Fejérsova věta - Fejérs theorem - Wikipedia

V matematice Fejérova věta,^[1][2] pojmenoval podle maďarský matematik Lipót Fejér, uvádí, že pokud F:R → C je spojitá funkce s doba 2π, pak sekvence (σ_n) z Cesàro znamená sekvence (s_n) z částečné částky z Fourierova řada z F konverguje rovnoměrně na F na [-π, π].

Výslovně,

${ displaystyle s_ {n} (x) = součet _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} e ^ {ikx},}$

kde

${ displaystyle c_ {k} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (t) e ^ {- ikt} dt,}$

a

${ displaystyle sigma _ {n} (x) = { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} (x) = { frac {1 } {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (xt) F_ {n} (t) dt,}$

s F_n být nth pořadí Fejér jádro.

Obecnější forma věty platí pro funkce, které nemusí být nutně spojité (Zygmund 1968, Věta III.3.4). Předpokládejme to F je v L¹(-π, π). Pokud je levý a pravý limit F(X₀± 0) z F(X) existují v X₀, nebo pokud jsou oba limity nekonečné stejného znaménka, pak

${ displaystyle sigma _ {n} (x_ {0}) až { frac {1} {2}} vlevo (f (x_ {0} +0) + f (x_ {0} -0) že jo).}$

Rovněž je naznačena existence nebo divergence do nekonečna Cesàro střední. Věta o Marcel Riesz, Fejérova věta platí přesně tak, jak je uvedeno, pokud (C, 1) znamená σ_n je nahrazen (C, α) střední Fourierovy řady (Zygmund 1968, Věta III.5.1).

Reference

• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometrická řada (2. vyd.), Cambridge University Press (publikováno 1988), ISBN  978-0-521-35885-9.