Conway skupina Co2 - Conway group Co2

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Conway Spol₂ je sporadická jednoduchá skupina z objednat

   2¹⁸ · 3⁶ · 5³ · 7 · 11 · 23

= 42305421312000

≈ 4×10¹³.

Historie a vlastnosti

Spol₂ je jednou z 26 sporadických skupin a byla objevena (Conway  1968, 1969 ) jako skupina automorfismů z Mřížka pijavice Λ oprava mřížkového vektoru typ 2. Jedná se tedy o podskupinu Spol₀. Je izomorfní s podskupinou Co₁. Přímý produkt 2 × Co₂ je maximální v Co₀.

The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu jsou oba triviální.

Zastoupení

Spol₂ působí jako 3. skupina permutace na 2300 bodech. Tyto body lze identifikovat pomocí rovinných šestiúhelníků v Leechově mřížce se 6 vrcholy typu 2.

Spol₂ působí na 23-dimenzionální dokonce integrální mřížku bez kořenů determinantu 4, danou jako sublattice mřížky Leech kolmé na vektor normy 4. Přes pole se 2 prvky má 22-dimenzionální věrné zobrazení; toto je nejmenší věrné zastoupení v jakémkoli oboru.

Feit (1974) ukázal, že pokud konečná skupina má absolutně neredukovatelné věrné racionální zastoupení dimenze 23 a nemá žádné podskupiny indexu 23 nebo 24, pak je obsažena Z/2Z × Co₂ nebo Z/2Z × Co₃.

The Skupina Mathieu M₂₃ je izomorfní s maximální podskupinou Co₂ a jedna reprezentace v permutačních maticích opravuje vektor typu 2 u = (-3,1²³). Blokový součet ζ involuce η =

${ displaystyle { mathbf {1} / 2} left ({ begin {matrix} 1 & -1 & -1 & -1 - 1 & 1 & -1 & -1 - 1 & -1 & 1 & -1 - 1 & -1 & -1 & 1 end {matrix}} right)}$

a 5 kopií -η také opravuje stejný vektor. Proto Co.₂ má pohodlnou maticovou reprezentaci uvnitř standardní reprezentace Co₀. Stopa ζ je -8, zatímco evoluce v M₂₃ mít stopu 8.

Součet 24rozměrných bloků η a -η je v Spol₀ právě když je počet kopií η lichý.

Další zastoupení opravuje vektor proti = (4,-4,0²²). Monomiální a maximální podskupina zahrnuje reprezentaci M.₂₂: 2, kde se obnoví jakákoli α zaměňující první 2 souřadnice proti poté negací vektoru. Zahrnuty jsou také diagonální involuce odpovídající oktadům (trasování 8), 16 sadám (trasování -8) a dodecads (trasování 0). Je možné ukázat, že Co₂ má pouze 3 třídy konjugace involucí. η listy (4, -4,0,0) beze změny; součet bloku ζ poskytuje nemonomický generátor doplňující toto znázornění Co₂.

Existuje alternativní způsob konstrukce stabilizátoru proti. Nyní u a u+proti = (1,-3,1²²) jsou vrcholy trojúhelníku 2-2-2 (viz níže). Pak u, u+proti, protia jejich negativy tvoří koplanární šestiúhelník fixovaný by a M₂₂; tyto generují skupinu Fi₂₁ ≈ U₆(2). α (vide výše) to rozšiřuje na Fi₂₁: 2, což je v Co₂. A konečně, Co₀ je přechodný v bodech typu 2, takže je 23-cyklický fix u má upevnění konjugátu protia generace je dokončena.

Maximální podskupiny

Některé maximální podskupiny fixují nebo odrážejí 2rozměrné sublattiky mřížky Leech. Je obvyklé definovat tyto roviny h-k-l trojúhelníky: trojúhelníky zahrnující počátek jako vrchol, přičemž hrany (rozdíly vrcholů) jsou vektory typů h, k a l.

Wilson (2009) našel 11 tříd konjugace maximálních podskupin z Spol₂ jak následuje:

• Fi₂₁: 2 ≈ U₆(2): 2 - skupina symetrie / odrazu koplanárního šestiúhelníku 6 bodů typu 2. Opravuje jeden šestiúhelník v permutační reprezentaci hodnosti 3 Co₂ na 2300 takových šestiúhelníků. V této podskupině jsou šestiúhelníky rozděleny na oběžné dráhy 1, 891 a 1408. Fi₂₁ opravuje trojúhelník 2-2-2 definující rovinu.
• 2¹⁰:M₂₂: 2 má monomiální reprezentaci popsanou výše; 2¹⁰:M₂₂ opravuje trojúhelník 2-2-4.
• McL opravuje trojúhelník 2-2-3.
• 2¹⁺⁸: Sp₆(2) - centralizátor involuční třídy 2A (trasování -8)
• HS: 2 opraví trojúhelník 2-3-3 nebo vymění jeho vrcholy typu 3 se změnou znaménka.
• (2⁴ × 2¹⁺⁶).A₈
• U₄(3): D₈
• 2⁴⁺¹⁰(S₅ × S.₃)
• M₂₃ opravuje trojúhelník 2-3-4.
• 3¹⁺⁴.2¹⁺⁴.S₅
• 5¹⁺²: 4S₄

Hodiny konjugace

Stopy matic ve standardní 24rozměrné reprezentaci Co₂ jsou ukázány.^[1] Názvy tříd konjugace jsou převzaty z Atlasu reprezentací konečných skupin. ^[2]

Centralizátory neznámé struktury jsou označeny závorkami.

Reference

• Conway, John Horton (1968), „Perfektní skupina řádu 8 315 553 613 086 720 000 a sporadické jednoduché skupiny“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 61 (2): 398–400, doi:10.1073 / pnas.61.2.398, PAN  0237634, PMC  225171, PMID  16591697
• Conway, John Horton (1969), „Skupina objednávek 8 315 553 613 086 720 000“, Bulletin London Mathematical Society, 1: 79–88, doi:10.1112 / blms / 1.1.79, ISSN  0024-6093, PAN  0248216
• Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, PAN  0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
• Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, PAN  0920369
• No tak, Waltere (1974), „O integrálních reprezentacích konečných skupin“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 29: 633–683, doi:10,1112 / plms / s3-29,4,633, ISSN  0024-6115, PAN  0374248
• Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN  978-0-88385-023-7, PAN  0749038
• Conway, John Horton; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, PAN  0827219
• Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, PAN  1707296
• Wilson, Robert A. (1983), „Maximální podskupiny Conwayovy skupiny · 2“, Journal of Algebra, 84 (1): 107–114, doi:10.1016/0021-8693(83)90069-8, ISSN  0021-8693, PAN  0716772
• Wilson, Robert A. (2009), Konečné jednoduché skupiny., Graduate Texts in Mathematics 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

Charakteristický

externí odkazy

• MathWorld: Conway Groups
• Atlas zastoupení konečných skupin: Co₂ verze 2
• Atlas zastoupení konečných skupin: Co₂ verze 3