Upřesnění (teorie kategorií) - Refinement (category theory)

v teorie kategorií a příbuzné obory matematiky, a upřesnění je konstrukce, která zobecňuje operace „obohacení interiéru“, jako je bornologizace nebo nasycení místně konvexního prostoru. Duální konstrukce se nazývá obálka.

Definice

Předpokládat ${ displaystyle K}$ je kategorie, ${ displaystyle X}$ objekt v ${ displaystyle K}$, a ${ displaystyle Gamma}$ a ${ displaystyle Phi}$ dvě třídy morfismů v ${ displaystyle K}$. Definice^[1] upřesnění ${ displaystyle X}$ ve třídě ${ displaystyle Gamma}$ prostřednictvím třídy ${ displaystyle Phi}$ skládá se ze dvou kroků.

Obohacení

• Morfismus ${ displaystyle sigma: X ' až X}$ v ${ displaystyle K}$ se nazývá obohacení objektu ${ displaystyle X}$ ve třídě morfismů ${ displaystyle Gamma}$ pomocí třídy morfismů ${ displaystyle Phi}$, pokud ${ displaystyle sigma v Gamma}$a pro jakýkoli morfismus ${ displaystyle varphi: B až X}$ ze třídy ${ displaystyle Phi}$ existuje jedinečný morfismus ${ displaystyle varphi ': B až X'}$ v ${ displaystyle K}$ takhle ${ displaystyle varphi = sigma circ varphi '}$.

Upřesnění

• Obohacení ${ displaystyle rho: E až X}$ objektu ${ displaystyle X}$ ve třídě morfismů ${ displaystyle Gamma}$ pomocí třídy morfismů ${ displaystyle Phi}$ se nazývá a upřesnění ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle Gamma}$ pomocí ${ displaystyle Phi}$, pokud jde o jakékoli jiné obohacení ${ displaystyle sigma: X ' až X}$ (z ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle Gamma}$ pomocí ${ displaystyle Phi}$) existuje jedinečný morfismus ${ displaystyle upsilon: E až X '}$ v ${ displaystyle K}$ takhle ${ displaystyle rho = sigma circ upsilon}$. Objekt ${ displaystyle E}$ se také nazývá a upřesnění ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle Gamma}$ pomocí ${ displaystyle Phi}$.

Poznámky:

${ displaystyle rho = operatorname {ref} _ { Phi} ^ { Gamma} X, qquad E = operatorname {Ref} _ { Phi} ^ { Gamma} X.}$

Ve zvláštním případě, když ${ displaystyle Gamma}$ je třída všech morfismů, jejichž rozsahy patří do dané třídy objektů ${ displaystyle L}$ v ${ displaystyle K}$ je vhodné ji vyměnit ${ displaystyle Gamma}$ s ${ displaystyle L}$ v zápisech (a v podmínkách):

${ displaystyle rho = operatorname {ref} _ { Phi} ^ {L} X, qquad E = operatorname {Ref} _ { Phi} ^ {L} X.}$

Podobně, pokud ${ displaystyle Phi}$ je třída všech morfismů, jejichž rozsahy patří do dané třídy objektů ${ displaystyle M}$ v ${ displaystyle K}$ je vhodné ji vyměnit ${ displaystyle Phi}$ s ${ displaystyle M}$ v zápisech (a v podmínkách):

${ displaystyle rho = operatorname {ref} _ {M} ^ { Gamma} X, qquad E = operatorname {Ref} _ {M} ^ { Gamma} X.}$

Například lze mluvit o a upřesnění ${ displaystyle X}$ ve třídě předmětů ${ displaystyle L}$ pomocí třídy předmětů ${ displaystyle M}$:

${ displaystyle rho = operatorname {ref} _ {M} ^ {L} X, qquad E = operatorname {Ref} _ {M} ^ {L} X.}$

Příklady

1. The bornologifikace^[2][3] ${ displaystyle X _ { operatorname {born}}}$ a lokálně konvexní prostor ${ displaystyle X}$ je upřesnění ${ displaystyle X}$ v kategorii ${ displaystyle operatorname {LCS}}$ lokálně konvexních prostorů pomocí podkategorie ${ displaystyle operatorname {Norm}}$ z normované prostory: ${ displaystyle X _ { operatorname {born}} = operatorname {Ref} _ { operatorname {Norm}} ^ { operatorname {LCS}} X}$
2. The nasycení^[4][3] ${ displaystyle X ^ { blacktriangle}}$ pseudoúplného^[5] lokálně konvexní prostor ${ displaystyle X}$ je upřesnění v této kategorii ${ displaystyle operatorname {LCS}}$ lokálně konvexních prostorů pomocí podkategorie ${ displaystyle operatorname {Smi}}$ z Smithovy prostory: ${ displaystyle X ^ { blacktriangle} = operatorname {Ref} _ { operatorname {Smi}} ^ { operatorname {LCS}} X}$

Viz také

• Obálka

Poznámky

Reference

• Kriegl, A .; Michor, P.W. (1997). Pohodlné nastavení globální analýzy. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN  0-8218-0780-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

• Akbarov, S. S. (2003). "Pontryaginova dualita v teorii topologických vektorových prostorů a v topologické algebře". Journal of Mathematical Sciences. 113 (2): 179–349. doi:10.1023 / A: 1020929201133. S2CID  115297067.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

• Akbarov, S.S. (2016). „Obálky a upřesnění v kategoriích s aplikacemi pro funkční analýzu“. Dissertationes Mathematicae. 513: 1–188. arXiv:1110.2013. doi:10.4064 / dm702-12-2015. S2CID  118895911.CS1 maint: ref = harv (odkaz)