Skupina Mathieu M12 - Mathieu group M12
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
![]() |
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Mathieu M12 je sporadická jednoduchá skupina z objednat
- 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 26 · 33 · 5 · 11 = 95040.
Historie a vlastnosti
M12 je jednou z 26 sporadických skupin a byla představena Mathieu (1861, 1873 ). Je to ostře 5-tranzitivní permutační skupina na 12 objektech. Burgoyne & Fong (1968) ukázal, že Multiplikátor Schur M.12 má objednávku 2 (oprava chyby v (Burgoyne & Fong 1966 ) kde nesprávně tvrdili, že má objednávku 1).
Dvojitý kryt byl implicitně nalezen dříve Coxeter (1958), který ukázal, že M12 je podskupinou projektivní lineární skupina dimenze 6 nad konečné pole se 3 prvky.
The vnější skupina automorfismu má objednávku 2 a úplnou skupinu automorfismu M12.2 je obsažen v M.24 jako stabilizátor dvojice komplementárních dodecadů o 24 bodech s vnějšími automorfismy M12 zaměnit dva dodecady.
Zastoupení
Frobenius (1904) vypočítal složitou tabulku znaků M.12.
M12 má striktně 5-tranzitivní permutační zastoupení na 12 bodech, jejichž bodový stabilizátor je Mathieu skupina M11. Identifikace 12 bodů s projektivní linií nad polem 11 prvků, M12 je generován permutacemi PSL2(11) spolu s permutací (2,10) (3,4) (5,9) (6,7). Tato permutační reprezentace zachovává a Steinerův systém S (5,6,12) 132 speciálních hexad, tak, že každá pentad je obsažena přesně v 1 speciálním hexadu, a hexad jsou podpěry váhových 6 kódových slov rozšířeného ternární Golay kód. Ve skutečnosti M12 má dvě nerovnoměrné akce na 12 bodech, vyměněné vnějším automorfismem; jsou analogické dvěma nerovnoměrným akcím symetrické skupiny S6 na 6 bodech.
Dvojitý kryt 2.M12 je skupina automorfismu rozšířené ternární Golay kód, kód 6 o délce 12 kód nad polem řádu 3 o minimální hmotnosti 6. Zejména dvojitý kryt má neredukovatelné 6rozměrné znázornění nad polem 3 prvků.
Dvojitý kryt 2.M12 je skupina automorfismu jakýchkoli 12 × 12 Hadamardova matice.
M12 centralizuje prvek řádu 11 v skupina příšer, v důsledku čehož přirozeně působí na a vrcholová algebra přes pole s 11 prvky, označenými jako Tate cohomology z monstrum vrchol algebra.
Maximální podskupiny
Existuje 11 tříd konjugace maximálních podskupin M12, 6 vyskytující se v automorfních párech, následovně:
- M11, objednávka 7920, index 12. Existují dvě třídy maximálních podskupin, vyměněné vnějším automorfismem. Jednou je podskupina, která fixuje bod s oběžnými drahami velikosti 1 a 11, zatímco druhá působí přechodně na 12 bodů.
- S6: 2 = M10.2, vnější skupina automorfismu symetrické skupiny S.6 řádu 1440, index 66. Existují dvě třídy maximálních podskupin, vyměňované vnějším automorfismem. Jedním z nich je pozitivní a tranzitivní, jednající s 2 bloky po 6, zatímco druhá je podskupina fixující dvojici bodů a má oběžné dráhy velikosti 2 a 10.
- PSL (2,11), objednávka 660, index 144, dvojnásobný tranzit na 12 bodech
- 32: (2.S4), pořadí 432. Existují dvě třídy maximálních podskupin, které si vyměňují vnější automorfismus. Jeden jedná s oběžnými dráhami 3 a 9 a druhý má pozitivní dopad na 4 sady po 3.
- Izomorfní vůči afinní skupině v prostoru C.3 x C.3.
- S5 x 2, objednávka 240, dvojnásobná účinnost na 6 sadách 2 bodů
- Centralizátor šestistupňové transpozice
- Q: S4, objednejte 192, oběžné dráhy 4 a 8.
- Centralizátor čtyřnásobné transpozice
- 42: (2 x S.3), objednávka 192, na 3 sady po 4
- A4 x S3, objednávka 72, dvojnásobná, 4 sady po 3 bodech.
Hodiny konjugace
Tvar cyklu prvku a jeho konjugátu pod vnějším automorfismem souvisí takto: spojení dvou tvarů cyklu je vyvážené, jinými slovy invariantní při změně každého n-cyklujte do N/n cyklus pro celé číslo N.
Objednat | Číslo | Centralizátor | Cykly | Fúze |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 95040 | 112 | |
2 | 396 | 240 | 26 | |
2 | 495 | 192 | 1424 | |
3 | 1760 | 54 | 1333 | |
3 | 2640 | 36 | 34 | |
4 | 2970 | 32 | 2242 | Sloučený pod vnějším automorfismem |
4 | 2970 | 32 | 1442 | |
5 | 9504 | 10 | 1252 | |
6 | 7920 | 12 | 62 | |
6 | 15840 | 6 | 1 2 3 6 | |
8 | 11880 | 8 | 122 8 | Sloučený pod vnějším automorfismem |
8 | 11880 | 8 | 4 8 | |
10 | 9504 | 10 | 2 10 | |
11 | 8640 | 11 | 1 11 | Sloučený pod vnějším automorfismem |
11 | 8640 | 11 | 1 11 |
Reference
- Adem, Alejandro; Maginnis, John; Milgram, R. James (1991), „Geometry and cohomology of the Mathieu group M₁₂“, Journal of Algebra, 139 (1): 90–133, doi:10.1016 / 0021-8693 (91) 90285-G, ISSN 0021-8693, PAN 1106342
- Burgoyne, N .; Fong, Paul (1966), „Schurovi multiplikátoři Mathieuových skupin“, Nagojský matematický deník, 27 (2): 733–745, doi:10.1017 / S0027763000026519, ISSN 0027-7630, PAN 0197542
- Burgoyne, N .; Fong, Paul (1968), „Oprava:“ Schurovi multiplikátoři Mathieuových skupin"", Nagojský matematický deník, 31: 297–304, doi:10.1017 / S0027763000012782, ISSN 0027-7630, PAN 0219626
- Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65378-7
- Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Úvod do teorie grup konečného řádu, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60300-1, PAN 0075938
- Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, PAN 0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
- Conway, John Horton; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9, PAN 0827219
- Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, PAN 0920369
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1958), „Dvanáct bodů v PG (5,3) s 95040 autotransformacemi“, Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy, 247 (1250): 279–293, doi:10.1098 / rspa.1958.0184, ISSN 0962-8444, JSTOR 100667, PAN 0120289
- Curtis, R. T. (1984), „Steinerův systém S (5, 6, 12), skupina Mathieu M₁₂ a„ kotě"", Atkinson, Michael D. (ed.), Teorie výpočetních grup. Sborník příspěvků ze sympozia London Mathematical Society konaného v Durhamu 30. července - 9. srpna 1982., Boston, MA: Akademický tisk, str. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8, PAN 0760669
- Cuypers, Hansi, Mathieuovy skupiny a jejich geometrie (PDF)
- Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Permutační skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 163, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, PAN 1409812
- Frobenius, Ferdinand Georg (1904), „Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (v němčině), Königliche Akademie der Wissenschaften, Berlín, 16: 558–571, přetištěno ve svazku III jeho sebraných děl.
- Gill, Nick; Hughes, Sam (2019), „Tabulka znaků prudce 5-přechodné podskupiny střídavé skupiny stupně 12“, International Journal of Group Theory, doi:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
- Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, PAN 1707296
- Hughes, Sam (2018), Reprezentace a teorie znaků malých skupin Mathieu (PDF)
- Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
- Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 18: 25–46, JFM 05.0088.01[trvalý mrtvý odkaz ]
- Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-023-7, PAN 0749038
- Witt, Ernst (1938a), „über Steinersche Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, doi:10.1007 / BF02948948, ISSN 0025-5858
- Witt, Ernst (1938b), „Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, doi:10.1007 / BF02948947