Skupina Mathieu M23 - Mathieu group M23

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Mathieu M₂₃ je sporadická jednoduchá skupina z objednat

   2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 · 23 = 10200960

≈ 1×10⁷.

Historie a vlastnosti

M₂₃ je jednou z 26 sporadických skupin a byla představena Mathieu  (1861, 1873 ). Je to čtyřnásobný tranzitiv permutační skupina na 23 objektech. The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu jsou oba triviální.

Milgram (2000) vypočítal integrální kohomologii a ukázal zejména, že M₂₃ má neobvyklou vlastnost, že první 4 integrální homologické skupiny všechny zmizí.

The inverzní Galoisův problém se zdá být pro M.₂₃. Jinými slovy, zdá se, že žádný polynom v Z [x] nemá M₂₃ jako jeho skupina Galois. Inverzní Galoisův problém je vyřešen pro všechny ostatní sporadické jednoduché skupiny.

Stavba pomocí konečných polí

Nechat F_2¹¹ být konečné pole s 2¹¹ elementy. Její skupina jednotek má pořádek 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 · 89, má tedy cyklickou podskupinu C objednávky 23.

Skupina Mathieu M₂₃ lze identifikovat se skupinou F₂-lineární automorfismy z F_2¹¹ které se stabilizují C. Přesněji řečeno, akce této skupiny automorfismu na C lze identifikovat čtyřnásobnou tranzitivní akcí M.₂₃ na 23 objektech.

Zastoupení

M₂₃ je bodový stabilizátor působení Skupina Mathieu M24 na 24 bodech, což mu dává 4-tranzitivní permutační zastoupení na 23 bodech s bodovým stabilizátorem Skupina Mathieu M22.

M₂₃ má 2 různé hodnotit 3 akce na 253 bodech. Jedním z nich je akce na neuspořádaných párech s orbity velikosti 1 + 42 + 210 a bodovým stabilizátorem M.₂₁.2 a druhým je působení na heptady s oběžnými dráhami velikostí 1 + 112 + 140 a bodovým stabilizátorem 2⁴.A₇.

Integrální reprezentace odpovídající permutační akci na 23 bodech se rozloží na triviální reprezentaci a 22-dimenzionální reprezentaci. 22rozměrná reprezentace je neredukovatelná nad jakýmkoli polem charakteristiky, nikoli 2 nebo 23.

Přes pole řádu 2 má 2 11-rozměrná reprezentace, omezení odpovídajících reprezentací Skupina Mathieu M24.

Maximální podskupiny

Existuje 7 tříd konjugace maximálních podskupin o M₂₃ jak následuje:

• M₂₂, objednat 443520
• PSL (3,4): 2, objednávka 40320, oběžné dráhy 21 a 2
• 2⁴:A₇, objednávka 40320, oběžné dráhy 7 a 16

Stabilizátor W₂₃ blok

• A₈, objednávka 20160, oběžné dráhy 8 a 15
• M₁₁, objednejte 7920, oběžné dráhy 11 a 12
• (2⁴:A₅): S₃ nebo M.₂₀: S₃, objednejte 5760, oběžné dráhy 3 a 20 (5 bloků po 4)

Jednobodový stabilizátor skupiny sextet

• 23:11, objednávka 253, jednoduše tranzitivní

Hodiny konjugace

Reference

• Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-65378-7
• Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Úvod do teorie grup konečného řádu, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, PAN  0075938
• Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, PAN  0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
• Conway, John Horton; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, PAN  0827219
• Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, PAN  0920369
• Cuypers, Hansi, Mathieuovy skupiny a jejich geometrie (PDF)
• Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Permutační skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 163, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, PAN  1409812
• Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, PAN  1707296
• Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Milgram, R. James (2000), „The cohomology of the Mathieu group M₂₃“, Journal of Group Theory, 3 (1): 7–26, doi:10,1515 / délka 2000,008, ISSN  1433-5883, PAN  1736514
• Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN  978-0-88385-023-7, PAN  0749038
• Witt, Ernst (1938a), „über Steinersche Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, doi:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Witt, Ernst (1938b), „Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, doi:10.1007 / BF02948947

externí odkazy

• MathWorld: Mathieu Groups
• Atlas zastoupení konečných skupin: M₂₃