Osmimenzionální prostor - Eight-dimensional space

v matematika posloupnost n reálná čísla lze chápat jako umístění v n-dimenzionální prostor. Když n = 8, je volána množina všech takových lokací 8-dimenzionální prostor. Často jsou tyto prostory studovány jako vektorové prostory, bez jakékoli představy o vzdálenosti. Osmimenzionální Euklidovský prostor je osmrozměrný prostor vybavený Euklidovská metrika.

Obecněji se tento termín může vztahovat na osmrozměrný vektorový prostor nad jakýmkoli pole, například osmidimenzionální komplex vektorový prostor, který má 16 skutečných rozměrů. Může také odkazovat na osmrozměrný potrubí jako je 8-koule nebo řadu dalších geometrických konstrukcí.

Geometrie

8-mnohostěn

A polytop v osmi rozměrech se nazývá 8-mnohostěn. Nejvíce studované jsou běžné polytopy, z nichž jsou pouze tři v osmi rozměrech: 8-simplexní, 8 kostek, a 8-orthoplex. Širší rodina je jednotné 8-polytopes, konstruované ze základních odrazových domén symetrie, každá doména je definována a Skupina coxeterů. Každý jednotný mnohostěn je definován prstencem Coxeter-Dynkinův diagram. The 8-demicube je jedinečný polytop z D₈ rodina a 4₂₁, 2₄₁, a 1₄₂ polytopy z E.₈ rodina.

Pravidelné a jednotné polytopy v osmi rozměrech
(Zobrazuje se jako ortogonální projekce v každém Coxeterovo letadlo symetrie)

A8			B8						D8
8-simplexní {3,3,3,3,3,3,3}			8 kostek {4,3,3,3,3,3,3}			8-orthoplex {3,3,3,3,3,3,4}			8-demicube h {4,3,3,3,3,3,3}
E8
421 {3,3,3,3,32,1}				241 {3,3,34,1}				142 {3,34,2}

7-koule

The 7-koule nebo hypersféra v osmi rozměrech je sedmrozměrný povrch ve stejné vzdálenosti od bodu, např. původ. Má symbol S⁷, s formální definicí pro 7 koulí s poloměrem r z

${ displaystyle S ^ {7} = left {x in mathbb {R} ^ {8}: | x | = r right }.}$

Objem prostoru ohraničeného touto 7 sférou je

${ displaystyle V_ {8} , = { frac { pi ^ {4}} {24}} , R ^ {8}}$

což je 4,05871 × r⁸nebo 0,01585 z 8 kostek který obsahuje 7 koulí.

Problém s líbáním čísla

The líbání číslo problém byl vyřešen v osmi rozměrech díky existenci 4₂₁ polytop a související mříž. Číslo líbání v osmi rozměrech je 240.

Octonions

Octoniony jsou a normovaná dělení algebra přes reálná čísla, největší taková algebra. Matematicky je lze specifikovat 8-ticemi reálných čísel, takže tvoří 8dimenzionální vektorový prostor nad reálemi, přičemž sčítání vektorů je sčítáním v algebře. Normovaná algebra je produkt s uspokojivým produktem

${ displaystyle | xy | leq | x | | y |}$

pro všechny X a y v algebře. Normovaný divize algebra navíc musí být konečně-dimenzionální a mít vlastnost, že každý nenulový vektor má jedinečnou multiplikativní inverzi. Hurwitzova věta zakazuje existenci takové struktury v jiných rozměrech než 1, 2, 4 nebo 8.

Biquaternions

Složité čtveřice ${ displaystyle mathbb {C} další mathbb {H}}$nebobiquaternions „jsou osmrozměrná algebra datovaná do William Rowan Hamilton práce v padesátých letech 19. století. Tato algebra je ekvivalentní (tj. izomorfní ) do Cliffordova algebra ${ displaystyle C ell _ {2} ( mathbb {C})}$ a Pauli algebra. Rovněž byl navržen jako praktický nebo pedagogický nástroj pro provádění výpočtů v systému Windows speciální relativita, a v tomto kontextu jde o jméno Algebra fyzického prostoru (nezaměňovat s Časoprostorová algebra, což je 16-dimenzionální.)

Reference

• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 Wiley :: Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter
  • (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Tabulka nejvyšších známých čísel líbání vedené Gabriele Nebe a Neil Sloane (dolní hranice)
• Conway, John Horton; Smith, Derek A. (2003), O čtveřicích a oktonionech: jejich geometrie, aritmetika a symetrie, A. K. Peters, Ltd., ISBN  1-56881-134-9. (Posouzení ).
• Duplij, Steven; Siegel, Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Stručná encyklopedie supersymetrie a nekomutativních struktur v matematice a fyzice, Berlín, New York: Springer, ISBN  978-1-4020-1338-6 (Druhý tisk)