Uzlový rozklad - Nodal decomposition

Uzlový rozklad.

v teorie kategorií, abstraktní matematická disciplína, a uzlový rozklad^[1] morfismu ${ displaystyle varphi: X až Y}$ je reprezentace ${ displaystyle varphi}$ jako produkt ${ displaystyle varphi = sigma circ beta circ pi}$ , kde ${ displaystyle pi}$ je silný epimorfismus^[2]^[3]^[4], ${ displaystyle beta}$ A bimorfismus, a ${ displaystyle sigma}$ A silný monomorfismus.^[5]^[3]^[4]

Jedinečnost a notace

Jedinečnost nodálního rozkladu.

Pokud existuje, je uzlový rozklad jedinečný až do izomorfismu v následujícím smyslu: pro libovolné dva uzlové rozklady ${ displaystyle varphi = sigma circ beta circ pi}$ a ${ displaystyle varphi = sigma ' circ beta' circ pi '}$ existují izomorfismy ${ displaystyle eta}$ a ${ displaystyle theta}$ takhle

{ displaystyle pi '= eta circ pi,}

{ displaystyle beta = theta circ beta ' circ eta,}

{ displaystyle sigma '= sigma circ theta.}

Zápisy.

Tato vlastnost ospravedlňuje některé speciální notace pro prvky uzlového rozkladu:

{ displaystyle { begin {aligned} & pi = operatorname {coim} _ { infty} varphi, && P = operatorname {Coim} _ { infty} varphi, & beta = operatorname { red} _ { infty} varphi, && & sigma = operatorname {im} _ { infty} varphi, && Q = operatorname {Im} _ { infty} varphi, end {zarovnáno} }}

- tady ${ displaystyle operatorname {coim} _ { infty} varphi}$ a ${ displaystyle operatorname {Coim} _ { infty} varphi}$ se nazývají uzlový vztah ${ displaystyle varphi}$ , ${ displaystyle operatorname {im} _ { infty} varphi}$ a ${ displaystyle operatorname {Im} _ { infty} varphi}$ the uzlový obraz ${ displaystyle varphi}$ , a ${ displaystyle operatorname {red} _ { infty} varphi}$ the uzlová snížená část ${ displaystyle varphi}$ .

V těchto notacích má nodální rozklad formu

{ displaystyle varphi = operatorname {im} _ { infty} varphi circ operatorname {red} _ { infty} varphi circ operatorname {coim} _ { infty} varphi.}

Souvislost se základním rozkladem v předabelianských kategoriích

V předabelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ každý morfismus ${ displaystyle varphi}$ má standardní rozklad

{ displaystyle varphi = operatorname {im} varphi circ operatorname {red} varphi circ operatorname {coim} varphi}

,

volal základní rozklad (tady ${ displaystyle operatorname {im} varphi = ker ( operatorname {coker} varphi)}$ , ${ displaystyle operatorname {coim} varphi = operatorname {coker} ( ker varphi)}$ , a ${ displaystyle operatorname {červená} varphi}$ jsou obraz, coimage a redukovaná část morfismu ${ displaystyle varphi}$ ).

Uzlový a základní rozklad.

Pokud morfismus ${ displaystyle varphi}$ v předabelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ má uzlový rozklad, pak existují morfismy ${ displaystyle eta}$ a ${ displaystyle theta}$ které (nejsou nutně izomorfismy) spojují nodální rozklad se základním rozkladem pomocí následujících identit:

{ displaystyle operatorname {coim} _ { infty} varphi = eta circ operatorname {coim} varphi,}

{ displaystyle operatorname {red} varphi = theta circ operatorname {red} _ { infty} varphi circ eta,}

{ displaystyle operatorname {im} _ { infty} varphi = operatorname {im} varphi circ theta.}

Kategorie s nodálním rozkladem

Kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ se nazývá a kategorie s uzlovým rozkladem^[1] pokud každý morfismus ${ displaystyle varphi}$ má uzlový rozklad v ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ . Tato vlastnost hraje při konstrukci důležitou roli obálky a upřesnění v ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ .

V abelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ základní rozklad

{ displaystyle varphi = operatorname {im} varphi circ operatorname {red} varphi circ operatorname {coim} varphi}

je vždy uzlový. Jako důsledek všechny abelianské kategorie mají uzlový rozklad.

Pokud předabelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ je lineárně kompletní^[6], dobře napájený v silných monomorfismech^[7] a dobře napájený v silných epimorfizmech^[8], pak ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ má uzlový rozklad.^[9]

Obecněji, předpokládejme kategorii ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ je lineárně kompletní^[6], dobře napájený v silných monomorfismech^[7], dobře napájený v silných epimorfismech^[8], a navíc silné epimorfismy rozlišují monomorfismy^[10] v ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ a, duálně, silné monomorfismy rozlišují epimorfismy^[11] v ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , pak ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ má uzlový rozklad.^[12]

Kategorie Ste z stereotypní prostory (být neabelský) má nodální rozklad^[13], stejně jako (non-přísada ) kategorie SteAlg z stereotypní algebry .^[14]

Poznámky

^ ^A ^b Akbarov 2016, str. 28.
^ An epimorfismus ${ displaystyle varepsilon: A až B}$ se říká, že je silný, pokud pro nějaké monomorfismus ${ displaystyle mu: C až D}$ a pro všechny morfismy ${ displaystyle alpha: A až C}$ a ${ displaystyle beta: B až D}$ takhle ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alfa}$ existuje morfismus ${ displaystyle delta: B až C}$ , takový, že ${ displaystyle delta circ varepsilon = alpha}$ a ${ displaystyle mu circ delta = beta}$ .
^ ^A ^b Borceux 1994.
^ ^A ^b Tsalenko 1974.
^ A monomorfismus ${ displaystyle mu: C až D}$ se říká, že je silný, pokud pro nějaké epimorfismus ${ displaystyle varepsilon: A až B}$ a pro všechny morfismy ${ displaystyle alpha: A až C}$ a ${ displaystyle beta: B až D}$ takhle ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alfa}$ existuje morfismus ${ displaystyle delta: B až C}$ , takový, že ${ displaystyle delta circ varepsilon = alpha}$ a ${ displaystyle mu circ delta = beta}$
^ ^A ^b Kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ se říká, že je lineárně kompletní, pokud existuje nějaký funktor z lineárně uspořádaného množiny ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ má Přímo a inverzní limity.
^ ^A ^b Kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ se říká, že je dobře napájený v silných monomorfismech, pokud pro každý objekt ${ displaystyle X}$ kategorie ${ displaystyle operatorname {SMono} (X)}$ ze všech silné monomorfismy do ${ displaystyle X}$ je kosterně malý (tj. má kostru, která je sadou).
^ ^A ^b Kategorie ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ se říká, že je co-well-powered in strong epimorphisms, pokud pro každý objekt ${ displaystyle X}$ kategorie ${ displaystyle operatorname {SEpi} (X)}$ ze všech silné epimorfismy z ${ displaystyle X}$ je kosterně malý (tj. má kostru, která je sadou).
^ Akbarov 2016, str. 37.
^ Říká se, že silné epimorfismy rozlišují monomorfismy v kategorii ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , pokud každý morfismus ${ displaystyle mu}$ , který není monomorfismem, lze představit jako kompozici ${ displaystyle mu = mu ' circ varepsilon}$ , kde ${ displaystyle varepsilon}$ je silný epimorfismus což není izomorfismus.
^ Říká se, že silné monomorfismy rozlišují epimorfismy v kategorii ${ displaystyle { mathcal {K}}}$ , pokud každý morfismus ${ displaystyle varepsilon}$ , který není epimorfismem, lze představit jako kompozici ${ displaystyle varepsilon = mu circ varepsilon '}$ , kde ${ displaystyle mu}$ je silný monomorfismus což není izomorfismus.
^ Akbarov 2016, str. 31.
^ Akbarov 2016, str. 142.
^ Akbarov 2016, str. 164.