Hill čtyřstěn - Hill tetrahedron

v geometrie, Hill čtyřstěn jsou rodina vyplňování prostoru čtyřstěn. Byly objeveny v roce 1896 M. J. M. Hill, profesor matematika na University College v Londýně, kteří ukázali, že jsou nůžkový shodný do a krychle.

Konstrukce

Pro každého ${ displaystyle alpha in (0,2 pi / 3)}$ , nechť ${ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, v_ {3} in mathbb {R} ^ {3}}$ být tři jednotkové vektory s úhlem ${ displaystyle alpha}$ mezi každým dvěma z nich. Definujte Hill čtyřstěn ${ displaystyle Q ( alpha)}$ jak následuje:

{ displaystyle Q ( alpha) , = , {c_ {1} v_ {1} + c_ {2} v_ {2} + c_ {3} v_ {3} střední 0 leq c_ {1} leq c_ {2} leq c_ {3} leq 1 }.}

Zvláštní případ ${ displaystyle Q = Q ( pi / 2)}$ je čtyřstěn, který má ze všech stran pravé trojúhelníky, dva se stranami ${ displaystyle (1,1, { sqrt {2}})}$ a dva se stranami ${ displaystyle (1, { sqrt {2}}, { sqrt {3}})}$ . Ludwig Schläfli studoval ${ displaystyle Q}$ jako zvláštní případ orthoscheme, a H. S. M. Coxeter nazval to charakteristický čtyřstěn kubického vyplňování prostoru.

Vlastnosti

Kostka může být obložena šesti kopiemi ${ displaystyle Q}$ .
Každý ${ displaystyle Q ( alpha)}$ může být členitý do tří polytopů, které lze znovu sestavit do a hranol.

Zobecnění

V roce 1951 Hugo Hadwiger našel následující n-dimenzionální zobecnění Hill čtyřstěnů:

{ displaystyle Q (w) , = , {c_ {1} v_ {1} + cdots + c_ {n} v_ {n} mid 0 leq c_ {1} leq cdots leq c_ {n} leq 1 },}

kde vektory ${ displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {n}}$ uspokojit ${ displaystyle (v_ {i}, v_ {j}) = w}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq já$ , a kde ${ displaystyle -1 / (n-1)$ . Hadwiger to všechno ukázal jednoduchosti jsou nůžkové v souladu s a hyperkrychle.

Viz také

Schläfli orthoscheme

Reference

M. J. M. Hill, Stanovení objemů určitých druhů čtyřstěnů bez použití metody limitů, Proc. London Math. Soc., 27 (1895–1896), 39–53.
H. Hadwiger, Hypertetraeder Hillsche, Gazeta Matemática (Lisabon), 12 (č. 50, 1951), 47–48.
H.S.M. Coxeter, Vlysové vzory, Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), č. 1 1–2, 68–77.
Greg N. Frederickson, Pitvy: Letadlo a fantazie, Cambridge University Press, 2003.
N.J.A. Sloane, V.A. Vaishampayan, Zevšeobecnění Schobiho čtyřboké pitvy, arXiv:0710.3857.