${ displaystyle Omega}$ a ${ displaystyle Phi}$ dvě třídy morfismů v ${ displaystyle K}$. Definice^[1] obálky ${ displaystyle X}$ ve třídě ${ displaystyle Omega}$ s ohledem na třídu ${ displaystyle Phi}$ skládá se ze dvou kroků.

Rozšíření.

• Morfismus ${ displaystyle sigma: X až X '}$ v ${ displaystyle K}$ se nazývá rozšíření objektu ${ displaystyle X}$ ve třídě morfismů ${ displaystyle Omega}$ s ohledem na třídu morfismů ${ displaystyle Phi}$, pokud ${ displaystyle sigma v Omega}$a pro jakýkoli morfismus ${ displaystyle varphi: X až B}$ ze třídy ${ displaystyle Phi}$ existuje jedinečný morfismus ${ displaystyle varphi ': X' do B}$ v ${ displaystyle K}$ takhle ${ displaystyle varphi = varphi ' circ sigma}$.

Obálka.

• Rozšíření ${ displaystyle rho: X až E}$ objektu ${ displaystyle X}$ ve třídě morfismů ${ displaystyle Omega}$ s ohledem na třídu morfismů ${ displaystyle Phi}$ se nazývá obálka ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle Omega}$ s ohledem na ${ displaystyle Phi}$, pokud pro jiné rozšíření ${ displaystyle sigma: X až X '}$ (z ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle Omega}$ s ohledem na ${ displaystyle Phi}$) existuje jedinečný morfismus ${ displaystyle upsilon: X ' do E}$ v ${ displaystyle K}$ takhle ${ displaystyle rho = upsilon circ sigma}$. Objekt ${ displaystyle E}$ se také nazývá obálka ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle Omega}$ s ohledem na ${ displaystyle Phi}$.

Poznámky:

${ displaystyle rho = { text {env}} _ { Phi} ^ { Omega} X, qquad E = { text {Env}} _ { Phi} ^ { Omega} X.}$

Ve zvláštním případě, když ${ displaystyle Omega}$ je třída všech morfismů, jejichž rozsahy patří do dané třídy objektů ${ displaystyle L}$ v ${ displaystyle K}$ je vhodné ji vyměnit ${ displaystyle Omega}$ s ${ displaystyle L}$ v zápisech (a v podmínkách):

${ displaystyle rho = { text {env}} _ { Phi} ^ {L} X, qquad E = { text {Env}} _ { Phi} ^ {L} X.}$

Podobně, pokud ${ displaystyle Phi}$ je třída všech morfismů, jejichž rozsahy patří do dané třídy objektů ${ displaystyle M}$ v ${ displaystyle K}$ je vhodné ji vyměnit ${ displaystyle Phi}$ s ${ displaystyle M}$ v zápisech (a v podmínkách):

${ displaystyle rho = { text {env}} _ {M} ^ { Omega} X, qquad E = { text {Env}} _ {M} ^ { Omega} X.}$

Například lze mluvit o obálka ${ displaystyle X}$ ve třídě předmětů ${ displaystyle L}$ s ohledem na třídu předmětů ${ displaystyle M}$:

${ displaystyle rho = { text {env}} _ {M} ^ {L} X, qquad E = { text {Env}} _ {M} ^ {L} X.}$

Sítě epimorfismů a funktoriality

Předpokládejme, že ke každému objektu ${ displaystyle X in operatorname {Ob} ({K})}$ v kategorii ${ displaystyle {K}}$ je jí přiřazena podmnožina ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ {X}}$ ve třídě${ displaystyle operatorname {Epi} ^ {X}}$ všech epimorfismů této kategorie ${ displaystyle {K}}$, od ${ displaystyle X}$, a jsou splněny následující tři požadavky:

• pro každý objekt ${ displaystyle X}$ sada ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ {X}}$ není prázdný a je směrován doleva vzhledem k předobjednávce zděděné od ${ displaystyle operatorname {Epi} ^ {X}}$

${ displaystyle forall sigma, sigma ' in { mathcal {N}} ^ {X} quad existuje rho in { mathcal {N}} ^ {X} quad rho to sigma & rho to sigma ',}$

• pro každý objekt ${ displaystyle X}$ kovarianční systém morfismů generovaných ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ {X}}$

${ displaystyle { iota _ { rho} ^ { sigma}; rho, sigma in { mathcal {N}} ^ {X}, rho to sigma }}$

má colimit ${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}}$ v ${ displaystyle K}$, volal místní limit v ${ displaystyle X}$;

• pro každý morfismus ${ displaystyle alpha: X až Y}$ a pro každý prvek ${ displaystyle tau in { mathcal {N}} ^ {Y}}$ existuje prvek ${ displaystyle sigma v { mathcal {N}} ^ {X}}$ a morfismus ${ displaystyle alpha _ { sigma} ^ { tau}: operatorname {treska} sigma to operatorname {treska} tau}$^[2] takhle

${ displaystyle tau circ alpha = alpha _ { sigma} ^ { tau} circ sigma.}$

Pak rodina sad ${ displaystyle { mathcal {N}} = {{ mathcal {N}} ^ {X}; X v operatorname {Ob} ({K}) }}$ se nazývá a síť epimorfismů v kategorii ${ displaystyle {K}}$.

Příklady.

1. Pro každého lokálně konvexní topologický vektorový prostor ${ displaystyle X}$ a pro každé uzavřené konvexní vyvážené sousedství nuly ${ displaystyle U subseteq X}$ uvažujme o jeho jádře ${ displaystyle operatorname {Ker} U = bigcap _ { varepsilon> 0} varepsilon cdot U}$ a kvocientový prostor ${ displaystyle X / operatorname {Ker} U}$ vybavena normovanou topologií jednotkovou koulí ${ displaystyle U + operatorname {Ker} U}$a nechte ${ displaystyle X / U = (X / operatorname {Ker} U) ^ { blacktriangledown}}$ být dokončením ${ displaystyle X / operatorname {Ker} U}$ (očividně, ${ displaystyle X / U}$ je Banachův prostor a nazývá se to kvocient Banachův prostor z ${ displaystyle X}$ podle ${ displaystyle U}$). Systém přirozených zobrazení ${ displaystyle X až X / U}$ je síť epimorfismů v této kategorii ${ displaystyle { text {LCS}}}$ lokálně konvexních topologických vektorových prostorů.
2. Pro každou lokálně konvexní topologickou algebru ${ displaystyle A}$ a pro každého submultiplikativní uzavřené konvexní vyvážené okolí nuly ${ displaystyle U subseteq X}$,

${ displaystyle U cdot U subseteq U}$,

Zvažme znovu jeho jádro ${ displaystyle operatorname {Ker} U = bigcap _ { varepsilon> 0} varepsilon cdot U}$ a kvocientová algebra ${ displaystyle A / operatorname {Ker} U}$ vybaveno normovanou topologií jednotkovou koulí ${ displaystyle U + operatorname {Ker} U}$a nechte ${ displaystyle A / U = (A / operatorname {Ker} U) ^ { blacktriangledown}}$ být dokončením ${ displaystyle A / operatorname {Ker} U}$ (očividně, ${ displaystyle A / U}$ je Banachova algebra a nazývá se to kvocient Banachova algebra z ${ displaystyle X}$ podle ${ displaystyle U}$). Systém přirozených zobrazení ${ displaystyle A až A / U}$ je síť epimorfismů v této kategorii ${ displaystyle { text {LCS}}}$ lokálně konvexních topologických algeber.

Teorém.^[3] Nechat ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ být sítí epimorfismů v kategorii ${ displaystyle {K}}$ který vytváří třídu morfismů ${ displaystyle varPhi}$ uvnitř:

${ displaystyle { mathcal {N}} subseteq varPhi subseteq operatorname {Mor} ({K}) circ { mathcal {N}}.}$

Pak pro jakoukoli třídu epimorfismů ${ displaystyle varOmega}$ v ${ displaystyle K}$, který obsahuje všechny místní limity${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}}$,

${ displaystyle { varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}; X v operatorname {Ob} (K) } subseteq varOmega subseteq operatorname {Epi} (K),}$

platí:

(i) pro každý objekt ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle {K}}$ místní limit ${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X}}$ je obálka ${ displaystyle operatorname {env} _ { varPhi} ^ { varOmega} X}$ v ${ displaystyle varOmega}$ s ohledem na ${ displaystyle varPhi}$:

${ displaystyle varprojlim { mathcal {N}} ^ {X} = operatorname {env} _ { varPhi} ^ { varOmega} X,}$

ii) obálka ${ displaystyle operatorname {Env} _ { varPhi} ^ { varOmega}}$ lze definovat jako funktor.

Teorém.^[4] Nechat ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ být sítí epimorfismů v kategorii ${ displaystyle {K}}$ který vytváří třídu morfismů ${ displaystyle varPhi}$ uvnitř:

${ displaystyle { mathcal {N}} subseteq varPhi subseteq operatorname {Mor} ({K}) circ { mathcal {N}}.}$

Pak pro jakoukoli monomorfně komplementární třídu epimorfismů ${ displaystyle varOmega}$ v ${ displaystyle K}$ takhle ${ displaystyle K}$ je napájen společně^[5] v ${ displaystyle varOmega}$ obálka ${ displaystyle operatorname {Env} _ { varPhi} ^ { varOmega}}$ lze definovat jako funktor.

Teorém.^[6]Předpokládejme kategorii ${ displaystyle K}$ a třída objektů ${ displaystyle L}$ mají následující vlastnosti:

(i) ${ displaystyle K}$ je dokončit,

ii) ${ displaystyle K}$ má uzlový rozklad,

(iii) ${ displaystyle K}$ je ve třídě napájen společně ${ displaystyle operatorname {Epi}}$,^[7]

(iv) ${ displaystyle operatorname {Mor} (K, L)}$ jde od ${ displaystyle K}$:

${ displaystyle forall X in operatorname {Ob} (K) quad existuje varphi in operatorname {Mor} (K) quad operatorname {Dom} varphi = X quad & quad operatorname {Cod} varphi in L}$,

(proti) ${ displaystyle L}$ liší morfismy zvenčí: pro jakékoli dva různé paralelní morfismy ${ displaystyle alpha neq beta: X až Y}$ existuje morfismus ${ displaystyle varphi: Y až Z v L}$ takhle ${ Displaystyle varphi circ alpha neq varphi circ beta}$,

(vi) ${ displaystyle L}$ je uzavřen s ohledem na průchod kolimitům,

(vii) ${ displaystyle L}$ je uzavřen s ohledem na přechod z codomény morfismu k jeho uzlový obrázek: pokud ${ displaystyle operatorname {treska} alfa v L}$, pak ${ displaystyle operatorname {Im} _ { infty} alfa v L}$.

Pak obálka ${ displaystyle operatorname {Env} _ {L} ^ {L}}$ lze definovat jako funktor.

Příklady

V následujícím seznamu lze všechny obálky definovat jako funktory.

1. The dokončení ${ displaystyle X ^ { blacktriangledown}}$ a lokálně konvexní topologický vektorový prostor ${ displaystyle X}$ je obálka ${ displaystyle X}$ v kategorii ${ displaystyle { text {LCS}}}$ všech lokálně konvexních prostorů s ohledem na třídu ${ displaystyle { text {Ban}}}$ z Banachovy prostory:^[8] ${ displaystyle X ^ { blacktriangledown} = { text {Env}} _ { text {Ban}} ^ { text {LCS}} X}$. Očividně, ${ displaystyle X ^ { blacktriangledown}}$ je inverzní limit kvocientu Banachových prostorů ${ displaystyle X / U}$ (definováno výše):

${ displaystyle X ^ { blacktriangledown} = lim _ {0 dostane U} X / U.}$

2. The Zhutnění Stone – Čech ${ displaystyle beta: X až beta X}$ Tichonova topologický prostor ${ displaystyle X}$ je obálka ${ displaystyle X}$ v kategorii ${ displaystyle { text {Tikh}}}$ všech Tichonovových prostor ve třídě ${ displaystyle { text {Com}}}$ z kompaktní prostory s ohledem na stejnou třídu ${ displaystyle { text {Com}}}$:^[8] ${ displaystyle beta X = { text {Env}} _ { text {Com}} ^ { text {Com}} X.}$

3. The Arens-Michael obálka^{[9][10][11][12]} ${ displaystyle A ^ { text {AM}}}$ lokálně konvexní topologické algebry ${ displaystyle A}$ se samostatně spojitým násobením je obálka ${ displaystyle A}$ v kategorii ${ displaystyle { text {TopAlg}}}$ všech (lokálně konvexních) topologických algeber (se samostatně spojitým množením) ve třídě ${ displaystyle { text {TopAlg}}}$ s ohledem na třídu ${ displaystyle { text {Ban}}}$ Banachových algeber: ${ displaystyle A ^ { text {AM}} = { text {Env}} _ { text {Ban}} ^ { text {TopAlg}} A}$. Algebra ${ displaystyle A ^ { text {AM}}}$ je inverzní limit kvocientu Banachovy algebry ${ displaystyle A / U}$ (definováno výše):

${ displaystyle A ^ { text {AM}} = lim _ {0 dostane U} A / U.}$

4. The holomorfní obálka^[13] ${ displaystyle { text {Env}} _ { cal {O}} A}$ a stereotypní algebra ${ displaystyle A}$ je obálka ${ displaystyle A}$ v kategorii ${ displaystyle { text {SteAlg}}}$ všech stereotypních algeber ve třídě ${ displaystyle { text {DEpi}}}$ ze všech hustý epimorfismus^[14] v ${ displaystyle { text {SteAlg}}}$ s ohledem na třídu ${ displaystyle { text {Ban}}}$ všech Banachových algeber: ${ displaystyle { text {Env}} _ { cal {O}} A = { text {Env}} _ { text {Ban}} ^ { text {DEpi}} A.}$

5. The hladká obálka^[15] ${ displaystyle { text {Env}} _ { cal {E}} A}$ a stereotypní algebra ${ displaystyle A}$ je obálka ${ displaystyle A}$ v kategorii ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ všech involutivních stereotypních algeber ve třídě ${ displaystyle { text {DEpi}}}$ ze všech hustý epimorfismus^[14] v ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ s ohledem na třídu ${ displaystyle { text {DiffMor}}}$ všech diferenciálních homomorfismů do různých C * -algeber se spojenými nilpotentními elementy: ${ displaystyle { text {Env}} _ { cal {E}} A = { text {Env}} _ { text {DiffMor}} ^ { text {DEpi}} A.}$

6. The souvislá obálka^[16][17] ${ displaystyle { text {Env}} _ { cal {C}} A}$ a stereotypní algebra ${ displaystyle A}$ je obálka ${ displaystyle A}$ v kategorii ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ všech involutivních stereotypních algeber ve třídě ${ displaystyle { text {DEpi}}}$ ze všech hustý epimorfismus^[14] v ${ displaystyle { text {InvSteAlg}}}$ s ohledem na třídu ${ displaystyle { text {C}} ^ {*}}$ všech C * -algeber: ${ displaystyle { text {Env}} _ { cal {C}} A = { text {Env}} _ {{ text {C}} ^ {*}} ^ { text {DEpi}} A .}$

Aplikace

Obálky se objevují jako standardní funktory v různých oblastech matematiky. Kromě výše uvedených příkladů

• the Gelfandova transformace ${ displaystyle G_ {A}: A až C ({ text {Spec}} A)}$ komutativního involutivu stereotypní algebra ${ displaystyle A}$ je spojitá obálka ${ displaystyle A}$;^[18][19]

• pro každého místně kompaktní abelianská skupina ${ displaystyle G}$ the Fourierova transformace ${ displaystyle F_ {A}: C ^ { star} (G) až C ({ widehat {G}})}$ je spojitá obálka stereotypní skupinová algebra ${ displaystyle C ^ { star} (G)}$ opatření s kompaktní podporou na ${ displaystyle G}$.^[18]

v abstraktní harmonická analýza pojem obálky hraje klíčovou roli při zevšeobecňování Pontryaginova dualita teorie^[20] do tříd nekomutativních skupin: holomorfní, hladká a spojitá obálka stereotypní algebry (v příkladech uvedených výše) vedou ke konstrukcím holomorfní, hladké a spojité duality v velké geometrické disciplíny – složitá geometrie, diferenciální geometrie, a topologie - pro určité třídy (ne nutně komutativní) topologické skupiny uvažované v těchto disciplínách (afinní algebraické skupiny a některé třídy Lež skupiny a Mooreovy skupiny).^{[21][18][20][22]}

Viz také

• Upřesnění

Poznámky

Reference

• Helemskii, A.Ya. (1993). Banach a místně konvexní algebry. Oxford Science Publications. Clarendon Press.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Pirkovskii, A.Yu. (2008). „Arens-Michaelovy obálky, homologické epimorfismy a relativně kvazi-volné algebry“ (PDF). Trans. Moskevská matematika. Soc. 69: 27–104.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akbarov, S.S. (2009). "Holomorfní funkce exponenciálního typu a duality pro Steinovy ​​skupiny s algebraicky spojenou složkou identity". Journal of Mathematical Sciences. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. doi:10.1007 / s10958-009-9646-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akbarov, S.S. (2010). Stereotypní algebry a dualita pro Steinovy ​​skupiny (Teze). Moskevská státní univerzita.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akbarov, S.S. (2016). „Obálky a upřesnění v kategoriích s aplikacemi pro funkční analýzu“. Dissertationes Mathematicae. 513: 1–188. arXiv:1110.2013. doi:10.4064 / dm702-12-2015.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akbarov, S.S. (2017). "Kontinuální a hladké obálky topologických algeber. Část 1". Journal of Mathematical Sciences. 227 (5): 531–668. arXiv:1303.2424. doi:10.1007 / s10958-017-3599-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akbarov, S.S. (2017). "Kontinuální a hladké obálky topologických algeber. Část 2". Journal of Mathematical Sciences. 227 (6): 669–789. arXiv:1303.2424. doi:10.1007 / s10958-017-3600-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akbarov, S. S. (2013). "Gelfandova transformace jako obálka C *". Matematické poznámky. 94 (5–6): 814–815. doi:10.1134 / S000143461311014X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kuzněcovová, Y. (2013). "Dualita pro Mooreovy skupiny". Časopis teorie operátorů. 69 (2): 101–130. arXiv:0907.1409. Bibcode:2009arXiv0907.1409K. doi:10.7900 / jot.2011mar17.1920.CS1 maint: ref = harv (odkaz)