Riemann – Lebesgueovo lemma - Riemann–Lebesgue lemma
v matematika, Riemann – Lebesgueovo lemma, pojmenoval podle Bernhard Riemann a Henri Lebesgue, uvádí, že Fourierova transformace nebo Laplaceova transformace z L1 funkce zmizí v nekonečnu. Je to důležité v harmonická analýza a asymptotická analýza.
Tvrzení
Li ƒ je L1 integrovatelný na Rd, to znamená, pokud je Lebesgueův integrál |ƒ| je konečný, pak Fourierova transformace z ƒ splňuje
Důkaz
Nejprve to předpokládej , funkce indikátoru z otevřený interval.
Pak:
tak jako
Sčítáním limitů platí totéž pro libovolné kroková funkce To znamená pro jakoukoli funkci formuláře:
Máme to:
Nakonec nechte být libovolný.
Nechat být opraven.
Vzhledem k tomu, že funkce kroku jsou husté , existuje a kroková funkce takové, že:
Podle našeho předchozího argumentu a definice limitu komplexní funkce existuje takové, že pro všechny :
Aditivitou integrálů:
Podle nerovnost trojúhelníku pro komplexní čísla [nerovnost trojúhelníku] pro integrály, multiplikativnost absolutní hodnoty a Eulerův vzorec:
Pro všechny , je pravá strana ohraničena podle našich předchozích argumentů bylo svévolné, toto stanoví:
pro všechny .
Jiné verze
Liem Riemann – Lebesgue platí v celé řadě dalších situací.
- Li ƒ je L1 integrovatelné a podporované na (0, ∞), pak Riemannovo – Lebesgueovo lemma platí také pro Laplaceovu transformaciƒ. To znamená,
- jako |z| → ∞ v polorovině Re (z) ≥ 0.
- Verze platí pro Fourierova řada také: pokud ƒ je integrovatelná funkce na intervalu, pak Fourierovy koeficienty z ƒ mají tendenci k 0 jako n → ±∞,
- Následuje rozšíření ƒ nulou mimo interval a poté aplikovat verzi lemmatu na celou skutečnou linii.
- Podobné prohlášení je triviální pro L2 funkce. Chcete-li to vidět, vezměte na vědomí, že Fourierova transformace trvá L2 na L2 a takové funkce mají l2 Fourierova řada.
- Lema to však dělá ne podržte pro libovolné distribuce. Například rozdělení funkce Dirac delta má formálně konečný integrál nad skutečnou linií, ale jeho Fourierova transformace je konstanta (přesná hodnota závisí na formě použité transformace) a nezmizí v nekonečnu.
Aplikace
Liem Riemann – Lebesgue lze použít k prokázání platnosti asymptotických aproximací pro integrály. Přísné ošetření metoda nejstrmějšího klesání a metoda stacionární fáze, mimo jiné, jsou založeny na lemmatu Riemann – Lebesgue.
Důkaz
Zaměříme se na jednorozměrný případ, důkaz ve vyšších dimenzích je podobný. Předpokládejme, že první ƒ je kompaktně podporováno plynulá funkce. Pak integrace po částech výnosy
Li ƒ je libovolná integrovatelná funkce, lze ji aproximovat v L1 normou kompaktně podporovanou hladkou funkcí G. Vyberte takový G takže ||ƒ − G||L1 < ε. Pak
a protože to platí pro všechny ε > 0, následuje věta.
Reference
- Bochner S., Chandrasekharan K. (1949). Fourierovy transformace. Princeton University Press.
- Weisstein, Eric W. „Riemann – Lebesgue Lemma“. MathWorld.
- https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Formula