Věta o zbytku - Residue theorem

v komplexní analýza, obor v matematice, věta o zbytku, někdy nazývané Cauchyova věta o reziduích, je mocný nástroj k hodnocení line integrály z analytické funkce přes uzavřené křivky; často jej lze použít k výpočtu skutečných integrálů a nekonečná řada také. Zobecňuje to Cauchyho integrální věta a Cauchyho integrální vzorec. Z geometrického hlediska se jedná o speciální případ zobecněná Stokesova věta.

Prohlášení

Prohlášení je následující:

Ilustrace nastavení.

Nechat $U$ být jednoduše připojeno otevřená podmnožina z složité letadlo obsahující konečný seznam bodů $A 1, ..., A n$ , a $F$ definovaná funkce a holomorfní na $U \{A1, ..., An}$ . Nechat $y$ být uzavřen usměrnitelná křivka v $U$ který nesplňuje žádný z $A k$ a označte číslo vinutí z $y$ kolem $A k$ podle $Já (y, A k)$ . Čára integrálu $F$ kolem $y$ je rovný $2 π i$ krát součet zbytky z $F$ v bodech se každý počítal tolikrát, kolikrát $y$ vítr kolem bodu:

{ displaystyle mast _ { gamma} f (z) , dz = 2 pi i sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {I} ( gamma, a_ {k}) operatorname {Res} (f, a_ {k}).}

Li $y$ je pozitivně orientovaný jednoduchá uzavřená křivka, $Já (y, A k) = 1$ -li $A k$ je v interiéru $y$ , a 0, pokud ne, proto

{ displaystyle mast _ { gamma} f (z) , dz = 2 pi i sum operatorname {Res} (f, a_ {k})}

se součtem přes ty $A k$ uvnitř $y$ .^[1]

Vztah věty o zbytku k Stokesově teorému je dán vztahem Jordanova věta o křivce. Generál rovinná křivka $y$ musí být nejprve redukována na sadu jednoduchých uzavřených křivek ${y i}$ jehož součet se rovná $y$ pro integrační účely; to snižuje problém s hledáním integrálu $F dz$ podél jordánské křivky $y i$ s interiérem $PROTI$ . Požadavek, že $F$ být holomorfní $U0 = U \ {Ak}$ je ekvivalentní tvrzení, že vnější derivace $d (F dz) = 0$ na $U 0$ . Tedy pokud dvě rovinné oblasti $PROTI$ a $Ž$ z $U$ uzavřete stejnou podmnožinu ${A j}$ z ${A k}$ , regiony $PROTI \ Ž$ a $Ž \ PROTI$ lež úplně v $U 0$ , a tedy

{ displaystyle int _ {V smallsetminus W} d (f , dz) - int _ {W smallsetminus V} d (f , dz)}

je dobře definovaná a rovná se nule. V důsledku toho je kontura integrální z $F dz$ podél $y j = \partialV$ se rovná součtu množiny integrálů podél cest $λ j$ , z nichž každý obklopuje libovolně malou oblast kolem jedné $A j$ - zbytky $F$ (do konvenčního faktoru $2 π i$ ) na ${A j}$ . Sumarizujeme ${y j}$ , získáme konečný výraz integrálního obrysu z hlediska čísel vinutí ${Já (y, A k)}$ .

Za účelem vyhodnocení skutečných integrálů se věta o zbytku použije následujícím způsobem: integrand se rozšíří na komplexní rovinu a jeho zbytky se vypočítají (což je obvykle snadné) a část reálné osy se rozšíří na uzavřenou křivku připojením půlkruhu v horní nebo dolní polorovině a vytvořením půlkruhu. Integrál přes tuto křivku lze poté vypočítat pomocí věty o zbytku. Část půlkruhu integrálu bude mít tendenci k nule, jak se poloměr půlkruhu zvětšuje, takže zůstane pouze část skutečné integrálu integrálu, která nás původně zajímala.

Příklady

Integrál podél skutečné osy

Integrál

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} , dx}

Obrys

C

.

vzniká v teorie pravděpodobnosti při výpočtu charakteristická funkce z Cauchyovo rozdělení. Odolává základním technikám počet ale lze jej vyhodnotit vyjádřením jako limit konturové integrály.

Předpokládat $t > 0$ a definujte obrys $C$ který jde podél nemovitý řádek z $- A$ na $A$ a pak proti směru hodinových ručiček podél půlkruhu se středem na 0 od $A$ na $- A$ . Vzít $A$ být větší než 1, takže imaginární jednotka $i$ je uzavřen v křivce. Nyní zvažte obrysový integrál

{ displaystyle int _ {C} {f (z)} , dz = int _ {C} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} , dz.}

Od té doby $E itz$ je celá funkce (mít č singularity v kterémkoli bodě komplexní roviny) má tato funkce singularity pouze tam, kde je jmenovatel $z 2 + 1$ je nula. Od té doby $z 2 + 1 = (z + i)(z - i)$ , to se děje jen kde $z = i$ nebo $z = - i$ . Pouze jeden z těchto bodů je v oblasti ohraničené touto konturou. Protože $F (z)$ je

{ displaystyle { begin {aligned} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} & = { frac {e ^ {itz}} {2i}} left ({ frac {1} {zi}} - { frac {1} {z + i}} right) & = { frac {e ^ {itz}} {2i (zi)}} - { frac { e ^ {itz}} {2i (z + i)}}, end {zarovnáno}}}

the zbytek z $F (z)$ na $z = i$ je

{ displaystyle operatorname {Res} limity _ {z = i} f (z) = { frac {e ^ {- t}} {2i}}.}

Podle věty o zbytku tedy máme

{ displaystyle int _ {C} f (z) , dz = 2 pi i cdot operatorname {Res} limity _ {z = i} f (z) = 2 pi i { frac {e ^ {- t}} {2i}} = pi e ^ {- t}.}

Obrys $C$ lze rozdělit na rovnou část a zakřivený oblouk, takže

{ displaystyle int _ { mathrm {straight}} f (z) , dz + int _ { mathrm {arc}} f (z) , dz = pi e ^ {- t} ,}

a tudíž

{ displaystyle int _ {- a} ^ {a} f (z) , dz = pi e ^ {- t} - int _ { mathrm {arc}} f (z) , dz.}

Pomocí některých odhady, my máme

{ displaystyle left | int _ { mathrm {arc}} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} , dz right | leq pi a cdot sup _ { text {arc}} left | { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} right | leq pi a cdot sup _ { text {arc }} { frac {1} {| z ^ {2} +1 |}} leq { frac { pi a} {a ^ {2} -1}},}

a

{ displaystyle lim _ {a to infty} { frac { pi a} {a ^ {2} -1}} = 0.}

Odhad v čitateli následuje od té doby $t > 0$ a pro komplexní čísla $z$ podél oblouku (který leží v horní polovině roviny), argument $φ$ z $z$ leží mezi 0 a $π$ . Tak,

{ displaystyle left | e ^ {itz} right | = left | e ^ {it | z | ( cos varphi + i sin varphi)} right | = left | e ^ {- t | z | sin varphi + it | z | cos varphi} right | = e ^ {- t | z | sin varphi} leq 1.}

Proto,

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} , dz = pi e ^ {- t}.}

Li $t < 0$ pak podobný argument s obloukem $C'$ který se točí kolem $- i$ spíše než $i$ ukázat to

Obrys

C'

.

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} , dz = pi e ^ {t},}

a konečně máme

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} , dz = pi e ^ {- vlevo | t vpravo |}.}

(Li $t = 0$ pak se integrál okamžitě získá základním metodám počtu a jeho hodnota je $π$ .)

Nekonečná částka

Skutečnost, že $π dětská postýlka(πz)$ má jednoduché póly se zbytkem 1 na každé celé číslo lze použít k výpočtu součtu

{ displaystyle displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} f (n).}

Zvažte například $F (z) = z -2$ . Nechat $Γ N$ být obdélník, který je hranicí $[- N - 1 / 2, N + 1 / 2] 2$ s pozitivní orientací, s celým číslem $N$ . Podle vzorce zbytku

{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ { Gamma _ {N}} f (z) pi cot ( pi z) , dz = operatorname {Res} limity _ {z = 0} + sum _ {n = -N na vrcholu n neq 0} ^ {N} n ^ {- 2}.}

Levá strana jde na nulu jako $N \to \infty$ protože integrand má pořádek $Ó (N -2)$ . Na druhou stranu,^[2]

{ displaystyle { frac {z} {2}} cot left ({ frac {z} {2}} right) = 1-B_ {2} { frac {z ^ {2}} {2 !}} + cdots qquad}

Kde Bernoulliho číslo

{ displaystyle B_ {2} = { frac {1} {6}}.}

(Ve skutečnosti, $z / 2 dětská postýlka(z / 2) = iz / 1 - E - iz - iz / 2$ .) Tedy zbytek $Res z =0$ je $- π 2 / 3$ . Dospíváme k závěru:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac { pi ^ {2}} {6}}}

což je důkazem Basilejský problém.

Stejný trik lze použít k určení součtu Eisensteinova řada:

{ displaystyle pi cot ( pi z) = lim _ {N až infty} součet _ {n = -N} ^ {N} (z-n) ^ {- 1}.}

Bereme $F (z) = (w - z) -1$ s $w$ ne-celé číslo a my ukážeme výše pro $w$ . Obtíž v tomto případě je ukázat zmizení integrálního obrysu v nekonečnu. My máme:

{ displaystyle int _ { Gamma _ {N}} { frac { pi cot ( pi z)} {z}} , dz = 0}

protože integrand je sudá funkce, a tak se příspěvky od kontury v levé polovině roviny a kontury vpravo navzájem ruší. Tím pádem,

{ displaystyle int _ { Gamma _ {N}} f (z) pi cot ( pi z) , dz = int _ { Gamma _ {N}} vlevo ({ frac {1 } {wz}} + { frac {1} {z}} vpravo) pi cot ( pi z) , dz}

jde na nulu jako $N \to \infty$ .

Viz také

Poznámky

^ Whittaker & Watson 1920, str. 112, § 6.1.
^ Whittaker & Watson 1920, str. 125, § 7.2. Všimněte si, že Bernoulliho číslo ${ displaystyle B_ {2n}}$ je označen ${ displaystyle B_ {n}}$ v knize Whittaker & Watson.

Reference

Ahlfors, Larsi (1979). Komplexní analýza. McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
Lindelöf, Ernst L. (1905). Le Calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (francouzsky). Edice Jacques Gabay (publikováno 1989). ISBN 2-87647-060-8.
Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). Cauchyova metoda reziduí: Teorie a aplikace. D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1920). Kurz moderní analýzy (3. vyd.). Cambridge University Press.

externí odkazy

"Cauchyova integrální věta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Věta o zbytku v MathWorld

[1] Whittaker & Watson 1920, str. 112, § 6.1.

[2] Whittaker & Watson 1920, str. 125, § 7.2. Všimněte si, že Bernoulliho číslo ${ displaystyle B_ {2n}}$ je označen ${ displaystyle B_ {n}}$ v knize Whittaker & Watson.

[1]

[2]