Hypersimplex - Hypersimplex

Standardní hypersimplexy v R³
(3,1) Nadrovina: X + y + z = 1	(3,2) Nadrovina: X + y + z = 2

v polyedrická kombinatorika, a hypersimplex, Δ_d,k, je konvexní mnohostěn který zobecňuje simplexní. Je určen dvěma parametry d a k, a je definován jako konvexní obal z d-dimenzionální vektory jehož koeficienty se skládají z k ty a d − k nuly. Tvoří (d - 1) -dimenzionální mnohostěn, protože všechny tyto vektory leží v jednom (d - 1) -dimenzionální nadrovina.^[1]

Vlastnosti

Počet vrcholů v Δ_d,k je ${ displaystyle { tbinom {d} {k}}}$ .^[1]

Graf tvořený vrcholy a hranami hypersimplexu Δ_d,k je Johnsonův graf J(d,k).^[2]

Alternativní konstrukce

Alternativní konstrukce (pro k ≤ d/ 2) je vzít konvexní trup všech (d - 1) -dimenzionální (0,1) -vektory, které mají buď (k - 1) nebo k nenulové souřadnice. To má tu výhodu, že pracujeme v prostoru, který má stejnou dimenzi jako výsledný polytop, ale nevýhoda, že polytop, který vytváří, je méně symetrický (i když kombinatoricky ekvivalentní výsledku jiné konstrukce).

Hyperimplex Δ_d,k je také matroidní polytop pro jednotný matroid s d prvky a pořadí k.^[3]

Příklady

Hyperimplex s parametry (d, 1) je (d - 1) -simplex, s d vrcholy. Hyperimplex s parametry (4,2) je osmistěn, a hypersimplex s parametry (5,2) je a rektifikovaný 5článkový.

Obecně platí, že každý (k,d) -hypersimplex, Δ_d,k, odpovídá a jednotný polytop, je (k − 1)-opraveno (d - 1) -simplex, s vrcholy umístěnými ve středech všech (k - 1) - povrchové prvky (d - 1) -simplex.

Příklady (d = 3 ... 6)
název	Rovnostranný trojúhelník	Čtyřstěn (3-simplexní)	Octahedron	5článková (4-simplexní)	Opraveno 5článková	5-simplexní	Opraveno 5-simplexní	Usměrněný 5-simplexní
Δ_d,k = (d,k) = (d,d − k)	(3,1) (3,2)	(4,1) (4,3)	(4,2)	(5,1) (5,4)	(5,2) (5,3)	(6,1) (6,5)	(6,2) (6,4)	(6,3)
Vrcholy ${ displaystyle { tbinom {d} {k}}}$	3	4	6	5	10	6	15	20
d-souřadnice	(0,0,1) (0,1,1)	(0,0,0,1) (0,1,1,1)	(0,0,1,1)	(0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1)	(0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1)	(0,0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1,1)	(0,0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1,1)	(0,0,0,1,1,1)
obraz
Grafy	J(3,1) = K.₂	J(4,1) = K.₃	J(4,2) = T (6,3)	J(5,1) = K.₄	J(5,2)	J(6,1) = K.₅	J(6,2)	J(6,3)
Coxeter diagramy
Schläfli symboly	{3} = r{3}	{3,3} = 2r{3,3}	r {3,3} = {3,4}	{3,3,3} = 3r{3,3,3}	r{3,3,3} = 2r{3,3,3}	{3,3,3,3} = 4r{3,3,3,3}	r{3,3,3,3} = 3r{3,3,3,3}	2r{3,3,3,3}
Fazety	{ }	{3}		{3,3}	{3,3}, {3,4}	{3,3,3}	{3,3,3}, r{3,3,3}	r{3,3,3}

Dějiny

Hyperimplikace byly nejprve studovány a pojmenovány při výpočtu charakteristické třídy (důležité téma v algebraická topologie ) tím, že Gabrièlov, Gelʹfand & Losik (1975).^[4]^[5]

Reference

^ ^A ^b Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd, Geometrická kombinatorika, Matematická řada IAS / Park City, 13, American Mathematical Society, str. 655, ISBN 9780821886953.
^ Rispoli, Fred J. (2008), Graf hypersimplexu, arXiv:0811.2981, Bibcode:2008arXiv0811.2981R.
^ Grötschel, Martin (2004), „Kardinalita homogenních množinových systémů, cykly v matroidech a souvisejících polytopech“, Nejostřejší střih: Dopad Manfreda Padberga a jeho práce, MPS / SIAM Ser. Optim., SIAM, Philadelphia, PA, str. 99–120, PAN 2077557. Viz zejména poznámky následující po Příloze 8.20 p. 114.
^ Gabrièlov, A. M .; Gelʹfand, I. M.; Losik, M. V. (1975), "Kombinatorický výpočet charakteristických tříd. I, II", Akademija Nauk SSSR, 9 (2): 12–28, tamtéž. 9 (1975), č. 1 3, 5–26, PAN 0410758.
^ Ziegler, Günter M. (1995), Přednášky na Polytopech, Postgraduální texty z matematiky, 152, Springer-Verlag, New York, s. 20, doi:10.1007/978-1-4613-8431-1, ISBN 0-387-94365-X, PAN 1311028.

Další čtení

Hibi, Takayuki; Solus, Liam (2014), Fazety r-stabilní n,k-hypersimplex, arXiv:1408.5932, Bibcode:2014arXiv1408,5932H.

[gc-1] A ^b Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd, Geometrická kombinatorika, Matematická řada IAS / Park City, 13, American Mathematical Society, str. 655, ISBN 9780821886953.

[2] Rispoli, Fred J. (2008), Graf hypersimplexu, arXiv:0811.2981, Bibcode:2008arXiv0811.2981R.

[3] Grötschel, Martin (2004), „Kardinalita homogenních množinových systémů, cykly v matroidech a souvisejících polytopech“, Nejostřejší střih: Dopad Manfreda Padberga a jeho práce, MPS / SIAM Ser. Optim., SIAM, Philadelphia, PA, str. 99–120, PAN 2077557. Viz zejména poznámky následující po Příloze 8.20 p. 114.

[4] Gabrièlov, A. M .; Gelʹfand, I. M.; Losik, M. V. (1975), "Kombinatorický výpočet charakteristických tříd. I, II", Akademija Nauk SSSR, 9 (2): 12–28, tamtéž. 9 (1975), č. 1 3, 5–26, PAN 0410758.

[5] Ziegler, Günter M. (1995), Přednášky na Polytopech, Postgraduální texty z matematiky, 152, Springer-Verlag, New York, s. 20, doi:10.1007/978-1-4613-8431-1, ISBN 0-387-94365-X, PAN 1311028.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]