Polynomiální a racionální modelování funkcí - Polynomial and rational function modeling

v statistické modelování (zvláště modelování procesů ), polynomiální funkce a racionální funkce se někdy používají jako empirická technika pro přizpůsobení křivky.

Polynomiální funkční modely

A polynomiální funkce je ten, který má formu

${displaystyle y = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} }$

kde n je nezáporný celé číslo který definuje stupeň polynomu. Polynom se stupněm 0 je jednoduše a konstantní funkce; se stupněm 1 je a čára; se stupněm 2 je a kvadratický; se stupněm 3 je a krychlový, a tak dále.

Historicky patří polynomiální modely k nejčastěji používaným empirickým modelům pro přizpůsobení křivky.

Výhody

Tyto modely jsou oblíbené z následujících důvodů.

1. Polynomiální modely mají jednoduchou formu.
2. Polynomiální modely mají dobře známé a srozumitelné vlastnosti.
3. Polynomiální modely mají střední flexibilitu tvarů.
4. Polynomiální modely jsou uzavřená rodina. Změny umístění a měřítko výsledkem nezpracovaných dat je polynomiální model mapovaný na polynomický model. To znamená, že polynomiální modely nejsou závislé na podkladovém metrický.
5. Polynomiální modely se výpočetně snadno používají.

Nevýhody

Polynomiální modely však mají také následující omezení.

1. Polynomiální modely jsou špatné interpolační vlastnosti. Polynomy vysokého stupně jsou notoricky známé oscilace mezi hodnotami přesného přizpůsobení.
2. Polynomiální modely jsou špatné extrapolační vlastnosti. Polynomy mohou poskytovat dobrou shodu v rozsahu dat, ale mimo rozsah dat se často rychle zhorší.
3. Polynomiální modely jsou špatné asymptotické vlastnosti. Polynomy mají ze své podstaty konečnou odezvu na konečnou X hodnoty a mají nekonečnou odezvu, právě když X hodnota je nekonečná. Polynomy tedy nemusí velmi dobře modelovat asymptotické jevy.
4. I když žádný postup není imunní vůči zaujatost -rozptyl kompromis, polynomiální modely vykazují obzvláště špatný kompromis mezi tvarem a stupněm. Aby bylo možné modelovat data se složitou strukturou, musí být stupeň modelu vysoký, což naznačuje, že přidružený počet parametry být odhadovaný bude také vysoká. To může vést k vysoce nestabilním modelům.

Pokud je modelování pomocí polynomiálních funkcí nedostatečné z důvodu některého z výše uvedených omezení, může použití racionálních funkcí pro modelování lépe vyhovovat.

Racionální funkční modely

A racionální funkce je jednoduše poměr dvou polynomiálních funkcí.

${displaystyle y = {frac {a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + ldots + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0}} {b_ {m} x ^ {m} + b_ {m-1} x ^ {m-1} + ldots + b_ {2} x ^ {2} + b_ {1} x + b_ {0 }}}}$

s n označující nezáporné celé číslo, které definuje stupeň čitatele a m označující nezáporné celé číslo, které definuje stupeň jmenovatele. Pro přizpůsobení modelů racionálních funkcí je konstantní člen ve jmenovateli obvykle nastaven na 1. Racionální funkce jsou obvykle identifikovány podle stupňů čitatele a jmenovatele. Například kvadratická pro čitatele a kubická pro jmenovatele je identifikována jako kvadratická / kubická racionální funkce. Racionální funkční model je zobecněním polynomiálního modelu: racionální funkční modely obsahují polynomiální modely jako podmnožinu (tj. Případ, kdy je jmenovatelem konstanta).

Výhody

Racionální funkční modely mají následující výhody:

1. Racionální funkční modely mají středně jednoduchou formu.
2. Racionální funkční modely jsou uzavřená rodina. Stejně jako u polynomiálních modelů to znamená, že modely racionálních funkcí nejsou závislé na základní metrice.
3. Modely racionálních funkcí mohou nabývat extrémně široké škály tvarů a pojmout mnohem širší škálu tvarů než rodina polynomů.
4. Modely racionálních funkcí mají lepší interpolační vlastnosti než polynomiální modely. Racionální funkce jsou obvykle hladší a méně oscilační než polynomiální modely.
5. Racionální funkce mají vynikající extrapolační schopnosti. Racionální funkce lze obvykle přizpůsobit tak, aby modelovaly funkci nejen v rámci oblasti dat, ale také tak, aby byla v souladu s teoretickým / asymptotickým chováním mimo sledovanou doménu.
6. Racionální funkční modely mají vynikající asymptotické vlastnosti. Racionální funkce mohou být buď konečné nebo nekonečné pro konečné hodnoty, nebo konečné nebo nekonečné pro nekonečné X hodnoty. Racionální funkce lze tedy snadno začlenit do modelu racionálních funkcí.
7. Racionální funkční modely lze často použít k modelování komplikované struktury s poměrně nízkou mírou v čitateli i jmenovateli. To zase znamená, že ve srovnání s polynomiálním modelem bude zapotřebí méně koeficientů.
8. S modely racionálních funkcí je výpočetní manipulace středně snadná. I když jsou nelineární modely, modely racionálních funkcí jsou obzvláště snadno použitelné nelineární modely.
9. Jednou z běžných potíží s přizpůsobením nelineárních modelů je nalezení adekvátních počátečních hodnot. Hlavní výhodou racionálních funkčních modelů je schopnost vypočítat počáteční hodnoty pomocí a lineární nejmenší čtverce vejít se. Udělat toto, p body jsou vybrány ze souboru dat s p označující počet parametrů v racionálním modelu. Například vzhledem k lineárnímu / kvadratickému modelu

${displaystyle y = {frac {A_ {0} + A_ {1} x} {1 + B_ {1} x + B_ {2} x ^ {2}}},}$

jeden by musel vybrat čtyři reprezentativní body a provést lineární uložení na modelu

${displaystyle y = A_ {0} + A_ {1} x-B_ {1} xy-B_ {2} x ^ {2} y,}$

který je odvozen z předchozí rovnice vymazáním jmenovatele. Tady je X a y obsahují podmnožinu bodů, nikoli úplnou sadu dat. Odhadované koeficienty z tohoto lineárního přizpůsobení se používají jako výchozí hodnoty pro přizpůsobení nelineárního modelu celé sadě dat.

Tento typ přizpůsobení, s proměnnou odezvy zobrazenou na obou stranách funkce, by měl být použit pouze k získání počátečních hodnot pro nelineární přizpůsobení. Statistické vlastnosti podobných záchvatů nejsou dobře známy.

Podmnožina bodů by měla být vybrána v rozsahu dat. Není rozhodující, které body jsou vybrány, ačkoli je třeba se vyhnout zjevným odlehlým hodnotám.

Nevýhody

Racionální funkční modely mají následující nevýhody:

1. Vlastnosti rodiny racionálních funkcí nejsou tak dobře známé inženýrům a vědcům, jako vlastnosti rodiny polynomů. Literatura o rodině racionálních funkcí je také omezenější. Protože vlastnosti rodiny často nejsou dobře pochopeny, může být obtížné odpovědět na následující otázku modelování: Vzhledem k tomu, že data mají určitý tvar, jaké hodnoty je třeba zvolit pro stupeň čitatele a stupeň pro jmenovatele?
2. Neomezené přizpůsobení racionálních funkcí může někdy vést k nežádoucí vertikální poloze asymptoty kvůli kořenům v polynomu jmenovatele. Rozsah X hodnoty ovlivněné funkcí „vyhodit do vzduchu“ mohou být docela úzké, ale takové asymptoty, když se vyskytnou, jsou obtěžováním pro lokální interpolaci v sousedství asymptotického bodu. Tyto asymptoty lze snadno detekovat jednoduchým vykreslením přizpůsobené funkce v rozsahu dat. Tyto obtěžující asymptoty se vyskytují příležitostně a nepředvídatelně, ale odborníci tvrdí, že zvýšení flexibility tvarů stojí za tu šanci, že k nim může dojít, a že takové asymptoty by neměly odrazovat od výběru modelů racionálních funkcí pro empirické modelování.

Viz také

• Metodika povrchu odezvy

Bibliografie

• Atkinson, A. C. a Donev, A. N. a Tobias, R. D. (2007). Optimální experimentální návrhy se SAS. Oxford University Press. 511 + xvi. ISBN  978-0-19-929660-6.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Box, G. E. P. a Draper, Norman. 2007. Reakční povrchy, směsi a Ridge analýzy, Druhé vydání [ze dne Empirické vytváření modelů a povrchy odpovědí, 1987], Wiley.
• Kiefer, Jack Carl (1985). L. D. Brown; et al. (eds.). Shromážděné dokumenty III Návrh experimentů. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-96004-3.
• R. H. Hardin a N. J. A. Sloane, „Nový přístup ke konstrukci optimálních návrhů“, Journal of Statistical Planning and Inference, sv. 37, 1993, str. 339-369
• R. H. Hardin a N. J. A. Sloane, „Počítačem generované návrhy povrchů s minimální (a větší) odezvou: (I) Sphere“
• R. H. Hardin a N. J. A. Sloane, „Počítačem generované návrhy povrchů s minimální (a větší) odezvou: (II) The Cube“
• Ghosh, S .; Rao, C. R., eds. (1996). Návrh a analýza experimentů. Příručka statistiky. 13. Severní Holandsko. ISBN  978-0-444-82061-7.
  • Draper, Norman & Lin, Dennis K. J. „Response Surface Designs“. str. 343–375. Chybějící nebo prázdný | název = (Pomoc)
  • Gaffke, N. & Heiligers, B. "Přibližné vzory pro Polynomiální regrese: Invariance, Přípustnost, a Optimalita ". str. 1149–1199. Chybějící nebo prázdný | název = (Pomoc)
• Melas, Viatcheslav B. (2006). Funkční přístup k optimálnímu experimentálnímu designu. Poznámky k přednášce ve statistice. 184. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-98741-5. (Modelování s racionálními funkcemi)

Historický

• Gergonne, J. D. (1815). "Application de la méthode des moindre quarterres a l'interpolation des suites". Annales de mathématiques pures et appliquées. 6: 242–252.
• Gergonne, J. D. (1974) [1815]. "Aplikace metody nejmenších čtverců na interpolaci sekvencí". Historia Mathematica (Přeložili Ralph St. John a S. M. Stigler z francouzského vydání z roku 1815). 1 (4): 439–447. doi:10.1016/0315-0860(74)90034-2.
• Stigler, Stephen M. (1974). „Dokument Gergonne z roku 1815 o návrhu a analýze polynomiálních regresních experimentů“. Historia Mathematica. 1 (4): 431–439. doi:10.1016/0315-0860(74)90033-0.
• Smith, Kirstine (1918). „O standardních odchylkách upravených a interpolovaných hodnot sledované polynomiální funkce a jejích konstant a o pokynech, které poskytují ke správné volbě distribuce pozorování“. Biometrika. 12 (1/2): 1–85. doi:10.1093 / biomet / 12.1-2.1. JSTOR  2331929.

externí odkazy

• Racionální funkční modely

Tento článek zahrnujepublic domain materiál z Národní institut pro standardy a technologie webová stránka https://www.nist.gov.