Conway skupina Co1 - Conway group Co1

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Conway Spol₁ je sporadická jednoduchá skupina z objednat

2²¹ · 3⁹ · 5⁴ · 7² · 11 · 13 · 23

= 4157776806543360000

≈ 4×10¹⁸.

Historie a vlastnosti

Spol₁ je jednou z 26 sporadických skupin a byla objevena John Horton Conway v roce 1968. Je to největší ze tří sporadických Conwayových skupin a lze jej získat jako podíl Spol₀ (skupina automorfismů z Mřížka pijavice Λ které opravují původ) jeho centrum, který se skládá ze skalárních matic ± 1. Objevuje se také na vrcholu skupiny automorfismu dokonce 26-dimenzionální unimodulární mřížky II_25,1. Některé poněkud záhadné komentáře ve Wittových shromážděných pracích naznačují, že v nepublikované práci v roce 1940 našel mřížku pijavice a možná pořadí její skupiny automorfismu.

The vnější skupina automorfismu je triviální a Multiplikátor Schur má objednávku 2.

Zapojení

Spol₀ má 4 třídy konjugace involucí; tyto se zhroutí na 2 v Co₁, ale v Co₀ které odpovídají třetí třídě involucí v Co₁.

Obrázek dodecadu má centralizátor typu 2¹¹: M₁₂: 2, který je obsažen v maximální podskupině typu 2¹¹: M₂₄.

Obrázek octad nebo 16-set má centralizátor formuláře 2¹⁺⁸.Ó₈⁺(2), maximální podskupina.

Zastoupení

Nejmenší věrné permutační zastoupení Co₁ je na 98280 párech {proti,–proti} vektorů normy 4.

Nad polem je maticová reprezentace dimenze 24 ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$ .

Centralizátor involuce typu 2B v skupina příšer je ve formě 2¹⁺²⁴Spol₁.

Dynkinův diagram rovnoměrného Lorentziana unimodulární mříž II_1,25 je izometrický k (afinní) mřížce pijavice Λ, takže skupina diagramových automorfismů je rozdělená extenze Λ, Co₀ afinních izometrií leechovské mřížky.

Maximální podskupiny

Wilson (1983) našel 22 tříd konjugace maximálních podskupin z Spol₁, ačkoli v tomto seznamu byly nějaké chyby, opravené Wilson (1988).

Spol₂
3.Suz: 2 Výtah na Aut (Λ) = Co₀ opraví složitou strukturu nebo ji změní na komplexní konjugovanou strukturu. Také nahoře Řetěz Suzuki.
2¹¹:M₂₄ Obrázek monomiální podskupiny z Aut (Λ), která podskupinu stabilizuje rám 48 vektorů formy (± 8,0²³) .
Spol₃
2¹⁺⁸.Ó₈⁺(2) centralizátor involuční třídy 2A (obrázek octadu z Aut (Λ))
Fi₂₁: S₃ ≈ U₆(2): S.₃ Výtah na Aut (Λ) je skupina symetrie koplanárního šestiúhelníku 6 typ 2 bodů.
(A₄ × G.₂(4)): 2 v řetězci Suzuki.
2²⁺¹²:(A₈ × S.₃)
2⁴⁺¹²(S₃ × 3.S₆)
3².U₄(3) .D₈
3⁶:2.M₁₂ (holomorf z ternární Golay kód )
(A₅ × J.₂): 2 v řetězci Suzuki
3¹⁺⁴: 2. PSp₄(3).2
(A₆ × U₃(3)). 2 v řetězci Suzuki
3³⁺⁴: 2. (S.₄ × S.₄)
A₉ × S.₃ v řetězci Suzuki
(A₇ × L.₂(7)): 2 v řetězci Suzuki
(D.₁₀ × (A.₅ × A₅).2).2
5¹⁺²: GL₂(5)
5³: (4 × A₅).2
7²: (3 × 2.S₄)
5²: 2A₅

Reference

Conway, John Horton (1968), „Perfektní skupina řádu 8 315 553 613 086 720 000 a sporadické jednoduché skupiny“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 61 (2): 398–400, doi:10.1073 / pnas.61.2.398, PAN 0237634, PMC 225171, PMID 16591697
Brauer, R.; Sah, Chih-han, eds. (1969), Teorie konečných grup: Sympózium, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, PAN 0240186
Conway, John Horton (1969), „Skupina objednávek 8 315 553 613 086 720 000“, Bulletin of London Mathematical Society, 1: 79–88, doi:10.1112 / blms / 1.1.79, ISSN 0024-6093, PAN 0248216
Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, PAN 0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267-298)
Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, PAN 0920369
Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-023-7, PAN 0749038
Conway, John Horton; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9, PAN 0827219
Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, PAN 1707296
Wilson, Robert A. (1983), „Maximální podskupiny Conwayovy skupiny Co₁“, Journal of Algebra, 85 (1): 144–165, doi:10.1016/0021-8693(83)90122-9, ISSN 0021-8693, PAN 0723071
Wilson, Robert A. (1988), „On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁“, Journal of Algebra, 113 (1): 261–262, doi:10.1016/0021-8693(88)90192-5, ISSN 0021-8693, PAN 0928064
Wilson, Robert A. (2009), Konečné jednoduché skupiny., Graduate Texts in Mathematics 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012