Numerická metoda - Numerical method

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v numerická analýza, a numerická metoda je matematický nástroj určený k řešení numerických úloh. Implementace numerické metody s vhodnou kontrolou konvergence v programovacím jazyce se nazývá numerický algoritmus

Matematická definice

Nechat ${ displaystyle F (x, y) = 0}$ být dobře položený problém, tj. ${ displaystyle F: X krát Y rightarrow mathbb {R}}$ je nemovitý nebo komplex funkční vztah, definovaný na křížovém produktu sady vstupních dat ${ displaystyle X}$ a výstupní datovou sadu ${ displaystyle Y}$, takový, který existuje a místně lipchitz funkce ${ displaystyle g: X rightarrow Y}$ volala rozpouštědlo, který má vlastnost, že pro každý kořen ${ displaystyle (x, y)}$ z ${ displaystyle F}$, ${ displaystyle y = g (x)}$. Definujeme numerická metoda pro přiblížení ${ displaystyle F (x, y) = 0}$, sekvence problémů

${ displaystyle left {M_ {n} right } _ {n in mathbb {N}} = left {F_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) = 0 right } _ {n in mathbb {N}},}$

s ${ displaystyle F_ {n}: X_ {n} krát Y_ {n} rightarrow mathbb {R}}$, ${ displaystyle x_ {n} v X_ {n}}$ a ${ displaystyle y_ {n} v Y_ {n}}$ pro každého ${ displaystyle n in mathbb {N}}$. Problémy, z nichž metoda spočívá, nemusí být dobře nastolené. Pokud ano, metoda se říká, že je stabilní nebo dobře pózoval.^[1]

Konzistence

Nezbytné podmínky pro efektivní aproximaci numerické metody ${ displaystyle F (x, y) = 0}$ to je ${ displaystyle x_ {n} rightarrow x}$ a to ${ displaystyle F_ {n}}$ chová se jako ${ displaystyle F}$ když ${ displaystyle n rightarrow infty}$. Takže se nazývá numerická metoda konzistentní právě když posloupnost funkcí ${ displaystyle left {F_ {n} right } _ {n in mathbb {N}}}$ bodově konverguje k ${ displaystyle F}$ na scéně ${ displaystyle S}$ jeho řešení:

${ displaystyle lim F_ {n} (x, y + t) = F (x, y, t) = 0, quad quad forall (x, y, t) v S.}$

Když ${ displaystyle F_ {n} = F, forall n in mathbb {N}}$ na ${ displaystyle S}$ metoda se říká, že je přísně konzistentní.^[1]

Konvergence

Označit podle ${ displaystyle ell _ {n}}$ posloupnost přípustné poruchy z ${ displaystyle x v X}$ pro nějakou numerickou metodu ${ displaystyle M}$ (tj. ${ displaystyle x + ell _ {n} in X_ {n} forall n in mathbb {N}}$) a s ${ displaystyle y_ {n} (x + ell _ {n}) v Y_ {n}}$ hodnota taková, že ${ displaystyle F_ {n} (x + ell _ {n}, y_ {n} (x + ell _ {n})) = 0}$. Podmínka, kterou musí metoda splňovat, aby byla smysluplným nástrojem k řešení problému ${ displaystyle F (x, y) = 0}$ je konvergence:

${ displaystyle { begin {aligned} & forall varepsilon> 0, existuje n_ {0} ( varepsilon)> 0, existuje delta _ { varepsilon, n_ {0}} { text {takový, že }} & forall n> n_ {0}, forall ell _ {n}: | ell _ {n} | < delta _ { varepsilon, n_ {0}} Rightarrow | y_ {n} (x + ell _ {n}) - y | leq varepsilon. end {zarovnáno}}}$

Lze snadno dokázat, že bodová konvergence ${ displaystyle {y_ {n} } _ {n in mathbb {N}}}$ na ${ displaystyle y}$ implikuje konvergenci přidružené metody je funkce.^[1]

Reference