Fourierova řada - Fourier series

v matematika, a Fourier série (/ˈF.rieɪ,-i.r/^[1]) je periodická funkce složený z harmonicky souvisejících sinusoidy kombinované váženým součtem. S odpovídajícími váhami jeden cyklus (nebo doba) součtu lze provést k aproximaci libovolné funkce v tomto intervalu (nebo celé funkce, pokud je také periodická). Součet jako takový je a syntéza jiné funkce. The diskrétní Fourierova transformace je příklad Fourierovy řady. Proces odvozování vah popisujících danou funkci je formou Fourier analýza. Pro funkce v neomezených intervalech jsou analogie analýzy a syntézy Fourierova transformace a inverzní transformace.

Funkce ${ displaystyle s (x)}$ (červeně) je součet šesti sinusových funkcí různých amplitud a harmonicky souvisejících frekvencí. Jejich součet se nazývá Fourierova řada. Fourierova transformace, ${ displaystyle S (f)}$ (modře), který zobrazuje amplitudu vs frekvenci, odhaluje 6 frekvencí (při lichých harmonických) a jejich amplitudy (1 / liché číslo).

Dějiny

Série Fourier je pojmenována na počest Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), kteří významně přispěli ke studiu trigonometrická řada, po předběžném vyšetřování Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert, a Daniel Bernoulli.^[A] Fourier uvedl sérii za účelem řešení rovnice tepla v plechu, jeho první výsledky byly publikovány v jeho 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Pojednání o šíření tepla v pevných tělesech) a zveřejnění jeho Théorie analytique de la chaleur (Analytická teorie tepla) v roce 1822. The Mémoire představil Fourierovu analýzu, konkrétně Fourierovu řadu. Fourierovým výzkumem bylo zjištěno, že svévolné (nejprve kontinuální) ^[2] a později zobecněn na jakýkoli po částech -hladká funkce^[3] mohou být reprezentovány trigonometrickou řadou. První oznámení o tomto velkém objevu učinil Fourier v roce 1807, před Francouzská akademie.^[4] První myšlenky na rozložení periodické funkce na součet jednoduchých oscilačních funkcí sahají do 3. století před naším letopočtem, kdy starověcí astronomové navrhli empirický model planetárních pohybů, založený na deferenty a epicykly.

The rovnice tepla je parciální diferenciální rovnice. Před Fourierovou prací nebylo obecně známo žádné řešení tepelné rovnice, ačkoli byla známa konkrétní řešení, pokud se zdroj tepla choval jednoduchým způsobem, zejména pokud byl zdrojem tepla sinus nebo kosinus mávat. Tato jednoduchá řešení se nyní někdy nazývají vlastní řešení. Fourierovým nápadem bylo modelovat komplikovaný zdroj tepla jako superpozici (nebo lineární kombinace ) jednoduchých sinusových a kosinových vln a napsat řešení jako superpozice odpovídajících vlastní řešení. Tato superpozice nebo lineární kombinace se nazývá Fourierova řada.

Z moderního hlediska jsou Fourierovy výsledky poněkud neformální, protože chybí přesný pojem funkce a integrální na počátku devatenáctého století. Později, Peter Gustav Lejeune Dirichlet^[5] a Bernhard Riemann^[6][7][8] vyjádřil Fourierovy výsledky s větší přesností a formálností.

Ačkoli původní motivací bylo vyřešit rovnici tepla, později se ukázalo, že stejné techniky lze aplikovat na širokou škálu matematických a fyzikálních problémů, zejména těch, které zahrnují lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pro které jsou vlastní řešení sinusoidy. Série Fourier má mnoho takových aplikací v elektrotechnika, vibrace analýza, akustika, optika, zpracování signálu, zpracování obrazu, kvantová mechanika, ekonometrie,^[9] tenkostěnná skořápka teorie,^[10] atd.

Definice

Zvažte funkci se skutečnou hodnotou, ${ displaystyle s (x)}$, to je integrovatelný v intervalu délky ${ displaystyle P}$, což bude období Fourierovy řady. Běžné příklady intervalů analýzy jsou:

${ displaystyle x v [0,1],}$ a ${ displaystyle P = 1.}$

${ displaystyle x in [- pi, pi],}$ a ${ displaystyle P = 2 pi.}$

The analýza proces určuje váhy indexované celým číslem ${ displaystyle n}$, což je také počet cyklů ${ displaystyle n ^ { text {th}}}$ harmonická v intervalu analýzy. Proto délka cyklu v jednotkách ${ displaystyle x}$, je ${ displaystyle P / n}$. A odpovídající harmonická frekvence je ${ displaystyle n / P}$. The ${ displaystyle n ^ {th}}$ harmonické jsou ${ displaystyle sin left (2 pi x { tfrac {n} {P}} right)}$ a ${ displaystyle cos left (2 pi x { tfrac {n} {P}} vpravo)}$a jejich amplitudy (hmotnosti) se zjistí integrací v intervalu délky ${ displaystyle P}$:^[11]

Fourierovy koeficienty

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {n} & = { frac {2} {P}} int _ {P} s (x) cdot cos left (2 pi x { tfrac { n} {P}} vpravo) , dx b_ {n} & = { frac {2} {P}} int _ {P} s (x) cdot sin left (2 pi x { tfrac {n} {P}} vpravo) , dx. end {zarovnáno}}}$

(Rovnice 1)

• Li ${ displaystyle s (x)}$ je ${ displaystyle P}$-periodické, pak postačuje jakýkoli interval této délky.
• ${ displaystyle a_ {0}}$ a ${ displaystyle b_ {0}}$ lze snížit na ${ displaystyle a_ {0} = { frac {2} {P}} int _ {P} s (x) , dx}$ a ${ displaystyle b_ {0} = 0}$.
• Mnoho textů si vybírá ${ displaystyle P = 2 pi}$ zjednodušit argument sinusových funkcí.

The syntéza proces (skutečná Fourierova řada) je:

Fourierova řada, sinus kosinová forma

${ displaystyle { begin {aligned} s_ {N} (x) = { frac {a_ {0}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ {N} left (a_ {n} cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right) + b_ {n} sin left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right) right) . end {zarovnáno}}}$

(Rovnice 2)

Obecně celé číslo ${ displaystyle N}$ je teoreticky nekonečný. I tak by se řada nemusela sbíhat nebo přesně srovnávat ${ displaystyle s (x)}$ při všech hodnotách ${ displaystyle x}$ (například jednobodová diskontinuita) v intervalu analýzy. U „dobře vychovaných“ funkcí typických pro fyzické procesy se obvykle předpokládá rovnost.

Li ${ displaystyle s (t)}$ je funkce obsažená v intervalu délky ${ displaystyle P}$ (a nula jinde), pravý horní kvadrant je příkladem toho, co jeho koeficienty Fourierovy řady (${ displaystyle A_ {n}}$) může vypadat, když je vyneseno proti jejich odpovídajícím harmonickým frekvencím. Levý horní kvadrant je odpovídající Fourierova transformace ${ displaystyle s (t).}$ Součet Fourierovy řady (není zobrazen) syntetizuje periodický součet ${ displaystyle s (t),}$ zatímco inverzní Fourierova transformace (není zobrazena) pouze syntetizuje ${ displaystyle s (t).}$

Použití trigonometrické identity:

${ displaystyle A_ {n} cdot cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right) equiv underbrace {A_ {n} cos ( varphi _ {n})} _ {a_ {n}} cdot cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right) + underbrace {A_ {n} sin ( varphi _ {n})} _ {b_ {n}} cdot sin left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right),}$

a definice ${ displaystyle A_ {n} triangleq { sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}}}$ a ${ displaystyle varphi _ {n} triangleq operatorname {arctan2} (b_ {n}, a_ {n})}$, sinusový a kosinový pár lze vyjádřit jako jeden sinusoid s fázovým posunem, analogický převodu mezi ortogonálními (kartézskými) a polárními souřadnicemi:

Fourierova řada, forma amplitudové fáze

${ displaystyle s_ {N} (x) = { frac {A_ {0}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} cdot cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right).}$

(Rovnice 3)

Obvyklá forma pro zobecnění na komplexně oceněné ${ displaystyle s (x)}$ (další část) se získá pomocí Eulerův vzorec rozdělit kosinusovou funkci na složité exponenciály. Tady, komplexní konjugace je označeno hvězdičkou:

${ displaystyle { begin {array} {lll} cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right) & {} equiv { tfrac {1 } {2}} e ^ {i left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right)} & {} + { tfrac {1} {2}} e ^ {- i left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right)} & = left ({ tfrac {1} {2}} e ^ {- i varphi _ {n}} vpravo) cdot e ^ {i { tfrac {2 pi (+ n) x} {P}}} & {} + left ({ tfrac {1 } {2}} e ^ {- i varphi _ {n}} vpravo) ^ {*} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi (-n) x} {P}}}. konec {pole}}}$

Proto s definicemi:

${ displaystyle c_ {n} triangleq left {{ begin {array} {lll} A_ {0} / 2 & = a_ {0} / 2, quad & n = 0 { tfrac {A_ {n }} {2}} e ^ {- i varphi _ {n}} & = { tfrac {1} {2}} (a_ {n} -ib_ {n}), quad & n> 0 c_ {| n |} ^ {*}, quad && n <0 end {array}} right } quad = quad { frac {1} {P}} int _ {P} s (x) cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx,}$

konečný výsledek je:

Fourierova řada, exponenciální forma

${ displaystyle s_ {N} (x) = součet _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P}}}.}$

(Rovnice 4)

Funkce s komplexní hodnotou

Li ${ displaystyle s (x)}$ je komplexní funkce reálné proměnné ${ displaystyle x,}$ obě komponenty (reálná a imaginární část) jsou funkce se skutečnou hodnotou, které lze reprezentovat Fourierovou řadou. Dvě sady koeficientů a částečný součet jsou dány vztahem:

${ displaystyle c _ {_ {Rn}} = { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Re} {s (x) } cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx}$ a ${ displaystyle c _ {_ {In}} = { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Im} {s (x) } cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx}$

${ displaystyle s_ {N} (x) = součet _ {n = -N} ^ {N} c _ {_ {Rn}} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P}} } + i cdot sum _ {n = -N} ^ {N} c _ {_ {In}} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P}}} = sum _ { n = -N} ^ {N} vlevo (c _ {_ {Rn}} + i cdot c _ {_ {In}} vpravo) cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P }}}.}$

Definování ${ displaystyle c_ {n} triangleq c _ {_ {Rn}} + i cdot c _ {_ {In}}}$ výnosy:

${ displaystyle s_ {N} (x) = součet _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P}}}.}$

(Rovnice 5)

Je to stejné jako Rovnice 4 až na ${ displaystyle c_ {n}}$ a ${ displaystyle c _ {- n}}$ již nejsou komplexními konjugáty. Vzorec pro ${ displaystyle c_ {n}}$ se také nemění:

${ displaystyle { begin {aligned} c_ {n} & = { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Re} {s (x) } cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx + i cdot { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Im} {s (x) } cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx [4pt] & = { frac {1} {P}} int _ {P} left ( operatorname {Re} {s (x) } + i cdot operatorname {Im} {s (x) } right) cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P }}} dx = { frac {1} {P}} int _ {P} s (x) cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx. end {zarovnáno}}}$

Další běžné notace

Zápis ${ displaystyle c_ {n}}$ je nedostatečná pro diskusi o Fourierových koeficientech několika různých funkcí. Proto je obvykle nahrazen upravenou formou funkce (${ displaystyle s}$, v tomto případě), jako je ${ displaystyle { hat {s}} (n)}$ nebo ${ displaystyle S [n]}$a funkční zápis často nahrazuje dolní index:

${ displaystyle { begin {aligned} s _ { infty} (x) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { hat {s}} (n) cdot e ^ {i , 2 pi nx / P} [6pt] & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [n] cdot e ^ {j , 2 pi nx / P} && scriptstyle { mathsf {běžný engineering notace}} end {zarovnáno}}}$

Ve strojírenství, zvláště když proměnná ${ displaystyle x}$ představuje čas, posloupnost koeficientů se nazývá a frekvenční doména zastoupení. Hranaté závorky se často používají k zdůraznění toho, že doménou této funkce je diskrétní sada frekvencí.

Další běžně používaná reprezentace ve frekvenční doméně používá k modulaci koeficientů Fourierovy řady Dirac hřeben:

${ displaystyle S (f) triangleq součet _ {n = - infty} ^ { infty} S [n] cdot delta left (f - { frac {n} {P}} že jo),}$

kde ${ displaystyle f}$ představuje spojitou frekvenční doménu. Když variabilní ${ displaystyle x}$ má jednotky sekund, ${ displaystyle f}$ má jednotky hertz. „Zuby“ hřebenu jsou rozmístěny v násobcích (tj. harmonické ) z ${ displaystyle 1 / P}$, kterému se říká základní frekvence.  ${ displaystyle s _ { infty} (x)}$ lze z tohoto zobrazení získat pomocí inverzní Fourierova transformace:

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {F}} ^ {- 1} {S (f) } & = int _ {- infty} ^ { infty} left ( sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [n] cdot delta left (f - { frac {n} {P}} right) right) e ^ {i2 pi fx} , df, [6pt] & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [n] cdot int _ {- infty} ^ { infty} delta left (f - { frac {n} {P}} vpravo) e ^ {i2 pi fx} , df, [6pt] & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [ n] cdot e ^ {i , 2 pi nx / P} triangleq s _ { infty} (x). end {zarovnáno}}}$

Vytvořená funkce ${ displaystyle S (f)}$ se proto běžně označuje jako a Fourierova transformace, i když Fourierův integrál periodické funkce není konvergentní na harmonických frekvencích.^[B]

Konvergence

v inženýrství U aplikací Fourier se obecně předpokládá, že konvergují téměř všude (výjimky jsou u diskrétních diskontinuit), protože funkce, se kterými se setkáváme ve strojírenství, se chovají lépe než funkce, které mohou matematici poskytnout jako protiklady k této domněnce. Zejména pokud ${ displaystyle s}$ je spojitá a derivace ${ displaystyle s (x)}$ (který nemusí existovat všude) je čtvercový integrovatelný, pak Fourierova řada ${ displaystyle s}$ konverguje absolutně a jednotně k ${ displaystyle s (x)}$.^[12] Pokud je funkce čtvercově integrovatelný na intervalu ${ displaystyle [x_ {0}, x_ {0} + P]}$, pak Fourierova řada konverguje k funkci téměř v každém bodě. Konvergence Fourierových řad také závisí na konečném počtu maxim a minim ve funkci, která je všeobecně známá jako jedna z Dirichletova podmínka pro Fourierovu sérii. Vidět Konvergence Fourierových řad. Je možné definovat Fourierovy koeficienty pro obecnější funkce nebo distribuce, v takových případech konvergence v normě nebo slabá konvergence je obvykle zajímavé.

• 

  Čtyři dílčí součty (Fourierova řada) délek 1, 2, 3 a 4 členy, které ukazují, jak se přiblížení ke čtvercové vlně zlepšuje s rostoucím počtem členů (animace)

• 

  Čtyři dílčí součty (Fourierova řada) délek 1, 2, 3 a 4 členy, které ukazují, jak se s přibývajícím počtem členů zlepšuje aproximace pilovité vlny (animace)

• 

  Příklad konvergence k poněkud libovolné funkci. Všimněte si vývoje „zvonění“ (Gibbsův jev) na přechodech do / ze svislých částí.

Je možné vidět interaktivní animaci tady.

Příklady

Příklad 1: jednoduchá Fourierova řada

Spiknutí pilovitá vlna, periodické pokračování lineární funkce ${ displaystyle s (x) = x / pi}$ na intervalu ${ displaystyle (- pi, pi]}$

Animovaná zápletka prvních pěti po sobě jdoucích dílčích Fourierových sérií

Nyní použijeme výše uvedený vzorec k poskytnutí Fourierovy řady rozšíření velmi jednoduché funkce. Zvažte pilovitou vlnu

${ displaystyle s (x) = { frac {x} { pi}}, quad mathrm {pro} - pi$

${ displaystyle s (x + 2 pi k) = s (x), quad mathrm {pro} - pi$

V tomto případě jsou Fourierovy koeficienty dány vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {n} & = { frac {1} { pi}} int _ {- pi} ^ { pi} s (x) cos (nx) , dx = 0, quad n geq 0. [4pt] b_ {n} & = { frac {1} { pi}} int _ {- pi} ^ { pi} s (x) sin (nx) , dx [4pt] & = - { frac {2} { pi n}} cos (n pi) + { frac {2} { pi ^ {2} n ^ {2}}} sin (n pi) [4pt] & = { frac {2 , (- 1) ^ {n + 1}} { pi n}}, quad n geq 1. end {zarovnáno}}}$

Je dokázáno, že Fourierova řada konverguje k ${ displaystyle s (x)}$ v každém bodě ${ displaystyle x}$ kde ${ displaystyle s}$ je rozlišitelný, a proto:

${ displaystyle { begin {aligned} s (x) & = { frac {a_ {0}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} left [a_ {n} cos left (nx right) + b_ {n} sin left (nx right) right] [4pt] & = { frac {2} { pi}} sum _ {n = 1 } ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} sin (nx), quad mathrm {pro} quad x- pi notin 2 pi mathbb {Z}. end {zarovnáno}}}$

(Rovnice 7)

Když ${ displaystyle x = pi}$, Fourierova řada konverguje k 0, což je poloviční součet levé a pravé hranice s na ${ displaystyle x = pi}$. Toto je konkrétní případ Dirichletova věta pro Fourierovu sérii.

Distribuce tepla v kovové desce pomocí Fourierovy metody

Tento příklad nás vede k řešení Basilejský problém.

Příklad 2: Fourierova motivace

Rozšíření Fourierovy řady naší funkce v příkladu 1 vypadá komplikovaněji než jednoduchý vzorec ${ displaystyle s (x) = x / pi}$, takže není okamžitě zřejmé, proč by člověk potřeboval Fourierovu řadu. I když existuje mnoho aplikací, Fourierova motivace byla při řešení rovnice tepla. Zvažte například kovovou desku ve tvaru čtverce, jehož strana měří ${ displaystyle pi}$ metrů, se souřadnicemi ${ displaystyle (x, y) v [0, pi] krát [0, pi]}$. Pokud v desce není žádný zdroj tepla a pokud jsou tři ze čtyř stran udržovány na 0 stupních Celsia, zatímco čtvrtá strana, daná ${ displaystyle y = pi}$, se udržuje na teplotním gradientu ${ displaystyle T (x, pi) = x}$ stupňů Celsia pro ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle (0, pi)}$, pak lze ukázat, že stacionární distribuce tepla (nebo distribuce tepla po uplynutí dlouhé doby) je dána vztahem

${ displaystyle T (x, y) = 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} sin (nx) { sinh (ny) over sinh (n pi)}.}$

Tady je sinh hyperbolický sinus funkce. Toto řešení rovnice tepla se získá vynásobením každého členuRovnice 7 podle ${ displaystyle sinh (ny) / sinh (n pi)}$. Zatímco náš příklad funguje ${ displaystyle s (x)}$ Zdá se, že má zbytečně komplikovanou Fourierovu řadu, distribuci tepla ${ displaystyle T (x, y)}$ je netriviální. Funkce ${ displaystyle T}$ nelze zapsat jako uzavřený výraz. Tuto metodu řešení problému s teplem umožnila Fourierova práce.

Další aplikace

Další aplikací této Fourierovy řady je řešení Basilejský problém používáním Parsevalova věta. Příklad zobecňuje a lze počítat ζ (2n), pro jakékoli kladné celé číslon.

Začátky

Joseph Fourier napsal:^{[pochybný – diskutovat]}

${ displaystyle varphi (y) = a_ {0} cos { frac { pi y} {2}} + a_ {1} cos 3 { frac { pi y} {2}} + a_ { 2} cos 5 { frac { pi y} {2}} + cdots.}$

Vynásobením obou stran ${ displaystyle cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}}}$, a poté integraci z ${ displaystyle y = -1}$ na ${ displaystyle y = + 1}$ výnosy:

${ displaystyle a_ {k} = int _ {- 1} ^ {1} varphi (y) cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}} , dy.}$

— Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides. (1807)^[13][C]

To okamžitě dává jakýkoli koeficient A_k z trigonometrická řada pro φ (y) pro jakoukoli funkci, která má takové rozšíření. Funguje to, protože pokud φ má takové rozšíření, pak (za vhodných předpokladů konvergence) integrál

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {k} & = int _ {- 1} ^ {1} varphi (y) cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}} , dy & = int _ {- 1} ^ {1} left (a cos { frac { pi y} {2}} cos (2k + 1) { frac { pi y } {2}} + a ' cos 3 { frac { pi y} {2}} cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}} + cdots right) , dy end {zarovnáno}}}$

lze provádět po jednotlivých termínech. Ale všechny pojmy zahrnují ${ displaystyle cos (2j + 1) { frac { pi y} {2}} cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}}}$ pro j ≠ k zmizí, když je integrován od -1 do 1, ponechá pouze kth termín.

V těchto několika řádcích, které jsou blízké modernímu formalismus použitý v Fourierových řadách, Fourier způsobil revoluci v matematice i fyzice. Ačkoli podobné trigonometrické řady dříve používaly Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli a Gauss Fourier věřil, že taková trigonometrická řada může představovat libovolnou funkci. V jakém smyslu je to ve skutečnosti pravda, je to poněkud subtilní problém a mnohaleté pokusy objasnit tuto myšlenku vedly k důležitým objevům v teoriích konvergence, funkční prostory, a harmonická analýza.

Když Fourier předložil v roce 1811 pozdější soutěžní esej, výbor (který zahrnoval Lagrange, Laplace, Malus a Legendre, mimo jiné) dospěli k závěru: ... způsob, jakým autor dospívá k těmto rovnicím, není osvobozen od obtíží a ... jeho analýza k jejich integraci stále ponechává něco, co je třeba na skóre obecnosti a dokonce přísnost.^{[Citace je zapotřebí ]}

Zrození harmonické analýzy

Od Fourierovy doby bylo objeveno mnoho různých přístupů k definování a porozumění konceptu Fourierových řad, které jsou navzájem konzistentní, ale každý z nich zdůrazňuje různé aspekty daného tématu. Některé z výkonnějších a elegantnějších přístupů jsou založeny na matematických nápadech a nástrojích, které nebyly k dispozici v době, kdy Fourier dokončil své původní dílo. Fourier původně definoval Fourierovu řadu pro reálné funkce skutečných argumentů a použití sínusových a kosinových funkcí jako základní sada pro rozklad.

Mnoho jiných Fourierovy transformace od té doby byly definovány a rozšířily původní myšlenku na další aplikace. Tato obecná oblast dotazu se nyní někdy nazývá harmonická analýza. Fourierovu řadu však lze použít pouze pro periodické funkce nebo pro funkce v omezeném (kompaktním) intervalu.

Rozšíření

Fourierova řada na náměstí

Můžeme také definovat Fourierovu řadu pro funkce dvou proměnných ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ ve čtverci ${ displaystyle [- pi, pi] krát [- pi, pi]}$:

${ displaystyle { begin {aligned} f (x, y) & = sum _ {j, k , in , mathbb {Z} { text {(celá čísla)}}} c_ {j, k } e ^ {ijx} e ^ {iky}, [5pt] c_ {j, k} & = {1 přes 4 pi ^ {2}} int _ {- pi} ^ { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x, y) e ^ {- ijx} e ^ {- iky} , dx , dy. end {zarovnáno}}}$

Kromě toho, že je užitečný pro řešení parciálních diferenciálních rovnic, jako je rovnice tepla, jedna pozoruhodná aplikace Fourierovy řady na náměstí je v komprese obrazu. Zejména jpeg standard komprese obrazu používá dvourozměrný diskrétní kosinová transformace, což je Fourierova transformace využívající kosinové základní funkce.

Fourierova řada Bravais-mřížky-periodické funkce

Trojrozměrný Bravaisova mříž je definována jako množina vektorů ve tvaru:

${ displaystyle mathbf {R} = n_ {1} mathbf {a} _ {1} + n_ {2} mathbf {a} _ {2} + n_ {3} mathbf {a} _ {3} }$

kde ${ displaystyle n_ {i}}$ jsou celá čísla a ${ displaystyle mathbf {a} _ {i}}$ jsou tři lineárně nezávislé vektory. Za předpokladu, že máme nějakou funkci, ${ displaystyle f ( mathbf {r})}$, takže se řídí následující podmínkou pro jakýkoli Bravaisův mřížkový vektor ${ displaystyle mathbf {R}: f ( mathbf {r}) = f ( mathbf {R} + mathbf {r})}$, mohli bychom z toho vytvořit Fourierovu sérii. Tímto druhem funkce může být například efektivní potenciál, který jeden elektron „cítí“ uvnitř periodického krystalu. Je užitečné vytvořit Fourierovu řadu potenciálu při aplikaci Blochova věta. Nejprve můžeme napsat libovolný vektor ${ displaystyle mathbf {r}}$ v souřadnicovém systému mřížky:

${ displaystyle mathbf {r} = x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ { 2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}},}$

kde ${ displaystyle a_ {i} triangleq | mathbf {a} _ {i} |.}$

Můžeme tedy definovat novou funkci,

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) triangleq f ( mathbf {r}) = f left (x_ {1} { frac { mathbf {a} _ { 1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}} vpravo).}$

Tato nová funkce, ${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$, je nyní funkcí tří proměnných, z nichž každá má periodicitu A₁, A₂, A₃ respektive:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1} + a_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1} , x_ {2} + a_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} + a_ {3}).}$

Napíšeme-li sérii pro G na intervalu [0, A₁] pro X₁, můžeme definovat následující:

${ displaystyle h ^ { mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) triangleq { frac {1} {a_ {1}}} int _ {0} ^ {a_ {1}} g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ { 1}} , dx_ {1}}$

A pak můžeme napsat:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = součet _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} h ^ { mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1}}}$

Další definování:

${ displaystyle { begin {aligned} h ^ { mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) & triangleq { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} h ^ { mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2}} , dx_ {2} [12pt] & = { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} { frac {1} {a_ {1}}} int _ {0} ^ {a_ {1}} dx_ {1} g (x_ {1}, x_ { 2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi left ({ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2} right)} end {zarovnáno}}}$

Můžeme psát ${ displaystyle g}$ ještě jednou jako:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} sum _ {m_ {2} = - infty} ^ { infty} h ^ { mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {1}} { a_ {1}}} x_ {1}} cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2}}}$

Nakonec použijeme totéž pro třetí souřadnici, definujeme:

${ displaystyle { begin {aligned} h ^ { mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) & triangleq { frac {1} {a_ {3}}} int _ {0} ^ {a_ {3}} h ^ { mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi { frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3}} , dx_ {3} [12pt] & = { frac {1} {a_ {3}}} int _ {0} ^ {a_ {3}} dx_ {3} { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} { frac {1} {a_ { 1}}} int _ {0} ^ {a_ {1}} dx_ {1} g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi left ( { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2} + { frac {m_ {3} } {a_ {3}}} x_ {3} vpravo)} konec {zarovnáno}}}$

Píšeme ${ displaystyle g}$ tak jako:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = součet _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} součet _ {m_ {2} = - infty} ^ { infty} sum _ {m_ {3} = - infty} ^ { infty} h ^ { mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1}} cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {2}} {a_ {2 }}} x_ {2}} cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3}}}$

Přeuspořádání:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {m_ {1}, m_ {2}, m_ {3} in mathbb {Z}} h ^ { mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) cdot e ^ {i2 pi left ({ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2} + { frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3} vpravo)}. }$

Teď každý reciproční mřížový vektor lze psát jako ${ displaystyle mathbf {G} = ell _ {1} mathbf {g} _ {1} + ell _ {2} mathbf {g} _ {2} + ell _ {3} mathbf { g} _ {3}}$, kde ${ displaystyle l_ {i}}$ jsou celá čísla a ${ displaystyle mathbf {g} _ {i}}$ jsou převrácené mřížkové vektory, můžeme použít skutečnost, že ${ displaystyle mathbf {g_ {i}} cdot mathbf {a_ {j}} = 2 pi delta _ {ij}}$ vypočítat to pro libovolný libovolný reciproční vektor mřížky ${ displaystyle mathbf {G}}$ a libovolný vektor v prostoru ${ displaystyle mathbf {r}}$, jejich skalární součin je:

${ displaystyle mathbf {G} cdot mathbf {r} = left ( ell _ {1} mathbf {g} _ {1} + ell _ {2} mathbf {g} _ {2} + ell _ {3} mathbf {g} _ {3} right) cdot left (x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}} } right) = 2 pi left (x_ {1} { frac { ell _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { ell _ {2}} { a_ {2}}} + x_ {3} { frac { ell _ {3}} {a_ {3}}} vpravo).}$

A tak je jasné, že v naší expanzi je součet ve skutečnosti přes reciproční mřížkové vektory:

${ displaystyle f ( mathbf {r}) = součet _ { mathbf {G}} h ( mathbf {G}) cdot e ^ {i mathbf {G} cdot mathbf {r}}, }$

kde

${ displaystyle h ( mathbf {G}) = { frac {1} {a_ {3}}} int _ {0} ^ {a_ {3}} dx_ {3} , { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} , { frac {1} {a_ {1}}} int _ {0} ^ {a_ {1 }} dx_ {1} , f left (x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a } _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}} right) cdot e ^ {- i mathbf {G} cdot mathbf {r}}.}$

Za předpokladu

${ displaystyle mathbf {r} = (x, y, z) = x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}},}$

můžeme vyřešit tento systém tří lineárních rovnic pro ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, a ${ displaystyle z}$ ve smyslu ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ a ${ displaystyle x_ {3}}$ za účelem výpočtu objemového prvku v původním kartézském souřadnicovém systému. Jakmile to máme ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, a ${ displaystyle z}$ ve smyslu ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ a ${ displaystyle x_ {3}}$, můžeme vypočítat Jacobian determinant:

${ displaystyle { begin {vmatrix} { dfrac { částečné x_ {1}} { částečné x}} & { dfrac { částečné x_ {1}} { částečné y}} & { dfrac { částečné x_ {1}} { částečné z}} [12 bodů] { dfrac { částečné x_ {2}} { částečné x}} & { dfrac { částečné x_ {2}} { částečné }} & { dfrac { částečné x_ {2}} { částečné z}} [12 bodů] { dfrac { částečné x_ {3}} { částečné x}} & { dfrac { částečné x_ {3}} { částečné y}} a { dfrac { částečné x_ {3}} { částečné z}} konec {vmatrix}}}$

které se po určitém výpočtu a uplatnění některých netriviálních identit meziproduktů mohou rovnat:

${ displaystyle { frac {a_ {1} a_ {2} a_ {3}} { mathbf {a_ {1}} cdot ( mathbf {a_ {2}} times mathbf {a_ {3}} )}}}$

(pro zjednodušení výpočtů může být výhodné pracovat v takovém kartézském souřadnicovém systému, ve kterém se tak stane, že ${ displaystyle mathbf {a_ {1}}}$ je rovnoběžná s osou x, ${ displaystyle mathbf {a_ {2}}}$ leží v X-y letadlo a ${ displaystyle mathbf {a_ {3}}}$ má komponenty všech tří os). Jmenovatel je přesně objem primitivní jednotkové buňky, který je uzavřen třemi primitivními vektory ${ displaystyle mathbf {a_ {1}}}$, ${ displaystyle mathbf {a_ {2}}}$ a ${ displaystyle mathbf {a_ {3}}}$. Zejména to nyní víme

${ displaystyle dx_ {1} , dx_ {2} , dx_ {3} = { frac {a_ {1} a_ {2} a_ {3}} { mathbf {a_ {1}} cdot ( mathbf {a_ {2}} times mathbf {a_ {3}})}}} cdot dx , dy , dz.}$

Nyní můžeme psát ${ displaystyle h ( mathbf {K})}$ jako integrál s tradičním souřadným systémem nad objemem primitivní buňky, místo s ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ a ${ displaystyle x_ {3}}$ proměnné:

${ displaystyle h ( mathbf {G}) = { frac {1} { mathbf {a_ {1}} cdot ( mathbf {a_ {2}} times mathbf {a_ {3}})} } int _ {C} d mathbf {r} f ( mathbf {r}) cdot e ^ {- i mathbf {K} cdot mathbf {r}}}$

A ${ displaystyle C}$ je primitivní jednotková buňka, tedy ${ displaystyle mathbf {a_ {1}} cdot ( mathbf {a_ {2}} times mathbf {a_ {3}})}$ je objem primitivní jednotkové buňky.

Interpretace Hilberta prostoru

V jazyce Hilbertovy prostory, sada funkcí ${ displaystyle {e_ {n} = e ^ {inx}: n in mathbb {Z} }}$ je ortonormální základ pro prostor ${ displaystyle L ^ {2} ([- pi, pi])}$ funkcí integrovatelných do čtverců ${ displaystyle [- pi, pi]}$. Tento prostor je ve skutečnosti Hilbertův prostor s vnitřní produkt uvedené pro jakékoli dva prvky ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ podle

${ displaystyle langle f, , g rangle ; triangleq ; { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) { overline {g (x)}} , dx.}$

Základní výsledek Fourierovy řady pro Hilbertovy prostory lze zapsat jako

${ displaystyle f = sum _ {n = - infty} ^ { infty} langle f, e_ {n} rangle , e_ {n}.}$

Siny a kosiny tvoří ortonormální množinu, jak je znázorněno výše. Integrál sinus, kosinus a jejich součin je nulový (zelené a červené oblasti jsou stejné a zruší se), když ${ displaystyle m}$, ${ displaystyle n}$ nebo jsou funkce odlišné a pi pouze pokud ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ jsou stejné a použitá funkce je stejná.

To přesně odpovídá složité exponenciální formulaci uvedené výše. Verze se sinusem a kosinusem je také ospravedlněna interpretací Hilbertova prostoru. Siny a kosiny skutečně tvoří ortogonální sada:

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos (mx) , cos (nx) , dx = { frac {1} {2}} int _ {- pi} ^ { pi} cos ((nm) x) + cos ((n + m) x) , dx = pi delta _ {mn}, quad m, n geq 1, ,}$

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} sin (mx) , sin (nx) , dx = { frac {1} {2}} int _ {- pi} ^ { pi} cos ((nm) x) - cos ((n + m) x) , dx = pi delta _ {mn}, quad m, n geq 1})$

(kde δ_mn je Kroneckerova delta ), a

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos (mx) , sin (nx) , dx = { frac {1} {2}} int _ {- pi} ^ { pi} sin ((n + m) x) + sin ((nm) x) , dx = 0; ,}$

dále jsou sinusy a kosiny kolmé na konstantní funkci ${ displaystyle 1}$. An ortonormální základ pro ${ displaystyle L ^ {2} ([- pi, pi])}$ skládající se z reálných funkcí je tvořen funkcemi ${ displaystyle 1}$ a ${ displaystyle { sqrt {2}} cos (nx)}$, ${ displaystyle { sqrt {2}} sin (nx)}$ s n = 1, 2, ... Hustota jejich rozpětí je důsledkem Věta Stone-Weierstrass, ale vyplývá to i z vlastností klasických jader, jako je Fejér jádro.

Vlastnosti

Tabulka základních vlastností

Tato tabulka ukazuje některé matematické operace v časové oblasti a odpovídající účinek v koeficientech Fourierovy řady. Notace:

• ${ displaystyle z ^ {*}}$ je komplexní konjugát z ${ displaystyle z}$.
• ${ displaystyle f (x), g (x)}$ určit ${ displaystyle P}$-periodické funkce definované na ${ displaystyle 0$.
• ${ displaystyle F [n], G [n]}$ určit koeficienty Fourierovy řady (exponenciální forma) ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jak je definováno v rovnici Rovnice 5.

Vlastnictví	Časová doména	Frekvenční doména (exponenciální forma)	Poznámky	Odkaz
Linearita	${ displaystyle a cdot f (x) + b cdot g (x)}$	${ displaystyle a cdot F [n] + b cdot G [n]}$	komplexní čísla ${ displaystyle a, b}$
Obrácení času / Obrácení frekvence	${ displaystyle f (-x)}$	${ displaystyle F [-n]}$		[14]:p. 610
Časová konjugace	${ displaystyle f (x) ^ {*}}$	${ displaystyle F [-n] ^ {*}}$		[14]:p. 610
Obrácení a konjugace času	${ displaystyle f (-x) ^ {*}}$	${ displaystyle F [n] ^ {*}}$
Skutečná část času	${ displaystyle operatorname {Re} {(f (x))}}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (F [n] + F [-n] ^ {*})}$
Imaginární část v čase	${ displaystyle operatorname {Im} {(f (x))}}$	${ displaystyle { frac {1} {2i}} (F [n] -F [-n] ^ {*})}$
Skutečná část frekvence	${ displaystyle { frac {1} {2}} (f (x) + f (-x) ^ {*})}$	${ displaystyle operatorname {Re} {(F [n])}}$
Fiktivní část ve frekvenci	${ displaystyle { frac {1} {2i}} (f (x) -f (-x) ^ {*})}$	${ displaystyle operatorname {Im} {(F [n])}}$
Posun v čase / modulace ve frekvenci	${ displaystyle f (x-x_ {0})}$	${ displaystyle F [n] cdot e ^ {- i { frac {2 pi x_ {0}} {T}} n}}$	reálné číslo ${ displaystyle x_ {0}}$	[14]:p. 610
Posun frekvence / modulace v čase	${ displaystyle f (x) cdot e ^ {i { frac {2 pi n_ {0}} {T}} x}}$	${ displaystyle F [n-n_ {0}] !}$	celé číslo ${ displaystyle n_ {0}}$	[14]:p. 610

Vlastnosti symetrie

Když jsou skutečné a imaginární části složité funkce rozloženy na sudé a liché části, existují čtyři komponenty, níže označené dolními indexy RE, RO, IE a IO. Mezi čtyřmi složkami komplexní časové funkce a čtyřmi složkami její komplexní frekvenční transformace existuje mapování jedna k jedné:^[15]

${ displaystyle { begin {array} {rccccccccc} { text {Time domain}} & f & = & f _ {_ { text {RE}}} & + & f _ {_ { text {RO}}} & + & if_ { _ { text {IE}}} & + & underbrace {i f _ {_ { text {IO}}}} & { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} { text {Frekvenční doména}} & F & = & F_ {RE} & + & overbrace {i F_ {IO}} & + & i F_ {IE} & + & F_ {RO} end {pole}}}$

Z toho jsou patrné různé vztahy, například:

• Transformace funkce se skutečnou hodnotou (F_RE+ F_RO) je dokonce symetrické funkce F_RE+ i F_IO. Naopak, rovnoměrně symetrická transformace znamená časovou doménu se skutečnou hodnotou.
• Transformace funkce imaginární hodnoty (i F_TJ+ i F_IO) je liché symetrické funkce F_RO+ i F_TJa obrácení je pravdivé.
• Transformace sudé symetrické funkce (F_RE+ i F_IO) je funkce se skutečnou hodnotou F_RE+ F_ROa obrácení je pravdivé.
• Transformace liché symetrické funkce (F_RO+ i F_TJ) je funkce imaginární hodnoty i F_TJ+ i F_IOa obrácení je pravdivé.

Riemann – Lebesgueovo lemma

Li ${ displaystyle f}$ je integrovatelný, ${ displaystyle lim _ {| n | rightarrow infty} { hat {f}} (n) = 0}$, ${ displaystyle lim _ {n rightarrow + infty} a_ {n} = 0}$ a ${ displaystyle lim _ {n rightarrow + infty} b_ {n} = 0.}$ Tento výsledek je znám jako Riemann – Lebesgueovo lemma.

Odvozená vlastnost

Říkáme to ${ displaystyle f}$ patří ${ displaystyle C ^ {k} ( mathbb {T})}$ -li ${ displaystyle f}$ je 2π-periodická funkce zapnuta ${ displaystyle mathbb {R}}$ který je ${ displaystyle k}$ krát diferencovatelné a jeho ktý derivát je spojitý.