Skupina Mathieu M24 - Mathieu group M24
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Mathieu M24 je sporadická jednoduchá skupina z objednat
- 210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 = 244823040
- ≈ 2×108.
Historie a vlastnosti
M24 je jednou z 26 sporadických skupin a byla představena Mathieu (1861, 1873 ). Je to 5-tranzitiv permutační skupina na 24 objektech. The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu jsou oba triviální.
Skupiny Mathieu mohou být konstruovány různými způsoby. Zpočátku je Mathieu a další konstruovali jako permutační skupiny. Bylo těžké vidět, že M24 ve skutečnosti existoval, že jeho generátory nevytvořily pouze střídavou skupinu A24. Záležitost byla objasněna, když Ernst Witt sestrojil M24 jako skupina automorfismu (symetrie) S (5,8,24) Steinerův systém Ž24 (dále jen Witt design ). M24 je skupina permutací, které mapují každý blok v tomto designu na nějaký jiný blok. Podskupiny M23 a M.22 pak jsou snadno definovány jako stabilizátory jednoho bodu a dvojice bodů.
Stavba jako permutační skupina
M24 je podskupinou S24 který je generován třemi permutacemi:[1]
- a
- .
M24 lze také generovat dvěma permutacemi:[2]
- a
M24 od PSL (3,4)
M24 lze postavit od PSL (3,4), projektivní speciální lineární skupina trojrozměrného prostoru nad konečným polem se 4 prvky (Dixon a Mortimer 1996, s. 192–205). Tato skupina, někdy nazývaná M21, působí na projektivní rovina přes pole F4, tzv. systém S (2,5,21) Ž21. Je voláno jeho 21 bloků řádky. Jakékoli 2 čáry se protínají v jednom bodě.
M21 má 168 jednoduchých podskupin řádu 360 a 360 jednoduchých podskupin řádu 168. Ve větších projektivní obecná lineární skupina PGL (3,4) tvoří obě sady podskupin jednotlivé třídy konjugace, ale v M.21 obě sady jsou rozděleny do 3 tříd konjugace. Podskupiny mají oběžné dráhy 6, tzv hyperovalsa oběžné dráhy 7, tzv Fano subplanes. Tyto sady umožňují vytváření nových bloků pro větší systémy Steiner. M21 je normální v PGL (3,4), z index 3. PGL (3,4) má vnější automorfismus indukovaný transpozicí konjugovaných prvků do F4 (polní automorfismus). PGL (3,4) lze proto rozšířit na skupinu PΓL (3,4) z projektivní semilineární transformace, což je rozdělené rozšíření M21 podle symetrická skupina S3. PΓL (3,4) má vložení jako maximální podskupinu M.24.(Griess 1998, str. 55)
Hyperoval nemá žádné 3 body, které jsou kolineární. Podobná rovina Fano splňuje vhodné podmínky jedinečnosti.
W21 připojit 3 nové body a nechat automatorfismy v PΓL (3,4), ale ne v M21 permutovat tyto nové body. Systém S (3,6,22) W22 je tvořen připojením pouze jednoho nového bodu ke každé z 21 linek a nových bloků je 56 hyperovalů konjugovaných pod M21.
Systém S (5,8,24) by měl 759 bloků, nebo oktad. Připojte všechny 3 nové body ke každému řádku W21, nový nový bod k Fano subplanes v každé ze sad 120, a připojit příslušné páry nových bodů ke všem hyperovals. To odpovídá všem kromě 210 oktadům. Tyto zbývající oktety jsou podmnožinami W21 a jsou symetrické rozdíly párů linek. Existuje mnoho možných způsobů, jak rozšířit skupinu PΓL (3,4) na M24.
Automorphism skupina kódu Golay
Skupina M24 také je permutace automorfická skupina z binární Golay kód Ž, tj. skupina permutací mapování souřadnic Ž pro sebe. Kódová slova přirozeným způsobem odpovídají podmnožinám sady 24 objektů. (V teorii kódování termín „binární Golayův kód“ často odkazuje na kratší související kód délky 23 a zde používaný kód délky 24 se nazývá „rozšířený binární Golayův kód“.) Tyto podmnožiny odpovídající kódovým slovům se 8 nebo 12 souřadnicemi se rovnají jsou volány do 1 oktad nebo dodecads resp. Oktady jsou bloky systému Steiner S (5,8,24) a binární Golay kód je vektorový prostor nad polem F2 překlenutý oktadami Steinerova systému.
Jednoduché podskupiny M23, M.22, M.12a M.11 lze definovat jako podskupiny M24, stabilizátory jedné souřadnice, uspořádaný pár souřadnic, dodecad a dodecad společně s jedinou souřadnicí.
Mezi skupinami Mathieu a těmi většími je přirozené spojení Skupiny Conway, protože binární Golay kód a Mřížka pijavice obě leží v prostorech dimenze 24. Skupiny Conway se zase nacházejí v Skupina příšer. Robert Griess označuje 20 sporadických skupin nalezených v Monster jako Šťastná rodinaa skupinám Mathieu jako první generace.
Mnohostěnné symetrie
M24 mohou být konstruovány vycházející ze symetrií Kleinova kvartika (symetrie a mozaikování rodu tři povrch), což je PSL (2,7), který může být rozšířen další permutací. Tuto permutaci lze popsat tak, že začneme obkládáním Kleinovy kvartiky o 56 trojúhelníků (s 24 vrcholy - 24 body, na které skupina působí), poté vytvořením čtverců z některých ze 2 trojúhelníků a osmiúhelníků ze 6 trojúhelníků, s přidanou permutací je „vyměnit dva koncové body těch okrajů původního trojúhelníkového obkladu, které rozdělují čtverce a osmiúhelníky“.[2] To lze vizualizovat pomocí zbarvení trojúhelníků - odpovídající obklad je topologicky, ale ne geometricky t0,1{4, 3, 3} obklady, a může být (polyhedrally) ponořený v euklidovském 3prostoru jako malý cubicuboctahedron (který má také 24 vrcholů).[2]
Aplikace
Teorie pupeční měsíční svit je částečně dohadný vztah mezi K3 povrchy a M.24.
The Conway skupina Co1, Skupina Fischer Fi24 a Janko skupina J4 každá má maximální podskupiny, které jsou rozšířením Mathieuovy skupiny M.24 skupinou 211. (Tato rozšíření nejsou všechna stejná.)
Zastoupení
Frobenius (1904) vypočítal složitou tabulku znaků M.24.
Skupina Mathieu M24 má 5násobnou přechodnou permutační reprezentaci na 24 bodech. Odpovídající lineární reprezentace komplexních čísel je součtem triviálního vyjádření a 23rozměrného neredukovatelného vyjádření.
M24 má dva pozice 3 permutační reprezentace: jeden na párech 276 = 1 + 44 + 231 bodů (nebo duad) se stabilizátorem M.22.2 a jeden na dvojicích 1288 = 1 + 495 + 792, se stabilizátorem M.12.2.
Kvocient 24-rozměrné lineární reprezentace permutační reprezentace jejím 1-dimenzionálním pevným podprostorem poskytuje 23-dimenzionální reprezentaci, která je neredukovatelná nad jakýmkoli polem charakteristiky, nikoli 2 nebo 3, a dává nejmenší věrné zobrazení nad těmito poli.
Snížení 24-dimenzionální reprezentace mod 2 dává akci na F24
2. To má invariantní podprostory dimenze 1, 12 (Golayův kód) a 23. Dílčí dílci dávají dvě neredukovatelné reprezentace dimenze 11 nad polem se 2 prvky.
Maximální podskupiny
Choi (1972b) našel 9 tříd konjugace maximálních podskupin z M24. Curtis (1977) poskytl krátký důkaz o výsledku a popsal 9 tříd, pokud jde o kombinatorická data o 24 bodech: podskupiny opravují bod, duad, octad, duum, sextet, triádu, trio, projektivní linii nebo oktern, jak je popsáno níže. Todd (1966) dal tabulky znaků M24 (původně vypočteno Frobenius (1904) ) a 8 maximálních podskupin, které byly v té době známy.
M24 obsahuje neabelovské jednoduché podskupiny 13 typů izomorfismu: pět tříd A5, čtyři třídy PSL (3,2), dvě třídy A6, dvě třídy PSL (2,11), po jedné třídě A7, PSL (2,23), M11, PSL (3,4), A8, M.12, M.22, M.23a M.24. A6 níže je také označen jako subkvotient v podskupině sextet.
Skupina Mathieu působí na 2048 = 1 + 759 + 1288 bodů Golayova kódu a moduluje pevný prostor 3 oběžnými drahami, a na 4096 = 1 + 24 + 276 + 2024 + 1771 bodů kódového kódu s 5 oběžnými dráhami a podskupiny upevňující netriviální bod kódu nebo kódování poskytují 6 z 9 tříd maximálních podskupin.
9 tříd maximálních podskupin je následujících:
Bodová podskupina
M23, objednat 10200960
Podskupina Duad
Duad je dvojice bodů. Podskupina, která opravuje dvojici, jeM22: 2, objednejte 887040 s oběžnými dráhami 2 a 22.
Octad podskupina
Podskupinou, která opravuje jeden z 759 (= 3,11,23) oktadů Golayova kódu nebo Steinerova systému, je skupina oktadů 24:A8, objednávka 322560, s oběžnými drahami o velikosti 8 a 16. Lineární skupina GL (4,2) má výjimečný izomorfismus do střídavé skupiny A8. Bodový stabilizátor Ó octad je abelian skupina řádu 16, exponent 2, z nichž každá involutions posune všech 16 bodů mimo oktad. Stabilizátor octadu je rozdělené prodloužení O o A8. (Thompson 1983, str. 197–208)
Podskupina Duum
Duum je dvojice doplňkových dodecadů (12 bodových sad) v Golayově kódu. Podskupina, která opravuje dvojici, jeM12: 2, objednávka 190080, tranzitivní a imprimitivní. Tuto podskupinu objevil Frobenius. Podskupina M12 působí odlišně na 2 sady po 12, což odráží vnější automorfismus M.12.
Podskupina sextetu
26: (3.S6), objednávka 138240: sextetová skupina
Zvažte a tetrad, libovolná sada 4 bodů v systému Steiner W24. Octad je určen výběrem pátého bodu ze zbývajících 20. Je možné 5 octadů. Jakákoli tetrad tedy určuje rozdělení na 6 tetrad, nazývané a sextet, jehož stabilizátor v M24 se nazývá a sextetová skupina.
Celkový počet tetrad je 24 * 23 * 22 * 21/4! = 23 * 22 * 21. Dělením, že číslem 6 získáte počet sextetů, 23 * 11 * 7 = 1771. Skupina sextetů je dále podskupinou produkt věnce objednávky 6! * (4!)6, jehož jedinými děliteli prvočísel jsou 2, 3 a 5. Nyní víme dělitele prvočísel | M24|. Další analýza by určila pořadí sextetové skupiny a tedy | M24|.
Je vhodné uspořádat 24 bodů do pole 6: 4:
A E I M Q U
B F J N R V
C G K O S W
D H L P T X
Kromě toho je vhodné použít prvky pole F4 číslovat řádky: 0, 1, u, u2.
Skupina sextetů má normální abelianskou podskupinu H řádu 64, izomorfní s hexakód, vektorový prostor délky 6 a dimenze 3 nad F4. Nenulový prvek v H dělá dvojité transpozice ve 4 nebo 6 sloupcích. Jeho akci lze považovat za přidání vektorových souřadnic k číslům řádků.
Skupina sextet je rozdělené rozšíření H o skupinu 3.S6 (A prodloužení stonku ). Zde je instance ve skupinách Mathieu, kde jednoduchá skupina (A6) je dílčí podíl, nikoli podskupina. 3. S.6 je normalizátor v M.24 podskupiny generované r= (BCD) (FGH) (JKL) (NOP) (RST) (VWX), což lze považovat za násobení čísel řádků u2. Podskupina 3.A6 je centralizátor z
- (AEI) (BFJ) (CGK) (DHL) (RTS) (VWX) (rotující první 3 sloupce)
- (AQ) (BS) (CT) (DR) (EU) (FX) (GV) (HW)
- (AUEIQ) (BXGKT) (CVHLR) (DWFJS) (produkt předchozích dvou)
- (FGH) (JLK) (MQU) (NRV) (OSW) (PTX) (otáčení posledních 3 sloupců).
Zvláštní permutace sloupců, řekněme (CD) (GH) (KL) (OP) (QU) (RV) (SX) (TW), pak generuje 3.S6.
Skupina 3.A6 je izomorfní s podskupinou SL (3,4), jejíž obraz v PSL (3,4) byl výše uveden jako skupina hyperoval.
Applet Moggie má funkci, která zobrazuje sextety barevně.
Podskupina trojice
Triáda je sada 3 bodů. Podskupina upevňující trojici je PSL (3,4): S3, objednejte 120960, s oběžnými dráhami velikosti 3 a 21.
Podskupina tria
Trio je sada 3 disjunktních oktáv Golayova kódu. Podskupinou, která opravuje trio, je trio group26: (PSL (2,7) x S3), objednávka 64512, tranzitivní a imprimitivní.
Podskupina projektivní linie
Podskupina upevňující projektivní liniovou strukturu na 24 bodech je PSL (2,23), objednávka 6072, jejíž akce je dvojnásobně tranzitivní. Tuto podskupinu pozoroval Mathieu.
Octern podskupina
Oktern je určitý oddíl 24 bodů do 8 bloků po 3. Podskupina upevňující oktern je okternová skupina isomorfní s PSL2(7), řádu 168, jednoduché, tranzitivní a imprimitivní, byla to poslední maximální podskupina M.24 být nalezen.
Hodiny konjugace
Existuje 26 tříd konjugace. Tvary cyklu jsou všechny vyvážené v tom smyslu, že při měnící se délce zůstávají neměnné k cykly na délku N/k cykly pro celé číslo N v závislosti na třídě konjugace.
Objednat | Počet prvků | Struktura cyklu | |
---|---|---|---|
1 = 1 | 1 | 124 | |
2 = 2 | 11385 = 32 · 5 · 11 · 23 | 1828 | |
31878 = 2 · 32 · 7 · 11 · 23 | 212 | ||
3 = 3 | 226688 = 27 · 7 · 11 · 23 | 1636 | |
485760 = 27 · 3 · 5 · 11 · 23 | 38 | ||
4 = 22 | 637560 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 | 2444 | |
1912680 = 23 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 | 142244 | ||
2550240 = 25 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 | 46 | ||
5 = 5 | 4080384 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 | 1454 | |
6 = 2 · 3 | 10200960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 | 12223262 | |
10200960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 | 64 | ||
7 = 7 | 5829120 = 29 · 32 · 5 · 11 · 23 | 1373 | výkonový ekvivalent |
5829120 = 29 · 32 · 5 · 11 · 23 | 1373 | ||
8 = 23 | 15301440 = 26 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 | 122·4·82 | |
10 = 2 · 5 | 12241152 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 | 22102 | |
11 = 11 | 22256640 = 210 · 33 · 5 · 7 · 23 | 12112 | |
12 = 22 · 3 | 20401920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 | 2 ·4·6·12 | |
20401920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 | 122 | ||
14 = 2 · 7 | 17487360 = 29 · 33 · 5 · 11 · 23 | 1·2·7·14 | výkonový ekvivalent |
17487360 = 29 · 33 · 5 · 11 · 23 | 1·2·7·14 | ||
15 = 3 · 5 | 16321536 = 210 · 32 · 7 · 11 · 23 | 1·3·5·15 | výkonový ekvivalent |
16321536 = 210 · 32 · 7 · 11 · 23 | 1·3·5·15 | ||
21 = 3 · 7 | 11658240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 23 | 3·21 | výkonový ekvivalent |
11658240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 23 | 3·21 | ||
23 = 23 | 10644480 = 210 · 33 · 5 · 7 · 11 | 1·23 | výkonový ekvivalent |
10644480 = 210 · 33 · 5 · 7 · 11 | 1·23 |
Reference
- ^ M24 ve společnosti Groupprops
- ^ A b C Richter, David. "Jak vytvořit skupinu Mathieu M24". David A. Richter, docent, polytopolog.
- Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65378-7
- Carmichael, Robert D. (1956) [1937], "Úvod do teorie skupin konečných řádů", Příroda, New York: Dover Publications, 78 (2028): 442–443, Bibcode:1908Natur..78..442G, doi:10.1038 / 078442a0, ISBN 978-0-486-60300-1, PAN 0075938
- Choi, C. (květen 1972a), „O podskupinách M.24. I: Stabilizátory podmnožin ", Transakce Americké matematické společnosti, 167: 1–27, doi:10.2307/1996123, JSTOR 1996123
- Choi, C. (květen 1972b). „V podskupinách M.24. II: Maximální podskupiny M.24". Transakce Americké matematické společnosti. 167: 29–47. doi:10.2307/1996124. JSTOR 1996124.
- Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, PAN 0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
- Conway, John Horton; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9, PAN 0827219
- Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), „Sphere Packings, Lattices and Groups“, Zeitschrift für KristallographieGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften (3. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, 290 (3–4): 286, Bibcode:1990ZK .... 191..286F, doi:10.1524 / zkri.1990.191.3-4.286, ISBN 978-0-387-98585-5, PAN 0920369
- Curtis, Robert T. (1976), „Nový kombinatorický přístup k M₂₄“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (1): 25–42, Bibcode:1976MPCPS..79 ... 25C, doi:10.1017 / S0305004100052075, ISSN 0305-0041, PAN 0399247
- Curtis, Robert T. (1977), „Maximální podskupiny M₂₄“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 81 (2): 185–192, Bibcode:1977MPCPS..81..185C, doi:10.1017 / S0305004100053251, ISSN 0305-0041, PAN 0439926
- Curtis, Robert T. (2007), Symetrické generování skupin, Encyclopedia of Mathematics, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85721-5
- Cuypers, Hansi, Mathieuovy skupiny a jejich geometrie (PDF)
- Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Permutační skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 163, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, PAN 1409812
- Frobenius, Ferdinand Georg (1904), „Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (v němčině), Königliche Akademie der Wissenschaften, Berlín, 16: 558–571, přetištěno ve svazku III jeho sebraných děl.
- Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62778-4, PAN 1707296
- Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
- Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 18: 25–46, JFM 05.0088.01[trvalý mrtvý odkaz ]
- Miller, G. A. (1898), „O předpokládané pětinásobné tranzitivní funkci 24 prvků a hodnot 19! / 48“, Posel matematiky, 27: 187–190
- Miller, G. A. (1900), "Sur plusieurs groupes simples", Bulletin de la Société Mathématique de France, 28: 266–267, doi:10,24033 / bsmf.635
- Ronan, Mark (2006), Symetrie a monstrum, Oxford, ISBN 978-0-19-280722-9 (úvod pro laického čtenáře, popisující skupiny Mathieu v historickém kontextu)
- Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-023-7, PAN 0749038
- Todd, J. A. (1966), „Zastoupení Mathieuovy skupiny M₂₄ jako kolineační skupiny“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Řada 4, 71: 199–238, doi:10.1007 / BF02413742, ISSN 0003-4622, PAN 0202854
- Witt, Ernst (1938a), „über Steinersche Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, doi:10.1007 / BF02948948, ISSN 0025-5858
- Witt, Ernst (1938b), „Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, doi:10.1007 / BF02948947
externí odkazy
- MathWorld: Mathieu Groups
- Atlas zastoupení konečných skupin: M24
- Richter, David A., Jak vytvořit skupinu Mathieu M24, vyvoláno 2010-04-15