Ideální mnohostěn - Ideal polyhedron

Ideál pravidelný osmistěn v Poincaré míč model hyperbolického prostoru (koule v nekonečnu není zobrazena). Všechno vzepětí tohoto tvaru jsou správné úhly.

Animace ideálu dvacetistěnu v Klein model hyperbolického prostoru

V trojrozměrném hyperbolická geometrie, an ideální mnohostěn je konvexní mnohostěn to vše vrcholy jsou ideální body, ukazuje spíše „na nekonečno“ než na trojrozměrný hyperbolický prostor. Lze jej definovat jako konvexní obal konečné sady ideálních bodů. Ideální mnohostěn má ideální mnohoúhelníky tváře, setkávající se podél linií hyperbolického prostoru.

The Platonické pevné látky a Archimédovy pevné látky mají ideální verze se stejnou kombinatorickou strukturou jako jejich známější euklidovské verze. Několik uniforem hyperbolické voštiny rozdělit hyperbolický prostor na buňky těchto tvarů, podobně jako známé rozdělení euklidovského prostoru na kostky. Ne všechny mnohostěny však mohou být reprezentovány jako ideální mnohostěny - mnohostěn může být ideální pouze tehdy, když může být reprezentován v euklidovské geometrii se všemi jeho vrcholy na ohraničená koule. Použitím lineární programování, je možné otestovat, zda má daný mnohostěn ideální verzi, v polynomiální čas.

Každé dva ideální mnohostěny se stejným počtem vrcholů mají stejnou povrchovou plochu a je možné vypočítat objem ideálního mnohostěnu pomocí Lobachevského funkce. Povrch ideálního mnohostěnu tvoří a hyperbolické potrubí, topologicky ekvivalentní propíchnuté sféře, a každé takové potrubí tvoří povrch jedinečného ideálního mnohostěnu.

Příklady a protiklady

Ideální mnohostěn lze zkonstruovat jako konvexní trup konečné sady ideálních bodů hyperbolického prostoru, kdykoli ne všechny body leží v jedné rovině. Výsledný tvar je průsečík všech uzavřených poloprostory které mají dané ideální body jako mezní body. Alternativně jakýkoli euklidovský konvexní mnohostěn, který má a ohraničená koule lze interpretovat jako ideální mnohostěn interpretací vnitřku koule jako a Klein model pro hyperbolický prostor.^[1] V Kleinově modelu představuje každý euklidovský mnohostěn uzavřený sférou hyperbolický mnohostěn a každý euklidovský mnohostěn se svými vrcholy na kouli představuje ideální hyperbolický mnohostěn.^[2]

Každý isogonal konvexní mnohostěn (jeden se symetrií, který bere každý vrchol na každý druhý vrchol), lze reprezentovat jako ideální mnohostěn, a to způsobem, který respektuje jeho symetrie, protože má ohraničenou sféru soustředěnou ve středu symetrie mnohostěnu.^[3] Z toho zejména vyplývá, že Platonické pevné látky a Archimédovy pevné látky všichni mají ideální formy. Další vysoce symetrická třída mnohostěnů, Katalánština pevné látky, ne všichni mají ideální formy. Katalánská tělesa jsou duální polyhedry k archimédským tělesům a mají symetrie, které zaujímají jakoukoli tvář s jakoukoli jinou tváří. Katalánské pevné látky, které nemohou být ideální, zahrnují kosočtverečný dvanáctistěn a triakis čtyřstěn.^[4]

Odstranění určitých trojic vrcholů z čtyřstěnu triakis odděluje zbývající vrcholy do více spojených komponent. Pokud taková separace tří vrcholů neexistuje, říká se o mnohostěnu 4-připojeno. Každý čtyřřadý mnohostěn má reprezentaci jako ideální mnohostěn; například to platí pro tetrakis hexahedron, další katalánská pevná látka.^[5]

Zkrácení jediný vrchol z krychle vytvoří a jednoduchý mnohostěn (jeden se třemi hranami na vrchol), který nelze realizovat jako ideální mnohostěn: podle Věta o šesti kruzích Miquel, je-li sedm z osmi vrcholů krychle ideálních, je ideální i osmý vrchol, takže vrcholy vytvořené zkrácením nemohou být ideální. Existují také mnohostěny se čtyřmi hranami na vrchol, které nelze realizovat jako ideální mnohostěn.^[6] Pokud zjednodušující mnohostěn (jeden se všemi plochami trojúhelníků) má všechny vrcholové stupně mezi čtyřmi a šesti (včetně), pak má ideální zastoupení, ale čtyřstěn triakis je jednoduchý a neideální a výše uvedený příklad 4 pravidelného neideálu ukazuje, že pro non-simplicial polyhedra, mít všechny stupně v tomto rozsahu nezaručuje ideální realizaci.^[7]

Vlastnosti

Měření

Každý ideální mnohostěn s ${ displaystyle n}$ vertices má povrch, na který lze rozdělit ${ displaystyle 2n-4}$ ideální trojúhelníky,^[8] každý s plochou ${ displaystyle pi}$.^[9] Proto je povrch přesně ${ displaystyle (2n-4) pi}$.

V ideálním mnohostěnu jsou všechny úhly tváře a všechny plné úhly ve vrcholech nulové. Nicméně vzepětí na okrajích ideálního mnohostěnu jsou nenulové. U každého vrcholu je doplňkové úhly z úhlu vzepětí dopadajícího na součet vrcholů přesně ${ displaystyle 2 pi}$.^[2] Tuto skutečnost lze použít k výpočtu samotných vzepětných úhlů pro pravidelný nebo hrana symetrická ideální mnohostěn (ve kterém jsou všechny tyto úhly stejné), spočítáním, kolik hran se setkává u každého vrcholu: ideální pravidelný čtyřstěn, krychle nebo dvanáctistěn, se třemi hranami na vrchol, má vzepětí ${ displaystyle 60 ^ { circ} = pi / 3 = pi (1 - { tfrac {2} {3}})}$, ideální pravidelný osmistěn nebo cuboctahedron, se čtyřmi hranami na vrchol, má vzepětí úhly ${ displaystyle 90 ^ { circ} = pi / 2 = pi (1 - { tfrac {2} {4}})}$, a ideální pravidelný dvacetistěn, s pěti hranami na vrchol, má vzepětí ${ displaystyle 108 ^ { circ} = 3 pi / 5 = pi (1 - { tfrac {2} {5}})}$.^[10]

Objem ideálu čtyřstěn lze vyjádřit pomocí Clausenova funkce nebo Lobachevského funkce jeho rozvětvených úhlů a objem libovolného ideálního mnohostěnu lze potom najít jeho rozdělením do čtyřstěnů a sečtením objemů čtyřstěnů.^[11]

The Dehn invariant mnohostěnu lze normálně najít kombinací délek okrajů a vzepětí úhlů mnohostěnu, ale v případě ideálního mnohostěnu jsou délky okrajů nekonečné. Této obtížnosti lze předejít použitím a horosféra na zkrátit každý vrchol, přičemž po každém okraji zůstává konečná délka. Výsledný tvar sám o sobě není mnohostěn, protože zkrácené plochy nejsou ploché, ale mají konečné délky hran a jeho Dehnova invariant lze vypočítat běžným způsobem, přičemž se ignorují nové hrany, kde se zkrácené plochy setkávají s původními plochami mnohostěnu . Kvůli způsobu, jakým je definován Dehnův invariant, a omezením vzepjatých úhlů, které se setkávají v jediném vrcholu ideálního mnohostěnu, výsledek tohoto výpočtu nezávisí na výběru horosfér použitých ke zkrácení vrcholů.^[12]

Kombinatorická struktura

Tak jako Ernst Steinitz  (1928 ) dokázal, že maximální nezávislá množina jakéhokoli ideálního mnohostěnu (největší možná podmnožina nesousedících vrcholů) musí mít maximálně polovinu vrcholů mnohostěnu. Může mít přesně polovinu, pouze když lze vrcholy rozdělit na dvě nezávislé sady stejné velikosti, takže graf mnohostěnu je vyvážený bipartitní graf, jak to je pro ideální kostku.^[13] Silněji je graf jakéhokoli ideálního mnohostěnu 1 těžké, což znamená, že pro všechny ${ displaystyle k}$, odstranění ${ displaystyle k}$ vrcholy z grafu opustí nanejvýš ${ displaystyle k}$ připojené komponenty.^[14] Například kosočtverečný dvanáctistěn je bipartitní, ale má nezávislou množinu s více než polovinou svých vrcholů a triakis čtyřstěn má nezávislou množinu přesně poloviny vrcholů, ale není bipartitní, takže ani jeden nemůže být realizován jako ideální mnohostěn.^[13]

Charakterizace a uznání

Ne všechny konvexní mnohostěny jsou kombinačně ekvivalentní ideálním mnohostěnům. O geometrickou charakterizaci vepsaných mnohostěnů se neúspěšně pokusil René Descartes ve svém rukopisu c.1630 De solidorum elementis.^[15] Otázka nalezení kombinatorické charakterizace ideálního mnohostěnu, analogického k Steinitzova věta charakterizující euklidovský konvexní mnohostěn, byl vychován Jakob Steiner  (1832 ); číselnou (spíše než kombinatorickou) charakterizaci poskytl Hodgson, Rivin & Smith (1992). Jejich charakterizace je založena na skutečnosti, že vzepětí ideálního mnohostěnu, dopadajícího na jediný ideální vrchol, musí mít doplňkové úhly tuto částku přesně ${ displaystyle 2 pi}$, zatímco doplňkové úhly protínají libovolné Jordanova křivka na povrchu mnohostěnu, který má na obou stranách více než jeden vrchol, musí být větší. Například pro ideální krychli jsou úhly vzepětí ${ displaystyle pi / 3}$ a jejich doplňky jsou ${ displaystyle 2 pi / 3}$. Tři doplňkové úhly v jednom součtu vrcholů k ${ displaystyle 2 pi}$ ale čtyři úhly protnuté křivkou uprostřed mezi dvěma protilehlými plochami se sčítají ${ displaystyle 8 pi / 3> 2 pi}$a další křivky protínají ještě více těchto úhlů s ještě většími součty. Hodgson, Rivin & Smith (1992) ukazují, že konvexní mnohostěn je ekvivalentní ideálnímu mnohostěnu právě tehdy, když je možné jeho hranám přiřadit čísla se stejnými vlastnostmi: všechna tato čísla leží mezi ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle pi}$, sečtou ${ displaystyle 2 pi}$ na každém vrcholu a sečtou více než ${ displaystyle 2 pi}$ na každém mimofaciálním cyklu duální graf. Pokud takové přiřazení existuje, existuje jedinečný ideální mnohostěn, jehož úhly vzepětí doplňují tato čísla. V důsledku této charakterizace lze realizovatelnost jako ideální mnohostěn vyjádřit jako a lineární program s exponenciálně mnoha omezeními (jedno pro každý cyklus mimo obličej) a testováno v polynomiální čas za použití elipsoidní algoritmus.^[16]

Kombinačnější charakterizaci poskytl Dillencourt & Smith (1995) pro zvláštní případ jednoduchá mnohostěna, mnohostěn s pouze třemi plochami a třemi hranami, které se setkávají v každém (ideálním) vrcholu. Podle jejich charakterizace je jednoduchý mnohostěn ideální nebo nepopsatelný, pokud je splněna pouze jedna ze dvou podmínek: buď je graf mnohostěnu bipartitní graf a jeho duální graf je 4-připojeno, nebo se jedná o graf 1. V tomto stavu je 1-supertough variací houževnatost grafu; to znamená, že pro každou sadu ${ displaystyle S}$ více než jednoho vrcholu grafu, odstranění ${ displaystyle S}$ z grafu ponechává počet připojených komponent, který je striktně menší než ${ displaystyle | S |}$. Na základě této charakterizace našli a lineární čas kombinatorický algoritmus pro testování realizovatelnosti jednoduché mnohostěny jako ideální mnohostěny.^[17]

Voštiny

Voštiny ideálních pravidelných mnohostěnů

řádu 6 čtyřboká

objednávka-6 kubických

řád-4 oktaedrický

řádu 6 dodekahedrál

Protože ideální pravidelný čtyřstěn, krychle, osmistěn a dvanáctistěn mají všechny vzepětí, které jsou celočíselnými zlomky ${ displaystyle 2 pi}$, mohou všichni obkládat hyperbolický prostor a tvořit regulární plástev.^[18] V tom se liší od euklidovských pravidelných těles, z nichž pouze kostka může vykládat prostor.^[18] Ideální čtyřstěn, krychle, osmistěn a dvanáctistěn tvoří objednávka 6 čtyřstěnný plástev, objednávka-6 kubických voštin, řád-4 oktaedrický plástev, a objednávka-6 dodekahedrální plástev; zde se objednávka týká počtu buněk, které se setkávají na každém okraji. Ideální dvacetistěn však nezabírá prostor stejným způsobem.^[18]

Epstein-Pennerův rozklad, konstrukce D. B. A. Epstein a R. C. Penner  (1988 ), lze použít k rozložení libovolného hrbolatý hyperbolický 3-potrubí do ideálních mnohostěnů a reprezentovat rozmanitost v důsledku slepení těchto ideálních mnohostěnů.^[19] Každé potrubí, které lze reprezentovat tímto způsobem, má konečný počet reprezentací.^[20] The univerzální kryt potrubí zdědí stejný rozklad, který tvoří voštinu ideálního mnohostěnu. Příklady ucpaných potrubí, které tímto způsobem vedou k plástům, vznikají přirozeně jako uzel doplňuje z hyperbolické odkazy, které mají hrot pro každou součást odkazu. Například doplněk uzel osmičky je spojen tímto způsobem s čtyřstěnným plástem řádu 6,^[21] a doplněk Borromejské prsteny je spojen stejným způsobem s oktaedrickým plástem řádu 4.^[22] Tyto dvě voštiny a tři další využívají ideál cuboctahedron, trojúhelníkový hranol, a zkrácený čtyřstěn, vznikají při studiu Bianchi skupiny a pocházejí z cusped manifolds vytvořených jako kvocienty hyperbolického prostoru podskupinami Bianchiho skupin. Stejná potrubí mohou být také interpretována jako odkazy doplňují.^[23]

Povrchové potrubí

Povrch ideálního mnohostěnu (bez jeho vrcholů) tvoří a potrubí, topologicky ekvivalentní propíchnuté kouli, s jednotnou dvourozměrnou hyperbolickou geometrií; záhyby povrchu v jeho zapuštění do hyperbolického prostoru nejsou detekovatelné jako záhyby ve vlastní geometrii povrchu. Protože tento povrch lze rozdělit na ideální trojúhelníky, jeho celková plocha je konečná. Naopak a analogicky k Alexandrovova věta o jedinečnosti, každé dvourozměrné potrubí s jednotnou hyperbolickou geometrií a konečnou plochou, kombinatoricky ekvivalentní konečně propíchnuté kouli, lze realizovat jako povrch ideálního mnohostěnu. (Stejně jako u Alexandrovovy věty musí být umožněno, aby takové povrchy obsahovaly ideál.) dihedra.)^[24] Z tohoto pohledu má teorie ideálních mnohostěnů úzké souvislosti s diskrétními aproximacemi konformní mapy.^[25]

Povrchy ideálních mnohostěnů lze také považovat abstraktněji za topologické prostory vytvořené slepením ideální trojúhelníky podle izometrie podél jejich okrajů. Pro každý takový povrch a každou uzavřenou křivku, která se neotáčí pouze kolem jediného vrcholu mnohostěnu (jednou nebo vícekrát) bez oddělení ostatních, existuje jedinečný geodetické na povrchu, který je homotopický na danou křivku. V tomto ohledu se ideální mnohostěny liší od euklidovských mnohostěnů (a od jejich euklidovských Kleinových modelů): například na euklidovské krychli může jakákoli geodetika protínat nejvýše dva okraje dopadající na jeden vrchol za sebou, než překročí okraj, který nenarušuje , ale geodetika na ideální krychli není tímto způsobem omezena.^[26]

Viz také

• Kanonický mnohostěn, mnohostěn, ve kterém je každá hrana tečná ke společné sféře

Poznámky

Reference