Emanuel Lodewijk Elte - Emanuel Lodewijk Elte

Emanuel Lodewijk Elte (16 března 1881 v Amsterdam - 9. dubna 1943 v Sobibór )^[1] byl holandský matematik. On je známý pro objevování a klasifikaci semiregular polytopes v rozměrech čtyři a vyšší.

Eltein otec Hartog Elte byl ředitelem školy v Amsterdamu. Emanuel Elte se oženil s Rebeccou Stork v roce 1912 v Amsterdamu, když byl učitelem na střední škole v tomto městě. V roce 1943 žila rodina Haarlem. Když byl 30. ledna téhož roku v tomto městě zastřelen německý důstojník, byla jako odveta transportována stovka obyvatel Haarlemu do Camp Vught, včetně Elte a jeho rodiny. Jako Židé byli s manželkou dále deportováni do Sobiboru, kde oba zemřeli, zatímco jeho dvě děti zemřely v Osvětim.^[1]

Elteho půlruhé polytopy prvního druhu

Jeho práce znovuobjevila konečnost semiregular polytopes z Thorold Gosset, a dále umožňuje nejen pravidelné fazety, ale rekurzivně také umožňuje jeden nebo dva semiregulární. Ty byly vyjmenovány v jeho knize z roku 1912, Semiregular Polytopes of the Hyperpaces.^[2] Zavolal jim semiregular polytopes prvního druhu, což omezuje jeho vyhledávání na jeden nebo dva typy pravidelných nebo semiregulárních k- tváře. Tyto polytopy a další byly znovuobjeveny Coxeter a přejmenován na součást větší třídy jednotné polytopy.^[3] V procesu objevil všechny hlavní představitele výjimečné E._n rodina polytopů, pouze uložit 1₄₂ což nesplňovalo jeho definici semiregularity.

Shrnutí semiregulárních polytopů prvního druhu^[4]

n	Elte notace	Vrcholy	Hrany	Tváře	Buňky	Fazety	Schläfli symbol	Coxeter symbol	Coxeter diagram
Mnohostěn (Archimédovy pevné látky )
3	tT	12	18	4p3+ 4 b6			t {3,3}
	tC	24	36	6p8+ 8p3			t {4,3}
	na	24	36	6p4+ 8p6			t {3,4}
	tD	60	90	20p3+ 12p10			t {5,3}
	tI	60	90	20p6+ 12p5			t {3,5}
	TT = O.	6	12	(4 + 4) str3			r {3,3} = {31,1}	011
	CO	12	24	6p4+ 8p3			r {3,4}
	ID	30	60	20p3+ 12p5			r {3,5}
	Pq	2q	4q	2 sq+ qp4			t {2, q}
	APq	2q	4q	2 sq+ 2 qp3			s {2,2q}
semiregulární 4-polytopes
4	tC5	10	30	(10 + 20) s3	5O + 5T		r {3,3,3} = {32,1}	021
	tC8	32	96	64p3+ 24p4	8CO + 16T		r {4,3,3}
	tC16= C.24(*)	48	96	96p3	(16 + 8) O.		r {3,3,4}
	tC24	96	288	96p3 + 144p4	24CO + 24C		r {3,4,3}
	tC600	720	3600	(1200 + 2400)p3	600 O + 120Já		r {3,3,5}
	tC120	1200	3600	2400p3 + 720p5	120ID + 600T		r {5,3,3}
	HM4 = C.16(*)	8	24	32p3	(8 + 8) T		{3,31,1}	111
	–	30	60	20p3 + 20p6	(5 + 5)tT		2t{3,3,3}
	–	288	576	192p3 + 144p8	(24 + 24)tC		2t{3,4,3}
	–	20	60	40p3 + 30p4	10T + 20P3		t0,3{3,3,3}
	–	144	576	384p3 + 288p4	48O + 192P3		t0,3{3,4,3}
	–	q2	2q2	q2p4 + 2qpq	(q + q)Pq		2t {q,2,q}
semiregulární 5-polytopes
5	S51	15	60	(20 + 60) s3	30T + 15O	6C5+ 6 tC5	r {3,3,3,3} = {33,1}	031
	S52	20	90	120p3	30T + 30O	(6 + 6) C.5	2r {3,3,3,3} = {32,2}	022
	HM5	16	80	160 s3	(80 + 40) T	16C5+ 10 ° C16	{3,32,1}	121
	Cr51	40	240	(80 + 320) s3	160T + 80O	32tC5+ 10 ° C16	r {3,3,3,4}
	Cr52	80	480	(320 + 320) s3	80T + 200O	32tC5+ 10 ° C24	2r {3,3,3,4}
semiregulární 6-polytopes
6	S61 (*)						r {35} = {34,1}	041
	S62 (*)						2r {35} = {33,2}	032
	HM6	32	240	640p3	(160 + 480) T	32S5+ 12HM5	{3,33,1}	131
	PROTI27	27	216	720p3	1080T	72S5+ 27HM5	{3,3,32,1}	221
	PROTI72	72	720	2160p3	2160T	(27 + 27) HM6	{3,32,2}	122
semiregulární 7-polytopes
7	S71 (*)						r {36} = {35,1}	051
	S72 (*)						2r {36} = {34,2}	042
	S73 (*)						3r {36} = {33,3}	033
	HM7(*)	64	672	2240p3	(560 + 2240) T	64S6+ 14HM6	{3,34,1}	141
	PROTI56	56	756	4032p3	10080T	576S6+ 126Cr6	{3,3,3,32,1}	321
	PROTI126	126	2016	10080p3	20160T	576S6+ 56 V27	{3,3,33,1}	231
	PROTI576	576	10080	40320p3	(30240 + 20160) T	126HM6+ 56 V72	{3,33,2}	132
semiregulární 8-polytopes
8	S81 (*)						r {37} = {36,1}	061
	S82 (*)						2r {37} = {35,2}	052
	S83 (*)						3r {37} = {34,3}	043
	HM8(*)	128	1792	7168p3	(1792 + 8960) T	128S7+ 16HM7	{3,35,1}	151
	PROTI2160	2160	69120	483840p3	1209600T	17280S7+ 240 V126	{3,3,34,1}	241
	PROTI240	240	6720	60480p3	241920T	17280S7+ 2160 Kč7	{3,3,3,3,32,1}	421

(*) Přidáno do této tabulky jako sekvence, kterou Elte rozpoznala, ale výslovně nevyčíslila

Pravidelné dimenzionální rodiny:

• S_n = n-simplexní: S₃, S₄, S₅, S₆, S₇, S₈, ...
• M_n = n-krychle = změřit mnohostěn: M₃, M₄, M₅, M₆, M₇, M₈, ...
• HM_n = n-demicube = poloviční rozměr polytopu: HM₃, HM₄, M₅, M₆, HM₇, HM₈, ...
• Cr_n = n-orthoplex = křížový mnohostěn: Cr₃, Cr₄, Cr₅, Cr₆, Cr₇, Cr₈, ...

Semiregular polytopes prvního řádu:

• PROTI_n = semiregular polytop with n vrcholy

Mnohoúhelníky

• P_n = pravidelný n-gon

Mnohostěn:

• Pravidelný: T, C, Ó, Já, D
• Zkrácené: tT, tC, na, tI, tD
• Quasiregular (opraveno): CO, ID
• Cantellated: RCO, ZBAVIT
• Zkrácený kvaziregulát (všudypřítomný ): tCO, tID
• Hranolové: P_n, AP_n

4-polytopes:

• C_n = Pravidelné 4-polytopes s n buňky: C₅, C₈, C₁₆, C₂₄, C₁₂₀, C₆₀₀
• Opraveno: tC₅, tC₈, tC₁₆, tC₂₄, tC₁₂₀, tC₆₀₀

Viz také

• Figurky Gosset – Elte

Poznámky