Skupina Mathieu M11 - Mathieu group M11
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
![]() |
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Mathieu M11 je sporadická jednoduchá skupina z objednat
- 24 · 32 · 5 · 11 = 7920.
Historie a vlastnosti
M11 je jednou z 26 sporadických skupin a byla představena Mathieu (1861, 1873 ). Je to nejmenší sporadická skupina a spolu s dalšími čtyřmi skupinami Mathieu první objevenou. The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu jsou oba triviální.
M11 je ostře 4-tranzitivní permutační skupina na 11 objektech a lze je definovat nějakou sadou permutací, například dvojicí (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), (3,7,11,8) (4,10,5,6) permutací používaných Počítačový algebraický systém GAP.
Zastoupení
M11 má ostře 4-tranzitivní permutační zastoupení na 11 bodech, jehož bodový stabilizátor je někdy označován M10, a je nerozděleným rozšířením formy A6.2 (rozšíření skupiny řádu 2 o střídavou skupinu A6). Tato akce je skupina automorfismu a Steinerův systém S (4,5,11). Indukovaná akce na neuspořádané páry bodů dává a hodnost 3 akce na 55 bodů.
M11 má 3-tranzitivní permutační zastoupení na 12 bodech s bodovým stabilizátorem PSL2(11). Permutační reprezentace na 11 a 12 bodech lze vidět uvnitř Skupina Mathieu M12 jako dvě různá vložení M11 v M.12, vyměněné vnějším automorfismem.
Permutační zastoupení na 11 bodech poskytuje komplexní neredukovatelné zastoupení v 10 dimenzích. Toto je nejmenší možná dimenze věrné komplexní reprezentace, i když existují také další dvě takové reprezentace v 10 dimenzích, které tvoří komplexní konjugovaný pár.
M11 má dvě 5-dimenzionální neredukovatelné reprezentace nad polem se 3 prvky, související s omezeními 6-dimenzionálních reprezentací dvojitého krytu M12. Ty mají nejmenší rozměr ze všech věrných lineárních reprezentací M11 přes jakékoli pole.
Maximální podskupiny
Existuje 5 tříd konjugace maximálních podskupin o M11 jak následuje:
- M10, objednávka 720, jednobodový stabilizátor v zastoupení stupně 11
- PSL (2,11), objednávka 660, jednobodový stabilizátor v zastoupení stupně 12
- M9: 2, objednávka 144, stabilizátor přepážky 9 a 2.
- S5, objednejte 120, oběžné dráhy 5 a 6
- Stabilizátor bloku v systému Steiner S (4,5,11)
- Q: S3, objednejte 48, oběžné dráhy 8 a 3
- Centralizátor čtyřnásobné transpozice
- Izomorfní vůči GL (2,3).
Hodiny konjugace
Maximální pořadí libovolného prvku v M11 je 11. Struktury cyklu jsou zobrazeny pro reprezentace stupně 11 i 12.
Objednat | Počet prvků | Stupeň 11 | Stupeň 12 | |
---|---|---|---|---|
1 = 1 | 1 = 1 | 111· | 112· | |
2 = 2 | 165 = 3 · 5 · 11 | 13·24 | 14·24 | |
3 = 3 | 440 = 23 · 5 · 11 | 12·33 | 13·33 | |
4 = 22 | 990 = 2 · 32 · 5 · 11 | 13·42 | 22·42 | |
5 = 5 | 1584 = 24 · 32 · 11 | 1·52 | 12·52 | |
6 = 2 · 3 | 1320 = 23 · 3 · 5 · 11 | 2·3·6 | 1·2·3·6 | |
8 = 23 | 990 = 2 · 32 · 5 · 11 | 1·2·8 | 4·8 | výkonový ekvivalent |
990 = 2 · 32 · 5 · 11 | 1·2·8 | 4·8 | ||
11 = 11 | 720 = 24 · 32 · 5 | 11 | 1·11 | výkonový ekvivalent |
720 = 24 · 32 · 5 | 11 | 1·11 |
Reference
- Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65378-7
- Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Úvod do teorie grup konečného řádu, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60300-1, PAN 0075938
- Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, PAN 0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
- Conway, John Horton; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9, PAN 0827219
- Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, PAN 0920369
- Curtis, R. T. (1984), „Steinerův systém S (5, 6, 12), skupina Mathieu M₁₂ a„ kotě"", Atkinson, Michael D. (ed.), Teorie výpočetních grup. Sborník příspěvků ze sympozia London Mathematical Society konaného v Durhamu 30. července - 9. srpna 1982., Boston, MA: Akademický tisk, str. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8, PAN 0760669
- Cuypers, Hansi, Mathieuovy skupiny a jejich geometrie (PDF)
- Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Permutační skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 163, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, PAN 1409812
- Gill, Nick; Hughes, Sam (2019), „Tabulka znaků prudce 5-přechodné podskupiny střídavé skupiny stupně 12“, International Journal of Group Theory, doi:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
- Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, PAN 1707296
- Hughes, Sam (2018), Reprezentace a teorie znaků malých skupin Mathieu (PDF)
- Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
- Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 18: 25–46, JFM 05.0088.01[trvalý mrtvý odkaz ]
- Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-023-7, PAN 0749038
- Witt, Ernst (1938a), „über Steinersche Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, doi:10.1007 / BF02948948, ISSN 0025-5858
- Witt, Ernst (1938b), „Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, doi:10.1007 / BF02948947