Conway skupina Co3 - Conway group Co3

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Conway ${ displaystyle mathrm {Co} _ {3}}$ je sporadická jednoduchá skupina z objednat

   2¹⁰ · 3⁷ · 5³ · 7 · 11 · 23

= 495766656000

≈ 5×10¹¹.

Historie a vlastnosti

${ displaystyle mathrm {Co} _ {3}}$ je jednou z 26 sporadických skupin a byla objevena John Horton Conway  (1968, 1969 ) jako skupina automorfismů z Mřížka pijavice ${ displaystyle Lambda}$ upevnění mřížového vektoru typu 3, tedy délky √6. Jedná se tedy o podskupinu ${ displaystyle mathrm {Co} _ {0}}$. Je izomorfní s podskupinou ${ displaystyle mathrm {Co} _ {1}}$. Přímý produkt ${ displaystyle 2 times mathrm {Co} _ {3}}$ je maximální v ${ displaystyle mathrm {Co} _ {0}}$.

The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu jsou oba triviální.

Zastoupení

Spol₃ působí na jedinečnou 23dimenzionální sudou mřížku determinantu 4 bez kořenů, danou ortogonální doplněk vektoru normy 4 mřížky Leech. To poskytuje 23rozměrné reprezentace nad jakýmkoli polem; na polích charakteristiky 2 nebo 3 to lze snížit na 22-dimenzionální věrné zobrazení.

Spol₃ má dvojnásobný tranzit permutační reprezentace na 276 bodech.

(txt ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFtxt (Pomoc) ukázal, že pokud konečná skupina má absolutně neredukovatelné věrné racionální zastoupení dimenze 23 a nemá žádné podskupiny indexu 23 nebo 24, pak je obsažena ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} times mathrm {Co} _ {2}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} times mathrm {Co} _ {3}}$.

Maximální podskupiny

Některé maximální podskupiny fixují nebo odrážejí 2rozměrné sublattiky mřížky Leech. Je obvyklé definovat tyto roviny h-k-l trojúhelníky: trojúhelníky zahrnující počátek jako vrchol, přičemž hrany (rozdíly vrcholů) jsou vektory typů h, k, a l.

Larry Finkelstein (1973 ) našel 14 tříd konjugace maximálních podskupin z ${ displaystyle mathrm {Co} _ {3}}$ jak následuje:

• McL: 2 - McL opravuje trojúhelník 2-2-3. Maximální podskupina také zahrnuje odrazy trojúhelníku. ${ displaystyle mathrm {Co} _ {3}}$ má dvojnásobně tranzitivní permutační zastoupení na 276 trojúhelnících typu 2-2-3, které mají jako okraj vektor typu 3 fixovaný pomocí ${ displaystyle mathrm {Co} _ {3}}$.
• HS - opravuje trojúhelník 2-3-3.
• U₄(3).2²
• M₂₃ - opravuje trojúhelník 2-3-4.
• 3⁵:(2 × M₁₁ ) - opraví nebo odráží trojúhelník 3-3-3.
• 2. Sp₆(2) - centralizátor involuční třídy 2A (stopa 8), který přesouvá 240 z 276 trojúhelníků typu 2-2-3
• U₃(5): S.₃
• 3¹⁺⁴: 4S₆
• 2⁴.A₈
• PSL (3,4) :( 2 × S.₃)
• 2 × M₁₂ - centralizátor involuční třídy 2B (stopa 0), který přesouvá 264 z 276 trojúhelníků typu 2-2-3
• [2¹⁰.3³]
• S₃ × PSL (2,8): 3 - normalizátor 3 podskupiny generované prvkem třídy 3C (stopa 0)
• A₄ × S.₅

Hodiny konjugace

Stopy matic ve standardní 24rozměrné reprezentaci Co₃ jsou ukázány.^[1] Názvy tříd konjugace jsou převzaty z Atlasu reprezentací konečných skupin.^[2][3]Uvedené struktury cyklu působí na 276 trojúhelníků 2-2-3, které sdílejí pevnou stranu typu 3.^[4]

Zobecněný monstrózní měsíční svit

Analogicky k monstrózní měsíční svit pro monstrum M, pro Spol₃, příslušná řada McKay-Thompson je ${ displaystyle T_ {4A} ( tau)}$ kde lze nastavit konstantní člen a (0) = 24 (OEIS: A097340),

${ displaystyle { begin {aligned} j_ {4A} ( tau) & = T_ {4A} ( tau) +24 & = { Big (} { tfrac { eta ^ {2} (2 tau)} { eta ( tau) , eta (4 tau)}} { Big)} ^ {24} & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (4 tau)}} { big)} ^ {4} + 4 ^ {2} { big (} { tfrac { eta (4 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {4} { Big)} ^ {2} & = { frac {1} {q}} + 24 + 276q + 2048q ^ {2} + 11202q ^ {3} + 49152q ^ {4} + dots end {zarovnáno}}}$

a η(τ) je Funkce Dedekind eta.

Reference

• Conway, John Horton (1968), „Perfektní skupina řádu 8 315 553 613 086 720 000 a sporadické jednoduché skupiny“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 61 (2): 398–400, doi:10.1073 / pnas.61.2.398, PAN  0237634, PMC  225171, PMID  16591697
• Conway, John Horton (1969), „Skupina objednávek 8 315 553 613 086 720 000“, Bulletin London Mathematical Society, 1: 79–88, doi:10.1112 / blms / 1.1.79, ISSN  0024-6093, PAN  0248216
• Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, PAN  0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
• Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, PAN  0920369
• No tak, Waltere (1974), „O integrálních reprezentacích konečných skupin“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 29: 633–683, doi:10,1112 / plms / s3-29,4,633, ISSN  0024-6115, PAN  0374248
• Finkelstein, Larry (1973), „Maximální podskupiny Conwayovy skupiny C₃ a McLaughlinovy ​​skupiny“, Journal of Algebra, 25: 58–89, doi:10.1016/0021-8693(73)90075-6, ISSN  0021-8693, PAN  0346046
• Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN  978-0-88385-023-7, PAN  0749038
• Conway, John Horton; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, PAN  0827219
• Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, PAN  1707296
• Wilson, Robert A. (2009), Konečné jednoduché skupiny., Graduate Texts in Mathematics 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

externí odkazy

• MathWorld: Conway Groups
• Atlas zastoupení konečných skupin: Co₃ verze 2
• Atlas zastoupení konečných skupin: Co₃ verze 3